Оценки показывают, что абсолютная величина среднеквадратического отклонения может находиться в пределах от единиц до десятков милливольт. Нужно отдавать себе отчет, что приведенные формулы описывают только пуассоновскую часть флуктуаций, носящую неустранимый и фундаментальный характер.
На практике разброс может оказаться существенно большим, что объясняется наличием других источников флуктуации порогового напряжения от транзистора к транзистору, носящих, например, технологический характер. Разброс порогов может быть обусловлен неслучайными факторами, связанными с несовершенством технологии и другими коррелированными процессами (например, неоднородностью уровня легирования или других технологических параметров по площади кристалла, а также неоднородным характером ионизации и захвата носителей при облучении).
10.13. Статистическое распределение подпороговых токов за счет разброса пороговых напряжений
На практике чаще всего измеряется суммарный ток утечки большого количества транзисторов на одном чипе, число которых Ntot может измеряться десятками миллионов. Как уже говорилось,
пороговое напряжение транзисторов даже на одном чипе является случайной величиной. Распределение пороговых напряжений имеет гауссовский вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P (V ) = N (2π < δV 2 |
>)−1/ 2 |
|
(u −VT ) |
|
|||||||||
exp |
− |
|
|
(10.13.1) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
V T |
|
T |
|
|
|
2 |
< δ V 2 |
> |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
со средним значением |
|
|
и дисперсией < δ V |
2 > . В данном случае |
|||||||||
V |
T |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||
нас интересует, какой функцией будет описываться распределение токов утечки. Ток утечки IL , определяемый как подпороговый ток
при нулевом затворном смещении, связан с пороговым напряжением экспоненциальной формулой (см. п. 4.4)
|
|
VT |
|
|
IL ≡ IT exp |
− |
|
. |
(10.13.2) |
|
||||
|
|
s |
|
|
Здесь для краткости введено обозначение s ≡ mϕT , отличающееся от обычного определения размаха тока на декаду напряжения S ≡ ln10 mϕT . Эта величина также имеет некоторый разброс от
248
транзистора к транзистору, но его роль гораздо менее существенна, чем роль разброса пороговых напряжений. Поэтому в дальнейшем будем считать s константой.
Распределение токов утечки PI |
связано с распределением поро- |
|||||||||||
говых напряжений соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
I |
(I |
L |
) = P |
(V (I |
L |
)) |
|
dVT |
|
. |
(10.13.3) |
|
|
|||||||||||
|
|
V |
|
|
|
dIL |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулы (10.13.1-3), получаем, что распределение токов утечки принимает форму т.н. логнормального распределения:
PI (IL ) = |
1 |
|
− |
(ln(IL IL0 ))2 |
|
(10.13.4) |
|
|
exp |
|
|
, |
|||
2πσ IL |
2σ |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
где IL0 – т.н. медианный параметр логнормального распределения, соответствующий максимуму распределения и, следовательно, наиболее вероятному току
|
|
|
|
|
|
VT |
|
|
|
I |
L0 |
≡ I |
T |
exp |
− |
|
. |
(10.13.5) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Безразмерный параметр формы логнормального распределения σ, определяющий степень ее асимметрии, выражается формулой
σ 2 = < δ VT2 >
s2 . (10.13.6)
Логнормальное распределение появляется всегда, когда по нормальному (гауссовскому) закону распределены не сами значения (в данном случае, токи утечки), а их логарифмы (в данном случае, пороговые напряжения).
При логнормальном распределении необходимо различать наиболее вероятный ток утечки одного транзистора, определяемый средним значением порогового напряжения в (10.13.5) и средний ток утечки на один транзистор
|
|
|
|
|
|
<δ V 2 |
> |
|
||
∞ |
|
V |
|
|
||||||
|
|
− |
|
T |
+ |
T |
|
|
= |
|
< IL >= ∫0 i PI (i)di =IT exp |
|
s |
2 s |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<δ V 2 |
> |
|
σ 2 |
|
(10.13.7) |
||
|
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
= IL0 exp |
2 s |
2 |
|
|
= IL0 exp |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
249
Как видно из формулы (10.13.7), средний ток всегда больше наиболее вероятного тока. Суммарный ток утечки всего микропроцессора с Ntot параллельными транзисторами определяется сред-
ним значением тока отдельного транзистора |
|
Ioff = Ntot < IL > . |
(10.13.8) |
Различие между средним и наиболее вероятным значением тока практически исчезает при выполнении условия σ <<1. В этом случае распределение токов практически симметрично и разброс пороговых напряжений не играет существенной роли. Напротив, при больших значениях нормированной дисперсии σ >1 логнормальное распределение становится несимметричным, приобретая выраженный «хвост» при больших значениях тока. Именно наличие этого «хвоста» в распределении обуславливает отличие среднего значения от наиболее вероятного. Фактически, при больших значениях дисперсии σ >>1 средний ток, а следовательно, суммарный ток утечки чипа определяется не средним значением, а флуктуациями порогового напряжения. Это означает, что основной вклад в суммарный ток утечки вносит только небольшая часть транзисторов со значительными отклонениями порогового напряжения в сторону его меньших значений. Физически, это является следствием сильной экспоненциальной зависимости тока от порогового напряжения.
Как следует из формул (10.12.1-2), дисперсия порогового напряжения уменьшается с уменьшением толщины окисла. Более того, в современных ультратонких подзатворных окислах (< 3 нм) практически не происходит накопление радиационного заряда в окисле Nox . Поэтому утечки между стоком и истоком в современ-
ных транзисторах происходят в основном на краях транзисторов, на границе с толстой боковой изоляцией (STI или LOCOS).
250