Пример 27. ♦ Отрезок [0,1] с обычным отношением порядка не изоморфен множеству действительных чисел R, т.к. у первого есть наибольший элемент, а у второго нет. ( Естественно, что при изоморфизме наибольший элемент одного множества должен соответствовать наибольшему элементу другого множества). ♦

Пример 28. ♦Множество целых чисел Z с обычным порядком не изоморфно множеству рациональных чисел Q. Допустим обратное, что ϕ: Z→Q является изоморфизмом. Возьмем два соседних числа, допустим 2 и 3. При изоморфизме ϕ им должны соответствовать какие-то два рациональных числа ϕ(2) и ϕ(3), причем ϕ(2)< ϕ(3), так как 2<3. Но тогда рациональным числам между ϕ(2) и ϕ(3) должны соответствовать целые числа между 2 и 3, которых нет.♦

Два элемента x,y М линейно упорядоченного множества называются соседними, если x<y и не существует z М между ними такого, что x<y<z. Линейно упорядоченное множество называется плотным, если в нем нет соседних элементов (т.е. между любыми двумя элементами всегда существует третий элемент). Примером счетного плотного линейно упорядоченного множества является множество рациональных чисел Q.

Упражнения

1. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности:

одна из них равномощна всему отрезку.

30

5.Доказать, что множество всех точек пространства Еn, имеющего n измерений, эквивалентно множеству точек отрезка [0,1].

6.Пусть Β(М) – булеан множества М, состоящего из n элементов. Найти мощность Β(Β(Β(М))).

7.Найти мощность множества всех непрерывных функций.

8.Доказать, что любое частично упорядоченное множество имеет не более одного наибольшего (наименьшего) элемента.

9.Доказать, что всякое счетное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству множества рациональных чисел Q.

Список литературы:

1.Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств. М.: МЦМНО, 2002.

2.Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973.

3.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001

4.Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: КомКнига, 2006.

31

2. ГРУППЫ

2.1. Способы задания групп

После изложения необходимых положений теории множеств перейдем к изучению алгебраических структур и в первую очередь групп. Наряду с понятием функции, продолжающим быть основным понятием всей математики, большое влияние на самые различные разделы математики и ее приложений приобрело понятие группы.

По мнению известного советского математика академика Алек-

сандрова П.С. понятия число, множество, функция и группа явля-

ются теми краеугольными камнями, на которых стоит все здание современной математики и к которым сводится всякое другое математическое понятие.

Определение. ♦Алгебраической структурой называется множе-

ство А элементов любой природы, на котором определена система операций, подчиняющаяся тем или иным законам – аксиомам рассматриваемой структуры. Множество А именуют носителем алгебраической структуры.♦

В дальнейшем вместо сочетаний «алгебраическая структура» и «бинарная операция» будем иногда использовать их сокращения и соответственно записывать «структура» и «операция». Структуру и ее носитель обозначают одним и тем же символом.

Под операцией понимается отображение ϕ: Аn →А (по сути это функция n аргументов из множества А со значениями в А). Число n аргументов называется арностью операции. При n=1 говорят об

унарной, при n=2 - бинарной, при n=3 - тернарной и т.д. операции.

В дальнейшем при изучении структур почти всегда будут рассматриваться бинарные операции, примерами которых являются операции сложения и умножения в числовых областях. Для бинарных операций принято функциональный символ операции записывать в инфиксной форме (между аргументами): a+b, a*b.

Начнем рассмотрение алгебраических структур со структуры (А,*), включающей множество А с одной операцией (обычно, называемой «умножением»). Результат операции *, как правило, обычно записывают в виде a*b. Структура (А,*) с одной всюду определенной бинарной операцией называется группоидом. В группоиде, следовательно, выполняется

32

Аксиома 1. (замкнутость операции *):

a,b A с A: a*b = с.

Структуру называют полугруппой, если в группоиде А выполняется Аксиома 2. (ассоциативность операции *):

a,b,с A a*(b*с) = (a*b)*с),

Полугруппа называется коммутативной , если в ней выполняется Аксиома 3. (коммутативность операции *):

a,b A a*b = b*a.

Полугруппа может иметь элемент е, такой что a A е*а = a*е = а. В этом случае элемент е называется нейтральным элементом или единицей для умножения. Его существование рассматривается как выполнимость следующей аксиомы:

Аксиома 4. (о существовании нейтрального элемента):

е A a A е*а = a*е = а.

Группоид или полугруппа, в которых выполняется аксиома 4, называются соответственно группоидом с единицей или полугруп-

пой с единицей.

Важнейшей является структура, в которой возможно деление, осуществимость которого определяется следующей аксиомой:

Аксиома 5. (о существовании обратного элемента):

a A b A: a*b = b*a = е.

Однозначность обратного элемента b может быть доказана, так что фактически выполняется следующая редакция аксиомы 5:

a A !b A: a*b = b*a = е,

где ! означает “существует ровно один”

Элемент b, зависящий от а, существование и единственность которого здесь требуется, обозначается через а-1 и называется обрат-

ным элементом.

Определение.♦Алгебраическая структура (А,*), в которой выполнимы аксиомы 1, 2, 4, 5 называется группой. Группа, в которой дополнительно выполняется аксиома 3 называется коммутативной или абелевой (в честь Н.Х. Абеля, впервые применившего такие группы к теории уравнений).♦

Пример 29. ♦Множество целых чисел с операцией сложения и нулем в качестве нейтрального элемента является бесконечной аддитивной группой или аддитивной группой целых чисел и обозна-

33

чается (Z,+). Структура ({-1, 1},*) является конечной группой порядка 2. Порядок конечной группы равен числу ее элементов. Существует ли группа порядка 1? Будет ли группой структура ({1},*)? Проверка аксиом показывает, что действительно это группа порядка 1♦

Пример 30.

♦ Расссмотрим группу, элементами которой являются различные вращения равностороннего треугольника против часовой стрелки в своей плоскости вокруг центра. За элементы предполагаемой группы примем самосовмещения треугольника – те движения, в результате которых повернутый треугольник совпадает с исходным.

Для самосовмещения треугольника не обязательно, чтобы каждая вершина треугольника совпала с собой. Нужно только, чтобы множество точек, составляющих стороны треугольника после поворота, совпало с множеством точек, составляющих его стороны в начальном положении.

Для описания самосовмещений выберем некоторое положение треугольника на плоскости в качестве ее начального положения и отметим каждую вершину числами 1, 2 и 3. Обозначим через М множество вершин треугольника: М = {1, 2, 3}.

В качестве бинарной операции примем последовательне выполнение (суперпозицию) самосовмещений. Тогда, все самосовмещения треугольника можно представить как преобразование ϕ: М→М множества вершин М на себя.

Множество самосовмещений треугольника S можно разбить на три класса эквивалентности S = {А, В, С}:

А = {вращение против часовой стрелки на 120°+360°k}, k Z; В = {вращение против часовой стрелки на 240°+360°k}, k Z; С = {вращение против часовой стрелки на 0°+360°k}, k Z.

Пусть вращение а является представителем класса А, b - класса B и c - класса C. В табличной форме задания преобразований эти самосовмещения имеют следующий вид:

Указанные преобразования являются подстановками элементов М. Алгебраическая структура (S,*), состоящая из множества S c одной операцией суперпозиции движений, образует группу.

Втерминах группового умножения * любое движение из класса

Судовлетворяет требованиям, предъявляемым к единичному элементу группы e: а*с = с*а = а, b*с = с*b = b, с*c = с. Результат не зависит от выбора элементов а,b,с в качестве представителей множеств A,B,C соответственно. Поэтому, произвольный элемент из класса С будем обозначать символом е.

Определим произведение двух элементов группы, например, а и b, найдя подстановку, сответствущую суперпозиции вращений а*b:

а*b = 1 2 3 * 1 2 3 = 1 2 3 = е.2 3 1 3 1 2 1 2 3

Легко проверить и все другие произведения а*а=b, b*b=а, b*а= е и установить, что суперпозиция является бинарной операцией на рассматриваемом множестве классов вращений треугольника. Так как а*b=е, b*а=е, е*е=е, то каждый элемент имеет обратный. Таким образом, подтверждено выполнение всех групповых аксиом для множества самосовмещений треугольника. Следовательно, структура G=(S,*) является группой.♦

Теперь необходимо рассмотреть следующую проблему: каким образом можно задать конкретную группу? Иначе говоря, какое количество информации необходимо для того, чтобы можно было задать группу как единый математический объект? И как выявить данные, которые позволяют определить ту или иную группу?

Ответ на этот вопрос дал в 19-м веке ирландский математик Кэли А., введший таблицу умножения группы, похожую на обычную таблицу умножения.

В этой таблице элементы группы располагаются в одном и том же порядке в самой верхней строке и в самом левом столбце таблицы. В ячейках внутри таблицы размещают произведения соответствующих элементов группы.

Построим таблицу умножения для группы самосовмещений треугольника G=(S,*) из примера 30. Используя символы е, а, b для обозначения элементов этой группы (соответствующих вращений треугольника) запишем сами элементы и их произведения в виде табл.1

35

можно переписать табл. 1 в виде табл. 2.

Многие свойства рассматриваемой группы G=(S,*) вращений треугольника можно извлечь прямо из этой таблицы умножения. Так, например, обратные элементы можно найти, выяснив на пересечении каких строк и столбцов встречается в таблице нейтральный элемент е. Отметим также, что все строки таблицы являются перестановками верхней строки, а все столбцы - перестановками левого столбца. Таблица показывает также, что все элементы группы попарно перестановочны, т.к. все произведения, расположенные симметрично относительно главной диагонали совпадают и, следовательно, группа коммутативна.

Существует важное свойство группы G=(S,*), которое нельзя извлечь из таблиц 1 или 2. Оно станет очевидным при введении новых обозначений и придании таблице 2 новой формы. Поскольку групповое умножение является обобщением обычного умножения,

будем элемент an называть степенью элемента a. Так как aka–k =e, полагают a0 = е.

Легко проверить, что обычные правила умножения степеней сохраняются и для группового умножения степеней элемента группы.

Используя полученные ранее результаты, убеждаемся, что b=a*a=a2, ab=a*a*a=a3=e. Поэтому, таблица умножения группы может быть представлена в виде табл. 3, показыващей, что любой элемент этой группы является степенью одного элемента a.

Определение. ♦Группа, в которой каждый элемент является степенью некоторого элемента a, называется порожденной эле-

ментом a, а сам элемент a называется образующей (генератором)

группы. Если в группе имеются хотя бы два, не коммутирующих между собой элемента, то группа называется некоммутативной, независимо от того, сколько найдется в ней пар коммутирующих между собой элементов.♦

36

Необходимо заметить, что группы, в которой никакие два элемента не перестановочны между собой не существует, так как любая группа содержит единичный элемент, коммутирующий с любым ее элементом.

Пример 31.

♦Построим некоммутативную группу шестого порядка. Заме-

тим, что порядок 6 является наименьшим из возможных порядков некоммутативной группы.

Для построения такой группы рассмотрим самосовмещения равностороннего треугольника из примера 30 с добавлением нового движения f - «опрокидывания» (треугольник выходит из своей плоскости и переворачивается).

Теперь имеется уже шесть самосовмещений е, a, a2, f, fa, fa2,

Первые три преобразования (е, a, a2 ) образуют группу третьего порядка G=(S,*) вращений треугольника в плоскости. Для получения одного из новых преобразований (f, fa, fa2) необходимо опрокинуть треугольник вокруг высоты, проходящей через одну из вершин. При анализе результирующего движения, например, fa нужно заметить, что опрокидывание треугольника приводит к замене направления оси вращения на противоположное.

Структура, G=({е, a, a2, f, fa, fa2},*), состоящая из шести классов самосовмещений треугольника с операцией суперпозиции самосовмещений, является группой.

Операция группы ассоциативна, единичным элементом е является тождественное преобразование, а справедливость аксиомы об обратном элементе очевидна (если данное движение преобразует одно положение в другое, то существует и обратное преобразование, возвращающее треугольник в исходное положение).

Исследуем особенности группы G=({е, a, a2, f, fa, fa2},*) с помощью ее таблицы умножения (табл. 4). Отметим, что из характера движений треугольника, справедливы равенства a3 = е и f 2 = е.

37

Для завершения построения таблицы умножения группы надо представить каждое из стоящих в табл. 4 выражений как один из элементов е, a, a2, f, fa, fa2. Используя таблицы преобразований для указанных элементов и геометрический смысл движений каждого из выражений ячеек построим табл. 5.

Из анализа табл. 5 можно получить следующее заключение:

1.Операция суперпозиции движений есть бинарная операция на рассматриваемом множестве элементов {е, a, a2, f, fa ,fa2}.

2.Аксиома об обратных элементах выполнена, поскольку е встречается точно один раз в каждой строке и каждом столбце.

3.Группа не является коммутативной, ткк как не все ячейки, лежащие симметрично относительно главной диагонали равны, на-

пример, (fa)*f = a2 ≠ a = f*( fa).

4.Строки и столбцы таблицы являются перестановками элементов верхней строки или левого столбца соответственно.

5.(3×3) – квадрат в левом верхнем углу – это в точности таблица умножения группы порядка 3 самосовмещений треугольника в его

плоскости G=(S,*) из примера 30.♦

Из таблицы умножения группы можно извлечь всю необходимую информацию о группе, но сразу видны трудности, возникаю-

38

щие при неограниченном расширении области ее применения, например, в случае группы 60 порядка. Поэтому возвратимся к понятию образующей группы. Оно позволяет задавать группу способом, не зависящим от ее порядка, и далее будет играть основную роль при графическом изображении групп.

Определение. ♦Пусть S = {a, b, c, …} - множество элементов группы G. Если все элементы группы G могут быть выражены в виде произведений элементов из S (и их обратных элементов), то элементы множества S называются образующими группы G и говорят, что они порождают группу G.♦

Простейший случай образующих – группа с одной образующей, например, G=(S,*) из примера 30 с табл. 3. Важное свойство группы видно, если выписать все степени образующей данной группы: a, a2, a3, a4, a5, a6, a7,... Поскольку a3=е, то эту последовательность можно переписать в виде a, a2, е, a, a2, е, a, …, представляющем циклическое повторение основной серии {a, a2, е}. Именно по этой причине данная группа называется циклической группой порядка 3.

Определение. ♦Если любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей a, то группа называется циклической и обозначается как С. Если n – наименьшее целое положительное число для которого an = е, то группа, порожденная элементом a, будет иметь порядок n и обозначаться Сn. Порядком или периодом элемента a называется наименьшая положительная степень n, такая, что an =е.♦

Если a порождает циклическую группу Сn, то множество степеней элемента a представляет собой циклическое повторение основной серии {a, a2, …, an=е}. Это свойство допускает простую геометрическую интерпретацию представления группы.

Группа С3 может ассоциироваться, например, с треугольником, каждая вершина которого соответствует элементу группы. Тогда, группa Сn может быть связана с многоугольником, имеющим n вершин. Каждой стороне многоугольника присвоим направление, указываемое стрелкой. Движение в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующий элемент a группы. Движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент a-1 группы, обратный к образующей a.

39

Определение. ♦Многоугольник, сторонам которого приписано направление, является геометрическим эквивалентом циклической группы и называется графом циклической группы.♦

Если a – образующая циклической группы, то по определению каждый элемент группы может быть представлен как произведение сомножителей a и a-1. Обратно, любое произведение сомножителей a и a-1 есть элемент группы. Произведения a, aaa-1 и a-1aaa-1a, представляют собой один и тот же элемент группы.

Определение.♦ Конечная последовательность образующих и обратных к ним называется словом. Слово, соответствующее элементу х, может интерпретироваться как множество направлений при движении вдоль некоторого пути в графе. Каждому слову соответствует определенная последовательность движений вдоль направленных отрезков, и, наоборот, любой путь вдоль направленных отрезков графа, начинающийся из вершины е, соответствует некоторому слову.♦

Представление группы как сети, состоящей из направленных отрезков (или ребер) было введено еще в 19-м веке А.Кэли. Такая сеть, или граф, часто называется диаграммой Кэли. Отметим некоторые особенности графа произвольной группы Сn.

1.Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе.

2.Вершина е, соответствущая нейтральному элементу (единице) группы, выбирается произвольно.

3.В каждой вершине сходятся два отрезка: один соответствует умножению справа на образующую a и направлен от вершины, а другой направлен к вершине и соответствует умножению справа на элемент a-1, обратный к образующей.

4.Конкретная форма графа не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами.

Пример 32.

♦Построим граф бесконечной циклической группы. Цикличе-

ская конечная группа Сn задавалась своим характеристическим свойством: an=е. Если такого положительного целого числа n не существует, то каждая следующая степень образующего элемента a представляет новый элемент группы и группа будет бесконечной. Эта группа называется С∞. Диаграмма Кэли (граф группы) представляет собой многократно повторенный в обе стороны числовой

40

оси направленный отрезок. В каждой вершине графа С∞ сходится два направленных отрезка.♦

Пример 33.

♦ Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника (табл. 5) демонстрирует пример группы с двумя образующими: вращением a и опрокидыванием f. Для отличия образующей a от образующей f обычно используют сплошную линию для умножения на a и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл эту процедуру графического представления методом цветных групп.

В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей только символы из множества {a, f, a-1, f-1}. В каждой вершине графа сходится четыре ребра. Все изложенное подсказывает, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками соответствующей образующей f .♦

Рассмотренные примеры графов различных групп имеют общие свойства.

1.«Элемент группы ↔ Вершина графа». Элементы группы на-

ходятся в биективном соответствии с вершинами графа.

2.«Образующая ↔ Одноцветные ребра». Каждое ребро графи-

ческой сети есть направленный отрезок, и отрезки одного «цвета» связаны с одной и той же образующей.

3.«Слово ↔ Путь». Слово, представляющее элемент группы, интерпретируется как последовательность направленных отрезков графа или путь, и наоборот. В каждой вершине пути, соответствующего некоторому слову, очередное движение определяется следующим сомножителем в слове. В каждой вершине есть одно «входящее» и одно «исходящее» ребро для каждой образующей группы.

4.«Умножение элементов ↔ Последовательное прохождение путей». Умножение двух элементов группы соответствует прохождению на графе пути, составленного из двух последовательных путей. Произведение rs=t элементов r и s интерпретируется на графе как путь t, построенный следующим образом. Если записать r и s

41

как слова от образующих и их обратных, то выйдя из вершины, соответствующей элементу е, пройдем путь, описанный словом, определяемым элементом r. Затем, приняв за начальную точку r- вершину, пройдем путь, описанный словом, соответствующим элементу s. Этот путь закончится в вершине, соответствующей элементу t=rs, вне зависимости от того, какие слова используются для представления элементов r и s.

5.“Слово, представляющее е ↔ Замкнутый путь”. Любое слово

W, представляющее элемент е, соответствует замкнутому пути на графе, т.е. пути с совпадающими начальной и конечной точками. Этот путь будет замкнут вне зависимости от того, какая вершина графа принята за начальную.

6.“Разрешимость уравнения rх = s ↔ Сеть связна”. Граф груп-

пы G является связной сетью, т.е. существует путь из любой вершины в любую другую вершину. Если r и s – два любых элемента G, то существует элемент х = r-1s, такой , что rх = s. Если W - слово, представляющее элемент х=r-1s, то rW=s. Таким образом, если за начальную точку взята вершина, соответствующая элементу r, то путь, описанный словом W, ведет от r–вершины к s–вершине.

Определение.♦Произвольный граф называется однородным графом степени n, если в каждую его вершину входит и из каждой вершины выходит n направленных отрезков.♦

Вершины графа можно пометить так, чтобы любая наперед заданная вершина соответствовала элементу е. Поскольку на диаграмме Кэли вершину, соответствующую элементу е, можно выбирать произвольно, то граф является представлением одной и той же группы независимо от того, помечены ли его вершины.

Пример 34.

♦ Группой диэдра Dn называется группа самосовмещений правильного n-угольника. Диаграмма Кэли группы Dn представляет собой два плоских n-угольника, у которых соответствующие вершины связаны ребрами, означающими “опрокидывание”. Ясно, что Dn является группой порядка 2n, чей граф можно упростить. Все графы, в которые входит образующая порядка 2 (например, образующая f графа D3 из примера 31), в каждой вершине содержат “петлю” из двух f-дуг. Обычно каждую такую петлю заменяют од-

42

ним ребром без стрелок, обозначающим одновременно и образующую f и обратный к ней элемент f -1.♦

Ранее уже отмечалось, что конкретная группа может быть задана следующими способами:

1.Как множество элементов с операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все остальные.

2.При помощи таблицы умножения группы, которая задает группу, т.к. в ней указаны все произведения элементов группы.

3.На основе составленной из ориентированных ребер сети, обладающей основными свойствами графа группы. Группа вполне определяется внутренней структурой сети, поскольку известно, каким образом последовательному прохождению путей должно соответствовать умножение элементов группы.

Покажем, что существует еще один способ задания группы при помощи образующих и определяющих соотношений.

Определение. ♦ Если W не является пустым словом в группе G и W=е, то это равенство называется соотношением группы G. Если слово W является произведением образующих G, то говорят, что

W=е есть соотношение между образующими группы G. ♦

Соотношения более общего вида W1 = W2 с помощью групповых аксиом можно преобразовать к виду W=W1W2-1=е. Поэтому достаточно рассматривать только соотношения вида W=е. Есть два существенно различных типа слов W, для которых W=е.

Первый тип - слова, для которых равенство W=е означает, что слово является тем же элементом группы, что и е, например, aaa или a3 в группе С3. Это равенство не является следствием групповых аксиом и в произвольной группе может не выполняться. Например, в группе С3, порожденной элементом a, равенство a2=е не справедливо.

Напротив, для второго типа слов равенство W=е, например, для aa-1=е является следствием аксиомы группы об обратных элементах и выполняется для любого элемента a любой группы Заметим, что aa-1=е – пустое слово и соответствует тривиальному пути, веду-

щему «обратно» по тем же ребрам, что и «туда».

Для введения понятие определяющих соотношений группы G, надо рассмотреть множество непустых слов А={Rk=е}, k Z.

43

Пример 35.♦ Рассмотрим вопрос о возможности существования группы с пустым множеством А, т.е. группы в которой отсутствуют соотношения между образующими. В качестве примера такой группы можно было бы рассматривать тривиальную группу {е}, но мы определим ту же самую группу иначе, если скажем, что она имеет образующие a и b, удовлетворяющие соотношениям {a=е, b=е}. В этом случае любое слово равно е. Для того, чтобы исключить из рассмотрения подобные ситуации, обычно ограничиваются группами, в которых существует хотя бы одно слово, отличное от

е.♦

Пример 36. ♦ Группа С∞, порожденная элементом a, является группой без соотношений, так как, если слово этой группы не пусто, то оно не может равняться е, поскольку a n ≠ е при n≠0.♦

Определение. ♦Группы без соотношений называются свобод-

ными или группами без кручения. ♦

Пусть множество А содержит хотя бы одно соотношение R=е. Тогда, в качестве следствия этого соотношения можно получить бесконечно много соотношений Rk=е (Rk А и Rk- непустые слова).

Из R=е и групповых аксиом вытекают не только соотношения вида

Rn=е и R - n=е, где n = 1, 2, …

Если W - слово от образующих группы G, то W-1RW=W-1еW=е и W-1R-1W=W-1еW=е. Более того, множество всех соотношений, выводимых из R=е, получается приравниванием к е всевозможных произведений с сомножителями W-1RW и W-1R-1W.

Определение.♦Пусть А - множество всех нетривиальных соотношений группы G. Множеством определяющих соотношений группы G называется такое множество В А, что соотношения из В влекут все соотношения из А.♦

Пример 37.♦ Будет ли соотношение a3=е определяющим соотношением циклической группы С3 с образующей a ?

Образуем множество А всех соотношений в С3 (заметим, что любое слово от a и a-1 можно записать как степень элемента a). Тогда А={a3k =е}, k Z. Любое нетривиальное соотношение группы С3 должно принадлежать множеству А, так как если бы a3 k+1=е было соотношением С3, то как следствие этого имели бы, что a = е. Но в группе С3 справедливо неравенство a≠е и, поэтому a3k+1≠ е. Аналогично, a3k+2=е влечет равенство a2=е, не выполняющееся в С3.

44

Таким образом, можно утверждать, что в качестве множества В определяющих соотношений группы С3 достаточно взять одно соотношение a3k+1=е. Любое соотношение из множества А есть следствие этого соотношения и аксиом группы.

Действительно, равенство a3=е влечет за собой a-3 =е и следовательно (a3)k=е, (a-3)k=е, k Z. Соотношение a3=е влечет соотно-

шение a3k = е, k Z, а это в точности все соотношения из А. Можно указать и другие множества определяющих соотношений

С3, например, В1={a-3 =е} или В2={a6 = е, a- 9 =е}.♦

Определение. ♦Слово W1 эквивалентно слову W2, если W1 можно преобразовать в слово W2, вставляя или вычеркивая слова, равные е. Эквивалентность обозначается как W1≈W2.♦

Пример 38. ♦Пусть в циклической группе С3 заданы два слова W1=a-1a-1 и W2 = aaaa. “Преобразуем” эти слова, вставляя или вычеркивая слова, равные е:

W1 = a-1a-1 = (aa-1a-1a-1 (вставка) = a(a-1a-1a-1) = aa-3 = aе = a (вычер-

кивание).

W2 = aaaa=a(aaa)=aa3=aе=a (вычеркивание).

Будем считать, что W1≈W2 в С3. Являясь разными, эти слова представляют один и тот же элемент группы С3♦

Поскольку операции вставки и вычеркивания обратимы, то процесс преобразования слова W1 в W2 можно «обратить» и преобразовать слово W2 в W1. Понятие эквивалентности слов является отношением эквивалентности, поскольку обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

По данному отношению можно построить разбиение всех слов от заданного множества символов на классы эквивалентности. В качестве представителя класса можно выбрать любое из принадлежащих ему слов.

Общая проблема, известная как проблема тождества слов, состоит в том, чтобы в случае произвольной группы определить, будут ли два слова эквивалентны. Эта проблема крайне трудна и решена для сравнительно немногих групп. Советским математиком П.С. Новиковым было показано, что в общем виде эта проблема неразрешима, т.е. построить алгоритм, который в произвольной группе решал бы вопрос об эквивалентности слов, невозможно.

45

Потенциальные возможности понятия определяющих соотношений раскрываются в следующей общей теореме.

Теорема 15. Если дано множество соотношений В={R k=е} (где каждое R k является непустым словом от заданного множества символов), то существует группа G, для которой В является множеством определяющих соотношений.

♦Доказательство данной теоремы выходит за рамки курса, поэтому ограничимся только ее применением для выбора основной процедуры построения группы при помощи образующих и определяющих соотношений. Сделаем это в абстрактных терминах, которым придадим конкретный смысл при рассмотрении примеров.

1.Зададим множество порождающих символов и В, являющее-

ся множеством соотношений В={R k=е}, где каждое Rk есть непустое слово от заданных символов.

2.Рассмотрим множество F всех слов от заданных порождающих символов.

3.Образуем подмножество K F, содежащее все слова W F, такие, что равенство W=е есть следствие заданного множества

{Rk=е}. Процедура «построения» K состоит в создании множества всех произведений (конечных последовательностей) слов вида T1RT или T-1R-1T, где R=е - соотношение из заданного множества B, а T есть произвольное слово из F. Если R=е, то ясно, что любое слово

описанного вида равно е, так как T-1еT=е. Наоборот, если V F и равенство V=е есть следствие соотношений {Rk=е}, то V есть произведение сомножителей вида T-1RT.)

4.Проведем разбиение множества F на классы эквивалентных

слов.

5.Построим произвольное множество G слов-представителей по одному слову из каждого класса эквивалентности. Любое такое множество G есть группа со следующей бинарной операцией: произведение двух представителей является представителем класса, содержащего формальное призведение. Для этой построенной группы заданные соотношения {Rk=е} являются определяющими

соотношениями.♦

Пример 39. ♦Группа диэдра Dn полностью определяется следующими условиями. Dn порождается двумя своими элементами,

46

обозначенными a и f. Эти образующие удовлетворяют следующим

определяющим соотношениям:

a n = е, f 2 = е, (a f) 2 = е.

При n=1 определяющие соотношения группы D1 принимают вид: a =е, f 2 =е, (a f)2=е. Поскольку из a=е следует, что (af)2= f 2= е,

то остаются всего два определяющих соотношения {a =е , f 2 =е}, которые определяют циклическую группу С2, т.е. D1 = С2.

При n=2 определяющие соотношения группы D2 имеют вид a2 =е, f 2 =е, (af)2=е или a2=f2=(af)2=е.

Заметим, что D2 – коммутативная группа (так как af=fa). Группа D2 встречается довольно часто и получила специальное название

четверная группа Клейна. Ее также называют квадратичной груп-

пой из-за показателя 2 в ее определяющих соотношениях. ♦ Группы D1 и D2 коммутативны. Рассмотрим справедливость это-

го утверждения в общем случае для группы диэдра Dn.

Теорема 16. Если n>2, то группа Dn не коммутативна, т.е. для Dn

справедливо [{an = f 2 =(af)2=е} (af=fa)] [n=1 или n=2].

♦Прежде всего заметим, что в любой абелевой группе диэдра Dn

е= (a f) 2 = (a f)(a f) = (a f)( fa) = a f 2a = a 2.

Если n четно, то соотношение a2=е влечет соотношение an=е. Исходные определяющие соотношения эвивалентны следующим:

{a2 =е, f 2 =е, (af)2=е}, т.е. соотношениям D2.

Если же n нечетно, допустим n=2k+1, то a2=е=an= a2k+1=a2ka=еa=a. Поэтому, a=е и исходные соотношения эвивалентны {a=е, f2=е}, т.е. соотношениям D1, что и требовалось доказать.♦

Пример 40.

♦ Рассмотрим группу диэдра бесконечного порядка D∞, в которой соотношение an=е не выполняется. Поэтому определяющими соотношениями группы являются f 2 =е, (af) 2 = е.

Для выполнения f2=е в каждой вершине D∞ должна быть петля или f-ребро. Соотношение (af)2=е соответствует четырехугольнику в каждой вершине. Сторонами четырехугольника должны быть чередующиеся a-ребра и f-ребра.♦

Из рассмотрения диаграмм Кэли групп диэдра становится ясно, что это «продублированные» графы циклических групп.

47

Группа Dn представляется с помощью двух n-угольников, составленных из a-ребер и связанных один с другим непосредственно f-ребрами.

Группа D∞ представляется двумя параллельными прямыми, составленными из a–ребер, связанных f-ребрами. Это подсказывает, что новые “большие” группы можно иногда создавать, комбинируя “малые” группы.

Пусть S - множество с бинарной операцией , а G и H - его подмножества, являющиеся группами относительно операции . Пусть группа G имеет образующие g1, g2 , g3 ,…, а группа H имеет образующие h1, h2 , h3 ,… Считаем также, что у G и H есть только один общий элемент - единица е и что любой элемент из G перестановочен с любым элементом из H. При этих условиях можно построить прямое произведение G×H, образовав множество всех произведений элементов G и H с операцией . Это является группой, порожденной элементами {g1, g2 , g3 ,…, h1, h2 , h3 ,…}.

Группа Сn×Сm называется прямым произведением циклических групп Сn и Сm. Понятие «прямого произведения» чрезвычайно полезно. Например, любая конечная абелева группа является прямым произведением циклических групп. Для абелевых групп обычно используется термин «прямая сумма», т.к. операция в них обозначается символом «+».

Пример 41. ♦ Рассмотрим группу “улиц” с образующими a и f, каждая из которых порождает бесконечную циклическую группу С∞ (ни в одной из этих групп на образующую не накладывается никаких ограничений). Эти две бесконечные циклические группы не имеют общих элементов кроме е. поскольку fa=af или faf-1a-1=е, то любой элемент первой группы перестановочен с любым элементом второй группы и множество образующих a и f порождает прямое произведение С∞×С∞=С∞2.♦

В общем случае определяющие соотношения прямого произведения G×H получают из определяющих соотношений группсомножителей G и H, присоединяя к ним соотношения перестановочности любой образующей группы G с любой образующей группы H. В этом случае присоединенные соотношения гарантируют, что любой элемент группы G коммутирует с любым элементом

48

группы H. Такое требование входит в определние прямого произведения.

Пример 42. ♦ Построим группу G = С2×С2. Для построения этой группы зададим циклическую группу порядка 2, порожденную элементом х с соотношением х2=е, и другую циклическую группу порядка 2, порожденную элементом у с соотношением у2 = е.

Группа G=С2×С2 имеет образующие х и у, удовлетворяющие соотношениям х2=у2=е. Требование, перестановочности х и у можно записать как хух-1у-1=е, что, эквивалентно ху = ух . Таким образом, G = С2×С2 задается определяющими соотношениями групп сомножителей {х2 =е, у2=е} с добавочным соотношением хух-1у-1=е.

Поскольку х-1=х и у-1=у, то для С2×С2 определяющие соотношения можно записать в виде {х2 =е, у2 = е, хуху=е} или {х2=у2=хуху= е}.

Это есть определяющие соотношения для группы D2 (четверной группы из примера 38) и, следовательно, С2×С2 = D2.♦

2.2. Подгруппы

Изучение внутренней структуры конкретной группы позволяет установить многие ее свойства. Внутреннюю структуру некоторых подгрупп можно описать с помощью их подгрупп.

Определение. ♦ Множество H называется подгруппой группы G, если выполнены следующие условия:

1.Любой элемент множества H является элементом группы G;

2.H является группой, относительно определенной в группе G

бинарной операции .♦ Пример 43. ♦ Рассмотрим циклическую группу порядка 4.

С4 = {е, a, a2, a3} и найдем ее подгруппы порядка 2. Поскольку подгруппа является группой и, следовательно, должна содержать элемент е, все подгруппы порядка 2 группы С4 должны находиться среди множеств R ={е, a}, S ={е, a2}, T ={е, a3}. Эти множества удовлетворяют условию 1 определения подгруппы, так как их элементы принадлежат группе С4. Что же касается условия 2, то множество R = {е, a}, было бы циклической группой 2 порядкав случае выполнения соотношения a2=е. Но при определенной в С4 бинарной операции a2≠е. Поэтому, R не является погруппой С4. Методом “проб” и “ошибок” убеждаемся, что единственной подгруппой порядка 2 группы С4 является множество S = {е, a2}.♦

49

Для доказательства того, что множество Н является группой относительно некоторой операции необходимо убедиться в выполнении всех групповых аксиом. Если заранее известно, что рассматриваемое множество Н является подмножеством группы G, то проверка выполнения групповых аксиом упрощается. Для этого рассмотрим условие 2 определения подгруппы и покажем, что

1.Операция группы G, рассматриваемая лишь на элементах H, является бинарной операцией на множестве H.

2.Операция ассоциативна.

3.Обратный к любому элементу из множества Н принадлежит Н.

4.Единица группы G принадлежит множеству H.

Условие 2 выполняется автоматически, поскольку является групповой операцией группы G и, следовательно, она ассоциативна. Условие 4 следует из условий 1 и 3, так как если h H, то h-1 H (согласно условию 3), а h h-1=е также принадлежит Н (по условию 1). Это позволяет уменьшить количество условий при определении подгруппы.

Определение Н1. ♦Подмножество H является подгруппой группы G, если выполнены следующие условия.

1.замкнутость операции в Н: h1,h2 H h1 h2 H.

2.обратимость элементов Н: h H h -1 H.

Определение Н2. Подмножество H является подгруппой группы G, если выполнено единственное условие.

h1,h2 H h1 h-12 H. ♦

Каждая группа имеет две особые подгруппы – несобственные: множество, состоящее из всех элементов группы G с групповой операцией и множество {e} с той же операцией. Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп, которые называют собственными.

Рассмотрим бесконечную циклическую группу С∞ с операцией, образующей a и элементами …, a-2,a-1,е,a,a2,… Любая подгруппа С∞ является циклической. Имеются ли в С∞ конечные собственные подгруппы? Может ли подмножество S4={е,a,a2,a3} быть С4? Для операции в С∞ справедливо, что a4≠е S4≠С4. S4 также не замкнуто относительно , т.к. все степени a в группе С∞ различны (на-

50

пример, a2 a3=a5 S4). Поэтому, S4 не является подгруппой С∞. Бо-

лее того, С∞ вообще не имеет собственных конечных групп.

Имеются ли бесконечные подгруппы в С∞? Подмножество D={…,a-4, a-2, е, a2, a4,…} состоит из четных степеней образующей a группы С∞. Условие замкнутости операции выполняется, так как произведение двух четных степеней элемента a снова является его четной степенью. Для проверки свойства обратимости, заметим, что (a2k)-1 = a-2k D. поскольку оба свойства определения 1 подгруппы выполнены, то D - подгруппа группы С∞. D является бесконечной циклической группой с образующей a2. Существуют также подгруппы с образующей a3,…, с образующей ak,… и т.д.

Таким образом, циклическая группа С∞ имеет бесконечное множество собственных подгрупп, каждая из которых является бесконечной циклической группой.

Пример 44. ♦ Является ли множество Е четных чисел с обычной операцией сложения подгруппой группы (Z,+)? Проверим выполнение характеристического условия для подгруппы:

(h1=2k1, h2=2k2) E h1 h-12 = 2 (k1- k2) E.

Таким образом, E является подгруппой группы (Z,+). В то же время множество О всех нечетных чисел не является подгруппой группы (Z,+), т.к. сумма двух нечетных чисел есть число четное и не принадлежит множеству О. ♦

Как известно, простым называют натуральное число, большее единицы, не имеющее делителей, кроме самого себя и единицы. Существуют группы с аналогичными свойствами, т.е. не содержащие других подгрупп, кроме несобственных. Конечная группа не имеет собственных подгрупп ее порядок - простое число. Часть “тогда” этого утверждения является следствием теоремы, устанавливающей числовое соотношение между порядком группы и порядком любой из ее подгрупп.

Определение.♦Пусть Н есть подгруппа группы G. Для элементов группы G можно ввести следующее отношение эквивалентности х≡у(mod H) x-1y H, или, что то же самое, если y=xh, для некоторого h H. Классы эквивалентности по введенному отношению эквивалентности называются левыми смежными классами группы G по подгруппе Н. Соответствующее разбиение называется левым разложением группы G по подгруппе Н. Аналогично можно ввести

51

правые смежные классы и правое разложение группы G по подгруппе Н.♦

Пусть Н - подгруппа группы G. Предположим (для простоты), что Н содержит четыре различных элемента Н = {e,h1,h2,h3}. Для b G,b Н рассмотрим Нb=bН={be,bh1,bh2,bh3}={b, bh1, bh2, bh3}, т.е.

множество, полученное умножением элементов множества Н на элемент b. Для определенности здесь выбрано умножение слева. Мы утверждаем следующее

1.Все элементы множества Нb различны.

2.Н и Нb не имеют общих элементов.

Для доказательства 1 примем, например, что bh1=bh3. Умножая обе части этого равенства слева на b-1, получим b-1bh1=b-1bh3 или h1= h3, что противоречит предположению о том, что группа Н содержит четыре различных элемента.

Для доказательства 2 допустим, что некоторый элемент подгруппы Н равен некоторому элементу множества Нb, например, пусть h2=bh1. Тогда, умножая это равенство справа на h1-1, получим h2h1-1=bh1h1-1=b. Элемент h2h1-1 Н (так как Н - группа), в то время как по предположению b Н. Таким образом, допущение, что Н и Нb имеют общий элемент привело к противоречию.

Мы получили восемь элементов группы G: четыре в подгруппе Н={e,h1,h2,h3} и остальные в множестве Нb={b,bh1,bh2,bh3}.

Сама подгруппа Н есть смежный класс группы G по Н, поскольку Н = eН = {ee, eh1, eh2, eh3}={e, h1, h2, h3}.

Если с G, с Н и с bН, то элемент с можно использовать для образования нового смежного класса сН группы G по подгруппе Н:

сН = {сe, сh1, сh2, сh3} = {с, сh1, сh2, сh3}.

Все элементы смежного класса сН различны и Н∩сН= . Элементы класса сН отличны также и от элементов смежного класса bН. Это вытекает из следующего рассуждения.

Пусть смежные классы bН и сН имеют хотя бы один общий элемент, допустим, bh1 = ch2. Умножая это равенство слева на с-1 и справа на h1-1, получим

с-1bh1h1-1=с-1ch2h1-1 с-1b = h2h1-1 Н.

Отсюда с-1bh=h2h1-1h пробегает множество всех элементов подгруппы Н, когда h последовательно пробегает все это множество. Поэтому из равенств с(с-1bh=h2h1-1h) или с(с-1bh=h2h1-1h) следует,

52

что bН = сН. Теперь имеются уже 12 элементов группы G, содержащиеся в трех смежных классах:

Н={e,h1,h2,h3}, bН={b,bh1,bh2,bh3},

сН={с,сh1,сh2,сh3}.

Если в группе G имеется всено 12 элементов, то они все уже выписаны и, таким образом, получено разбиение группы G на непересекающиеся классы. В этом случае группа G является объединением этих подмножеств, т.е. G = Н bН сН.

Если же в группе G имеется больше 12 элементов, то в ней имеется элемент d Н bН сН. Тогда, снова образуем новый левый смежный класс dН={d, dh1, dh2, dh3}. Все элементы dН различны и ни один из этих элементов не содержится ни в одном из рассмотренных ранее смежных классах.

Таким образом, мы получили 16 различных элементов группы G, содержащиеся в четырех левых смежных классах ( по 4 элемента в каждом). Если группа G состоит из 16 элементов, то можно записать

G = Н bН сН dН и т.д.

Теорема 17 (Ж. Лагранж). Порядок конечной группы G кратен порядку любой из ее подгрупп Н.

♦ Теорема утверждает, что |G|=g и |Н|=h g= nh, n=1,2,…,g. Для несобственных подгрупп G и ({е}, ) число n равняется 1 и g соответственно. Если Н – собственная подгруппа, то n = 2, …, g-1.

Для доказательства теоремы выберем в G некоторую подгруппу Н порядка h, элемент b Н и образуем смежный класс bН. Этот смежный класс содержит h элементов, а множества Н и bН вместе содержат 2h различных элементов группы G. Если с: с Н, с bН то образуем новый смежный класс сН и получим всего 3h различных элементов группы G.

Всякий раз, когда имеется хотя бы один элемент группы G, не вошедший в объединение ранее образованных смежных классов, можно создать новый смежный класс, содержащий h различных элементов. Так как порядок G конечен, то, добавляя на каждом шаге h различных элементов, через конечное число шагов мы должны исчерпать все элементы G. Если после создания n левых смежных классов по подгруппе Н все элементы группы G окажутся исполь-

53

зованными, то получим разбиение G на n левых смежных классов по h элементов в каждом классе: G = Н bН сН ….. zН.

Таким образом, порядок группы G является числом, кратным порядку любой ее подгруппы Н. Число смежных классов называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается через [G:H]. Порядок конечной группы G равен произведению порядка любой

ееподгруппы Н на индекс этой подгруппы в G.♦

Вприведенном доказательстве были использованы левые смежные классы. При использовании правых сежных классов доказательство по существу не изменится.

Правомерно поставить следующий вопрос: совпадают ли левые и правые смежные классы по одной и той же подгруппе? Если это не так, то можно ли, по крайней мере, надеяться на то, что любой левый смежный класс bН содержит в точности те же элементы, что и некоторый правый смежный класс сН?

Пример 45. ♦Рассмотрим группу диэдра D3 6-го порядка из примера 31, заданную образующими a, f и определяющими соотношениями {a3=е, f2=е, (a f)2= е}. Группа D3 содержит циклическую подгруппу 2-го порядка Н={е, f}. Образуем левые и правые

В этих разбиениях никакие два смежных класса, за исключением самой подгруппы Н, не совпадают. Как смежный класс aН, так и смежный класс a2Н отличаются от обоих правых смежных классов На и Нa2. Мы получили два различных разбиения группы D3 на ле-

вые и правые смежные классы соответственно D3 = Н аН a2Н и D3 = Н Нa Нa 2.

Пример показывает, что левые и правые смежные классы группы G по подгруппе Н могут давать различные разбиения группы G.♦ Пример 46.♦Рассмотрим пример бесконечных смежных классов. В примере 44 показано, что множество Е четных чисел с обычной операцией сложения является подгруппой аддитивной

54

группы целых чисел G=(Z,+). Представим группу (Z,+) как объединение смежных классов по подгруппе Е.

Пусть а G, а Е., т.е. а - нечетное число. Рассмотрим множество аЕ, полученное применением групповой операции «+» к элементу а и всем элементам множества Е={е1 , е2 , е3 ,… }. Тогда аЕ будет иметь следующий вид: аЕ={ а+е1 , а+е2,а+е3 ,… }. Смежный класс аЕ совпадает с множеством О всех нечетных чисел, какое бы нечетное число мы ни взяли в качестве а. Объединение смежных классов Е и О совпадает со всем множеством целых чисел Z

Z=Е аЕ или Z ={…,-4,-2,0,2,4,…} {…,-3,-1,1,3,…}.

Ввиду коммутативности группы (Z,+) левые и правые смежные классы совпадают ( Еа это также есть множество О). Аналогичным способом можно найти смежные классы множества Z по подгруппе Т всех чисел, кратных любому целому числу n.♦

Укажем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема 18. Если порядок группы G есть простое число, то

1.G не имеет собственных подгрупп;

2.G является циклической группой.

♦ Утверждение 1 следует из теоремы Лагранжа и определения простого числа.

Для доказательства утверждения 2 обозначим через а любой отличный от е элемент G простого порядка. Если порядок а равен n, то an=е и n>1 и множество Н={е, a, a2, a3, …, an-1}, где n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка Сn в группе G. Покажем это следующими рассуждениями на основе двух условий определения подгруппы.

1. Замкнутость. Для любых двух элементов из Н справедливо равенство a ja k = a j+ k . Так как j+k = nq+m, где q и m целые числа,

такие, что n>m≥0, то a j+ k = (an)qa m = a m Н.

2. Обратимость. Если a j Н a n+ j Н и a ja n-j = a n = e . Отсюда следует, что Н – подгруппа данной группы G простого

порядка. По теореме Лагранжа порядок h этой подгруппы H является делителем простого числа р, но так как h≠1, то h=р. Поскольку Н есть подгруппа G, то, следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2 и теорему в целом.♦

55