3.6.Характерные затворные напряжения

voltage). Полный заряд в кремнии при этом равен нулю, и края зон кремния не изогнуты (условие «плоских зон»). Подставляя ϕS = 0 в (3.5.6), получаем

Необходимо подчеркнуть, что из-за наличия заряда в окисле, условие «плоских зон» в кремнии не означает «плоские зоны» (т.е. отсутствие электрического поля в окисле) в окисле.

3.7. Пороговое напряжение

При некотором потенциале плотность неосновных носителей

(электронов) на границе раздела сравнивается с плотностью основных носителей (дырок) в подложке: n(ϕS) = NA. Этот потенциал соответствует началу режима, который называется режимом сильной инверсии

Соответствующее напряжение пороговое напряжения (threshold voltage, SPICE параметр VTO)

VT ≡VG (2ϕF )=ϕMS + 2ϕF + (qNA xd (2ϕF )−Qt (2ϕF ))CO . (3.7.2)

При дальнейшем увеличении напряжения на затворе поверхностный потенциал практически перестает расти (см. рис. 3.5). Соответственно, перестает расти толщина обедненной области, насыщаясь на своем максимальном значении

xd , max (4εSϕF qNA )1/ 2 = (4εSϕT ln(N A ni )qNA )1/ 2. (3.7.3)

Это очень важная величина, поскольку она определяет, например, минимально возможную длину канала. Наконец, замедление изменения поверхностного потенциала (фактически, уровня Ферми на границе раздела) приводит к резкому уменьшению перезарядки приповерхностных дефектов в окисле. Это означает, что в формуле (3.5.6) в режиме сильной инверсии существенно изменяется только слагаемое, связанное с экспоненциальной функцией электронов в канале. С другой стороны, это слагаемое практически равно нулю при ϕS < 2ϕF . Это дает возможность использовать в надпороговом

режиме (ϕS > 2ϕF VG >VT ) замечательное приближение, нахо-

дящееся в очень хорошем согласии с экспериментальными данными,

75

nS(VG)

nT

VG

VT

Рис. 3.6. Схематическая зависимость плотности носителей в канале от напряжения на затворе

Таким образом, при напряжении, превышающем пороговое хотя бы на несколько ϕT , плотность носителей в канале начинает расти

практически линейно (см. рис. 3.5). Использование этого приближения позволяет обходить многие сложные расчетные проблемы. Например, точный расчет вида зависимости nS (ϕS ) требует, вооб-

ще говоря, квантовостатистичекого рассмотрения (учет размерного квантования, вырождения и заполнения подуровней). На практике введение феноменологического порогового напряжения и использование формулы (3.7.4) позволяют избегать все эти проблемы. Это является одной из причин того, что в современных системах компактных моделей МОП транзисторов (типа BSIM4) практически отсутствуют квантовые эффекты. В современной 70 нм технологии

76

3.8. Полный заряд в полупроводнике при заданном поверхностном потенциале

В практических расчетах обычно ограничиваются рассмотрением приближения невырожденного электронного газа с больцмановской статистикой. Это приближение работает в режиме обеднения и слабой инверсии (ϕS < 2ϕF ) и вполне удовлетворительно описы-

вает ситуацию сильной инверсии (ϕS > 2ϕF ), соответствующее вы-

рожденным носителям.

Одномерное уравнение Пуассона для объема полупроводника p-типа

Нас интересует случай обеднения и инверсии, когда ϕS >ϕF ,

где с учетом (3.6.1) имеем следующее приближение для правой части уравнения Пуассона:

где мы пренебрегли концентрацией дырок.

В равновесии (в отсутствии тока вдоль структуры) в правой части уравнения Пуассона вся зависимость от координаты присутствует в зависимости потенциала от этой координаты ρ(x)= ρ(ϕ(x))

(это справедливо только при отсутствии тока, поскольку при наличии тока появляется явная зависимость электрохимического потенциала и плотности носителей от координаты).

Это дает возможность использовать для решения нелинейного уравнения (3.8.1) следующий математический трюк. Представим (3.8.1) в эквивалентной форме (3.8.3) с использованием переменной E = dϕ/dy, имеющей смысл электрического поля, и проинтегрируем обе стороны уравнения от границы раздела кремния с изолятором, где электрическое поле равно искомому ES, а потенциал равен по-

77

верхностному потенциалу ϕS, до границы обедненного слоя, где электрическое поле и потенциал равны нулю:

Отсюда получаем точную (в рамках использованных приближений) связь электрического поля на границе раздела и поверхностного потенциала

и для характерной длины задачи, которая называется дебаевской длиной,

78