- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Упражнения
- •Таким образом, множество упорядоченных пар элементов группы отображается на группу. Таблица умножения группы полностью описывает это отображение. Первые элементы всех пар
- •2.4. Факторгруппы
- •Э.Галуа первым показал, что смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К образуют группу, элементами которой являются множества элементов другой группы. Поэтому сначала необходимо определить бинарную операцию на множестве смежных классов группы G по нормальной группе К.
- •Покажем, что если R и S – смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К, то R*S также будет смежным классом группы G по ее подгруппе К, т.е. операция взятия произведения является бинарной операцией на множестве смежных классов по подгруппе К. Если А является произвольной подгруппой G, то А*А = А, т.к. произведение любых двух элементов из подгруппы А принадлежит к А и, вместе с тем, умножая все элементы из А на единицу, получим уже всю подгруппу А.
- •Последнее равенство показывает, что для нахождения произведения двух данных смежных классов группы G по ее нормальному делителю А, следует произвольным образом выбрать в этих смежных классах по одному представителю и взять тот смежный класс, в котором лежит произведение этих представителей.
- •В коммутативных кольцах понятия левого и правого идеала совпадают. Двусторонним идеалом кольца R называют подкольцо А, являющееся одновременно и левым и правым идеалом кольца R.
- •Напомним, что многочлен над Fq назывется нормированным, если его старший коэффициент равен 1.
- •Следствие теоремы
- •Приложение 1. Варианты домашних заданий
- •Вариант 27
- •Александр Николаевич Иванов
- •Дискретная математика
- •ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
- •ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- •ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
- •Во 2-й части пособия изложены основы комбинаторики, теории графов и сетевых моделей. 3-я часть посвящена математической логике, теории автоматов и сложности вычислений. 4-я часть содержит практические примеры использования дискретных математических моделей в криптографии, помехоустойчивом кодировании, цифровой обработке сигналов и сжатии данных
- •Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная математика» факультета «К» НИЯУ МИФИ при изучении курса «Дискретная математика», а также может быть рекомендовано к использованию в учебном процессе факультета «Б».
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А.Н. ИВАНОВ
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва 2010
УДК 512.62 ББК 22.144 И 17
Иванов А.Н. Дискретная математика. Часть 1. Основные алгебраические структуры. Учебное пособие. В 4-х частях. М.: НИЯУ МИФИ. 2010. 188 с.
Даны основные алгебраические структуры, используемые в дискретной математике и ее приложениях. Приведены примеры, иллюстрирующие рассматриваемые понятия, определения и теоремы. Все разделы снабжены упражнениями для самостоятельной работы, а пособие дополнено набором вариантов домашних заданий.
Главная задача учебного пособия заключается в оказании помощи студентам при первоначальном изучении алгебраических понятий дискретной математики и подготовке к изучению соответствующих разделов специальной литературы.
Во 2-й части пособия изложены основы комбинаторики, теории графов и сетевых моделей. 3-я часть посвящена математической логике, теории автоматов и сложности вычислений. 4-я часть содержит практические примеры использования дискретных математических моделей в криптографии, помехоустойчивом кодировании, цифровой обработке сигналов и сжатии данных
Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная математика» факультета «К» НИЯУ МИФИ при изучении курса «Дискретная математика», а также может быть рекомендовано к использованию в учебном процессе факультета «Б».
Рецензент |
доцент каф. 42 И.А. Юров |
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7262-1197-8 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………………………………………………4
1.Множества…………………………………………………………...6
1.1.Операции, отображения и преобразования……………………6
1.2Бинарные отношения . ………………………………………..17 Упражнения…………………………………………………....30 Список литературы…………………………………………....31
2.Группы……………………………………………………………..32
2.1.Способы задания групп……………………………………….32
2.2.Подгруппы……………………………………………………..49
2.3.Нормальные подгруппы……………………………………….61
2.4.Факторгруппы………………………………………………… 66 Упражнения……………………………………………………70
Список литературы……………………………………………71
3.Кольца…………………………………………………………… 72
3.1.Кольцо многочленов…………………………………………..83
3.2.Кольцо целых чисел…………………………………………...97 Упражнения…………………………………………………..108 Список литературы…………………………………………..109
4.Конечные поля……………………………………………………110
4.1.Характеризация конечных полей……………………………110
4.2.Первообразные корни и индексы……………………………119
4.3.Многочлены над конечными полями……………………….131
4.4.Алгоритм Берлекэмпа разложения многочленов…………..144
4.5.Коды Боуза-Чоудхури-Хоккенгема…………………………149
Упражнения…………………………………………………..153
Список литературы…………………………………………..154
Приложение 1. Варианты домашних заданий…………………….155
Приложение 2. Вариант контрольной работы…………………….185