1.4. Энергии и потенциалы

Потенциальная энергия определяется электростатическим потенциалом ϕ(x), а ее знак определяется знаком заряда носителя

где знаки плюс (минус) cответствуют дырке (электрону). Изменение потенциальной энергии удобно отслеживать по из-

менению дна зоны проводимости полупроводника EC (x). Макси-

мальный потенциал соответствует минимальной потенциальной энергии для электронов и максимальной потенциальной энергии для дырок. Сила в потенциальном поле всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии

Вспоминая, что x-проекция электрического поля определяется как F = −∂ϕ∂x , получаем очевидный вывод, что электрон притя-

гивается в сторону большего, а дырка – в сторону меньшего потенциала.

Если носитель (для определенности, электрон) ни с чем не взаимодействует, то его полная энергия сохраняется, хотя кинетическая

ипотенциальная энергия могут переходить друг в друга. В этом случае имеем простую механическую систему, которую иногда называют консервативной. Перенос носителей в потенциальном поле

ссохранением его полной энергии называется баллистическим переносом (рис. 1.2). Такой процесс доминирует, когда длина канала прибора, т.е. расстояние между контактами становится сопоставимым со средней длиной пробега носителя без взаимодействия с окружающей средой. Длина пробега в кремнии при комнатной температуре составляет величину ~ 10 нм, что уже сопоставимо с размерами активных областей современных приборов. Вообще говоря, электрон взаимодействует с окружением, которое иногда называют термостатом, и его транспорт носит т.н. диффузный характер (т.е. с частыми столкновениями). Например, электрон может взаимодействовать с колебаниями решетки (фононами), получая и отдавая энергию и импульс.

Вравновесии скорость получения и набора электроном энергии

иимпульса от фононов равны друг другу. В неравновесном случае электрон получает энергию и импульс от электрического поля и

10

передает их фононам. Таким образом, энергия электрического поля преобразуется в энергию колебаний решетки, т.е. тепло. Этот необратимый процесс происходит с возрастанием энтропии и называется диссипацией. Рассеяние с потерей импульса происходит, как правило, чаще, чем рассеяние с потерей энергии, поэтому т.н. время пробега по энергии τε всегда больше времени пробега по им-

пульсу τε ≥τ .

Рис. 1.2. Схема, иллюстрирующая диффузный (диссипативный) и баллистический перенос электрона

Например, в кремнии потеря энергии происходит за счет испускания т.н. оптических фононов с энергией ~ 0.06 эВ, а потеря импульса происходит за счет столкновений с т.н. акустическими фононами, при которых энергия электронов практически не меняется, но меняется направление импульса. Прежде чем электрон столкнется с оптическим фононом и изменит энергию, он успевает несколько раз столкнуться с акустическими фононами.

1.5. Что такое электрохимический потенциал?

Энергетическое распределение системы равновесных электронов дается функцией распределения Ферми-Дирака

11

Этой же формулой можно иногда пользоваться и в неравновесном случае, вводя вместо уровня Ферми EF неравновесное значе-

ние квазиуровня Ферми EFn ( EFp ), разное для электронов и дырок.

Если изменение потенциальной энергии в полупроводнике U (x) (то же самое, что изменение, например, дна зоны проводимости EC (x)) достаточно плавное, то в каждой точке трехмерного про-

водника можно определить локальное значение плотности электронов

(двойка соответствует двум спинам на один уровень).

Из формулы (1.5.2) видно, что локальная концентрация носителей определяется энергетическим промежутком между локальным значением квазиуровня Ферми для этих носителей и краем соответствующей зоны

(1.5.3)

Определенную таким образом величину называют химическим потенциалом для электронов. Для вырожденных полупроводников (когда EF >U = EC ) химический потенциал положителен, для не-

вырожденных ( EF < EC ) – отрицателен.

Вфизической литературе иногда эту же формулу представляют

ввиде

вводя вместо понятия квазиуровня Ферми эквивалентное понятие электрохимического потенциала μ (не путать с подвижностью).

Электрохимический потенциал может изменяться двумя, в общем случае, независимыми способами:

а) за счет изменения электростатического потенциала; б) за счет изменения концентрации носителей.

12

В равновесном случае изменения концентрации и электростатического потенциала связаны друг с другом через условие равенства нулю полного тока. В неравновесном случае электростатический потенциал ϕ и концентрация носителей (химический потен-

циал) являются, вообще говоря, независимыми величинами.

Во всех книгах по физике полупроводников легко найти, что для случая невырожденного полупроводника интеграл (1.5.2) дает следующее соотношение для локальной концентрации электронов:

где NC – эффективная плотность электронов в зоне проводимости (~ 1019 cм-3 в кремнии).

Роль электрохимического потенциала удобно проиллюстрировать на зонной диаграмме равновесного pn-перехода (рис. 1.3), где химический и электрический потенциал по толщине перехода меняется, но электрохимический потенциал остается постоянным.

Рис. 1.3. Зонная диаграмма равновесного pn-перехода

Важно помнить, что вольтметр измеряет не разность электрических потенциалов, а разность электрохимических потенциалов! Например, разность электрических потенциалов в равновесном pn- переходе составляет величину барьера (~ 0.7…0.9 В), в то время как разность электрохимических потенциалов при отсутствии тока через переход строго равна нулю.

13