1.12. Математическое описание волн

Волновой процесс можно характеризовать, например, синусоидой (или косинусоидой) с длиной волны λ, частотой ν (рис. 1.3):

Рис. 1.3. Синусоида бегущей волны с амплитудой А и длиной волны λ , где введено обозначение k = 2πλ – волновой вектор, ω = 2πν –

циклическая частота.

Положение максимума xm любого из горбов синусоиды в (1.12.1) движется вправо постоянной (т.н. фазовой скоростью)

ства независимых волн называется суперпозицией. Волны, бегущие навстречу друг другу с равной амплитудой A и подходящей фазой, образуют стоячую волну, в которой пучности (горбы) и узлы не движутся:

Часто удобно пользоваться не синусами и косинусами, а комплекснозначными экспонентами, основанными на известных формулах Муавра exp(iϕ)= cos(ϕ)+isin(ϕ),

Aexp(k x −ωt)+ Aexp(−k x −ωt)= 2Acos(kx)exp(−iωt), (1.12.4)

где не зависящее от времени положение узлов и пучностей характеризует стационарный характер стоячей волны.

23

1.13. Уравнение Шредингера и волновая функция

Согласно постулатам квантовой механики движение частиц описывается волной, причем частота ω соответствует энергии, а длина волны и волновой вектор k – импульсу:

где введена постоянная Планка

h ≡ h2π =1.05×10−34 Дж×с = 6.6×10−16 эВ×с. (1.13.3)

Реальный электрон можно представить как сумму (линейную суперпозицию) волн с разными λ и k (волновой пакет). Каждой длине волны соответствует своя энергия, и соответствующая связь называется законом дисперсии. Например, закон дисперсии в кремнии хорошо описывается т.н. параболическим приближением с эффективной массой m:

Классическая скорость электрона определяется не фазовой, а групповой скоростью (скорость перемещения максимума огибающей кривой волнового пакета):

Важно подчеркнуть, что для электронов в материалах закон дисперсии отражает структуру кристаллической решетки данного материала и может иметь совершенно различный вид. Например, в монослое углерода (т.н. графене) закон дисперсии вообще не содержит эффективной массы, но содержит константу скорости: ε(p)= hv0 k = v0 p . Такой закон дисперсии больше похож на закон

дисперсии для фотона, где роль «скорости света» играет некая характерная скорость носителя в графене, постоянна по абсолютной

величине v = dεdp = v0 ( 108 см/с) и никак не связанная с величи-

ной импульса носителя!

Волновые процессы квантовой механики описываются комплексной функцией координаты и времени, которая называется

24

волновой функцией ψ(x,t), представляемых в виде суперпозиции

комплексных волн типа (1.12.4). Физический смысл волновой функции определяется постулатом Борна, который говорит о том, что величина

дает вероятность того, что в момент времени t электрон находится в точке x ÷ x + dx .

Волновая функция является результатом решения уравнения Шредингера. Структуру уравнения Шредингера можно понять (но не вывести), рассматривая выражение для полной энергии электрона в системах, где она сохраняется (1.4.1).

Согласно принципу соответствия, энергии и импульсу соответствуют операторы, действующие на комплекснозначную волновую функцию ψ(x,t):

Тогда из (1.4.1) «получаем» одномерное уравнение Шредингера:

Это дифференциальное уравнение требует, конечно, задания начального и граничных условий.

1.14. Стационарное уравнение Шредингера

Для простоты сначала рассмотрим одномерную задачу. Если полная энергия электронов сохраняется ( E =const), то уравнение Шредингера (1.13.7) с помощью замены переменных Ψ (x,t)=ψ (x)exp(−i Eth) приводится к более простому стационар-

ному:

Эта задача на собственные значения Hψ = Eψ оператора энергии (т.н. гамильтониана)

25

где энергия – это собственные значения, волновая функции – собственные функции гамильтониана.

В свободном пространстве потенциальная энергия равна нулю U (x)= 0 , и уравнение Шредингера принимает очень простой вид

− 2hm2 ψ ''(x)= Eψ (x) (1.14.3)

с собственными функциями exp(± ikx)и собственным значением, в

том смысле, что подставляя такие собственные функции в (1.14.3), мы получаем собственные значения в форме закона дисперсии

Общее решение уравнения Шредингера в свободном простран-

где два слагаемых интерпретируются как описывающие частицу с одной энергией, но с противоположными направлениями импульса (первое слагаемое соответствует волне, бегущей вправо, а второе – волне, бегущей влево). Если c1 = c2 , то волновая функция (1.14.6)

описывает стоячую волну, как в случае (1.12.5).

Важно отметить, что в квантовой механике любая линейная су-

может описывать какую-то физическую ситуацию (принцип суперпозиции), а выбор базисного набора собственных функций определяется характером физической системы и соображениями удобства.

26