Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G имеется подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку подгруппы Н. Остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: обязательно ли в группе G: |G|=nk содержится подгруппа H порядка k? Ответ на этот вопрос дает теорема норвежского математика Л. Силова.

Теорема 19 (Л. Силов). Пусть G группа порядка g и h – делитель числа g. Если h=pn, где p – простое число, а n - некоторое целое положительное число, то G содержит подгруппу порядка h.

♦Доказательство теоремы Силова выходит за рамки курса. Теорема показывает, что утверждение, обратное теореме Лагранжа ложно. ♦

Понятие группы тесно связано с понятием отображения – групповую операцию операцию можно рассматривать как отображение. Каждой упорядоченной паре элементов r и s ставится в соответствие единственный элемент группы t такой, что (r, s)→t.

Таким образом, множество упорядоченных пар элементов группы отображается на группу. Таблица умножения группы полностью описывает это отображение. Первые элементы всех пар

(r, s) записываются в левом столбце, вторые элементы пары – в верхней строке, а образ пары t при отображении записывается в соответствующей ячейке таблицы.

Нас будут интересовать отображения, называемые гомоморфизмами, и их частный вид – изоморфизм. Понятия, связанные с этими отображениями, важны для изучения свойств не только групп, но и других алгебраических структур. Слова «гомоморфизм» и «изоморфизм» однокоренные. Корень «морф» (по гречески «форма») указывает на их связь со структурой.

Пример 47.♦Прежде, чем дать строгое определение, рассмотрим пример гомоморфного отображения аддитивной группы целых чисел (Z,+) на аддитивную группу четных чисел (Е,+). Это отображение ϕ: n→2n ставит в соответствие каждому элементу n группы (Z,+) элемент 2n, принадлежащий (Е,+).

ϕ = … -2 -1 0 1 2…… -4 -2 0 2 4…

Любые два элемента n1 и n2 группы (Z,+) при этом переходят в элементы 2n1 и 2n2 соответственно, а их сумма n1+n2 - в 2(n1+n2).

56

Образ суммы элементов n1 и n2, равный 2n1+2n2, есть сумма образов 2n1 и 2n2 этих элементов. Отображение ϕ является примером гомоморфизма одной группы на другую♦

Пусть даны две группы G, H и сюръективное отображение группы G на группу Н. Это означает, что любой элемент группы Н является образом некоторого элемента группы G. Обозначим образы элементов a и b группы G через ϕ(a) и ϕ(b) соответственно. Так , как G и H являются группами, то произведения ab и ϕ(a)ϕ(b) принадлежат группам G и H соответственно.

Определение. ♦Характеристическое свойство гомоморфного отображения ϕ: G→H или гомоморфизма группы G на группу H

заключается в следующем

a,b G ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b),

т.е. произведение ab переходит в элемент ϕ(a)ϕ(b) группы Н.♦

В примере 47 для гомоморфизма ϕ: (Z,+)→(Е,+) выполняется

равенство ϕ(n1+n2)=ϕ(n1)+ϕ(n2).

Вообще говоря, каждая из групп G и H имеет свою собственную единицу, бинарную операцию и т.д. Поэтому, ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b) является сокращением следующего утверждения: пусть символ обозначает бинарную операцию в группе G, символ - бинарную операцию в группе Н, а ϕ - гомоморфное отображение группы G на группу H, тогда для любых элементов и группы G справедливо равенство

ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b).

В дальнейшем не будем использовать эту сложную форму записи за исключением случаев, когда отказ от нее затрудняет понимание, и будем, как правило, писать

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).

В то время как при произвольном отображении устанавливается соответствие между отдельно взятыми элементами двух множеств, при гомоморфном отображении принимаются во внимание также бинарные операции в обоих группах и устанавливается соответствие как между отдельно взятыми элементами, так и между произведениями элементов.

Пример 48. ♦ Рассмотрим отображение циклической группы С4 с образующей а на циклическую группу С2 с образующей f

57

Отметим, что единица группы С2 обозначена е*, чтобы отличить ее от е - единицы группы С4.Пользуясь таблицей умножения группы С4, можно проверить, что ϕ переводит каждое произведение элементов С4 в произведение образов этих элементов в группе С2, так что ϕ(rs)= ϕ(r)ϕ(s), где r,s - любые два элемента группы С4.

В таблице умножения группы С4 (табл. 6) в каждой ячейке слева указаны произведения элементов группы и справа от них их образы

Таблица образов всех произведений элементов С4 представляет собой четырежды повторенную таблицу умножения группы С2.

Гомоморфное отображение показывает сходство структур групп С4 и С2. Благодаря наличию этого сходства и существует такое отображение. Если попытаться построить гомоморфизм, например, группы С3 на С2, то возникнут непреодолимые трудности, причина которых заключается в отсутствии необходимого для существования гомоморфизма сходства структур этих групп.♦

Рассмотренное в примере 48 гомоморфное отображение группы С4 на группу С2 не является биективным, т.к. например, различные элементы a и a3 группы С4 переходят в один и тот же элемент группы С2. Отображение одной конечной группы на другую может быть биекцией лишь в том случае, когда эти группы имеют одинаковый порядок. Взаимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфным отображением

или изоморфизмом.

Определение. ♦Изоморфизм групп – отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям

1.ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) a,b (гомоморфизм);

2.ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) a = b (взаимная однозначность).♦

58

Необходимо отметить, что изоморфизм одной группы на другую означает, что они имеют одинаковую алгебраическую структуру. Именно по этой причине и существует изоморфизм одной группы на другую.

Пример 49. ♦ Пусть элементами группы Н служат корни уравнения х4-1 = 0, т.е. Н={1,i,-1,-i}, где i = -1. Групповой операцией является обычное умножение.

Очевидно, что ϕ - биекция, но будет ли оно гомоморфизмом? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем таблицу умножения группы С4 (таблица 7 и сравним каждое произведение r с его обра-

Учитывая равенство i2 = -1, заметим, что образы ϕ(r) элементов группы С4 образуют таблицу умножения группы Н и ϕ(rs)=ϕ(r)ϕ(s).

Отсюда следует, что отображение ϕ не только взаимно однозначно, но и гомоморфно, т.е. ϕ - изоморфизм. В таких случаях говорят, что группы С4 и Н изоморфны.

Две группы изоморфны, если существует изоморфизм одной группы на другую. С точки зрения этого определения изоморфизм есть как свойство двух групп, так и свойство связывающего их отображения.

Графы изоморфных групп С4 и Н совпадают с точностью до обозначений при вершинах и образующих. Это положение может быть распространено произвольные изоморфные группы.♦

Пример 50.♦Пусть G1=(Z,+) – аддитивная группа целых чисел, а G2=(Е, +) - ее собственная подгруппа, состоящая из всех четных чисел. Группа G1 может быть изоморфно отображена на собствен-

59

ную подгруппу G2. Введем ϕ: n→2n, сопоставляющее n G1 число 2n G1. Покажем, что это отображение - изоморфизм.

ϕ(n1+n2)= 2(n1+n2)=2n1+2n2 =ϕ(n1)+ϕ(n2).

Кроме того, ϕ(n1)=ϕ(n2) означает, что 2n1=2n2, а это последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда n1=n2.♦

Две изоморфные группы называют абстрактно равными и считают их одной и той же абстрактной группой. Именно благодаря этому приобретают определенность, например, такие термины, как «циклическая группа порядка 6» или «группа диэдра порядка 6».

Утверждение, что изоморфные группы абстрактно равны, не означает, что такие группы совершенно одинаковы – из него лишь следует, что они обладают одинаковыми групповыми структурными свойствами.

Существует лишь конечное число «абстрактно различных» групп порядка n. С точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из n символов, существует лишь конечное число различных таблиц умножения.

Заметим, что группа диэдра D3 порядка 6 и циклическая группа С6 порядка 6 не изоморфны (и, следовательно, абстрактно различны), так как вторая из этих групп коммутативна, а первая нет. Других абстрактных групп порядка 6 не существует. Аналогично, если р является простым числом, то существует только одна абстрактная группа порядка р (конечно, это циклическая группа Сp).

На основании этих примеров не следует делать вывод о том, что перечислить все абстрактно различные группы данного порядка легко. Известно, например, что существует 267 абстрактных групп порядка 64, но пока еще никто не подсчитал число абстрактных групп порядка 256.

Отождествление изоморфных групп и образование понятия абстрактной группы аналогично образованию понятия числа путем абстрагирования от его конкретных интерпретаций.

Понятие изомофных или абстрактно равных групп является важным: иногда можно существенно упростить доказательство теоремы, используя вместо некоторой группы изоморфную ей. Так, как изоморфные группы имеют одну и ту же групповую структуру, теорема распространяется на все группы, изоморфные той, которая была использована в доказательстве.

60

2.3. Нормальные подгруппы

Рассмотрим гомоморфные отображения групп, обращая особое внимание на то, как действует отображение на подгруппах группы.

В развитии и применении теории групп особую роль сыграли некоторые подгруппы специального вида. Э. Галуа, занимаясь исследованиями корней алгебраических уравнений, показал, что каждому алгебраическому уравнению соответствует группа конечного порядка, а природа корней уравнений зависит от того, каковы, так называемые, нормальные (или самосопряженные или инвариант-

ные) подгруппы.

Определение.♦Пусть дана группа G. Подгруппа К группы G называется нормальной, если каждый левый смежный класс aК группы G по К совпадает с соответствующим правым классом Кa.

Таким образом, все подгруппы абелевой группы являются нормальными подгруппами. Во всякой группе G сама группа и единичная подгруппа будут нормальными подгруппами.♦

Пример 51.♦Группа G является своей нормальной подгруппой, поскольку любой левый смежный класс gG и любой правый смежный класс Gg совпадают со всей группой G. Единичная погруппа е={e} является нормальной, т.к. для каждого элемента группы G классы gе и еg совпадают (каждый из них состоит из одного элемента).♦

Пример 52.♦ В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц порядка n с элементами, являющимися действительными числами, нормальную подгруппу составляют матрицы, определитель которых равен 1. Смежным классом по этой подгруппе (одновременно левым и правым), порождаемым матрицей М, является класс всех матриц, определитель которых равен определителю матрицы М. (Достаточно вспомнить, что при умножении матриц их определители перемножаются). ♦

Исследуем нормальные подгруппы с двух позиций:

1.с точки зрения гомоморфных отображений;

2.с точки зрения разбиения элементов группы на смежные классы по нормальной подгруппе.

Оба эти подхода соответствуют различным аспектам одного и того же основного структурного свойства.

61

Первый подход опирается на выявление ряда соотношений между элементами группы путем «вычислений», опирающихся на групповые аксиомы.

Исследуем некоторые групповые гомоморфизмы, потребовав, чтобы они отображали специальные подгруппы в единицу группыобраза, и посмотрим к каким результатам приведут эти условия.

Рассмотрим группу диэдра D3 шестого порядка из примера 31.

D3 = {е, a, a 2, a 3, f },

R = {a 3 =е, f 2 = е, (fa) 2=е}.

Группа D3 имеет подгруппу Н={е,f}. Пусть гомоморфизм D3 на группу G ϕ: D3→G, такой, что все элементы Н переходят в единицу группы G, т.е. ϕ(е)=ϕ(f)=е.

Посмотрим, во что при гомоморфном отображении ϕ переходят элементы, не принадлежащие подгруппе Н.

Покажем, что ϕ(a)=е. a = еa = (fa)2a = fafaa = (fa)(fa2). Посколь-

ку ϕ-гомоморфизм r,s D3 ϕ(rs)=ϕ(r)ϕ(s) G. Поэтому,

ϕ(a)= ϕ(fa* fa2) = ϕ(fa)ϕ(fa2) = ϕ(f)ϕ(a)ϕ(f)ϕ(a2) =

= ϕ(f) ϕ(f)ϕ(a)ϕ(a2) = ϕ(f2)ϕ(a3) = ϕ(e)ϕ(e) = e*e = e, т.е. ϕ(a) = е.

Аналогичные вычисления для других элементов дают следующее

ϕ(a2) = ϕ(а) ϕ(а) = e*e = e, ϕ(fa) = ϕ(f)ϕ(а) = ee = e, ϕ(fa2) = ϕ(f)ϕ(а2) = ee = e.

Отсюда следует, что каждый элемент группы D3 отображается в е. Это доказывает, что любой гомоморфизм группы D3, переводя-

ший подгруппу Н в e, отображает в e всю группу D3.

Рассмотрим теперь гомоморфизм ϕ: D3→G, который переводит в е некоторую другую подгруппу, например, подгруппу К={е,a,a 2}.

Из соотношений ϕ(е) = ϕ(а) = ϕ(а2) = e следует, что

ϕ(fa)=ϕ(f)ϕ(а)=ϕ(f), ϕ( fa2)=ϕ(f)ϕ(а2)=ϕ(f)

и этот гомоморфизм можно представить в следующем виде

Поскольку с2=ϕ(f)ϕ(f)=ϕ(f2)=ϕ(е)=е, то множество {е, с} является циклической группой 2-го порядка. Мы неявно считали с = ϕ(f) ≠ е. Существует тривиальное отображение ϕ: ϕ(f)=е, но это равенство не является непременным следствием равенства ϕ(а) = е.

62

Таким образом, гомоморфное отображение ϕ: D3→G группы D3, которое переводит подгруппу К в е, не обязательно отображает в е всю группу D3. Оно может отображать группу D3 на циклическую группу 2-го порядка.

Эти результаты показывают на существенное различие между подгруппами К и Н в группе D3. Подгруппа К обладает некоторой особенностью, которую можно охарактеризовать как “неизменность” (инвариантность) некоторого, связанного с ней объекта, в то время как соответствующий объект подгруппы Н будет “изменяемым”.

Всвязи с этим подгруппу К называют нормальной или инвариантной. Изучению существенных свойств нормальных подгрупп поможет рассмотрение смежных классов по таким подгруппам.

Впримере 46 были рассмотрены все левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе Н={е,f}. Отмечалось, что классы

aН и На не совпадают (как множества) aН = {а,af}, На = {а, fа}. Рассмотрим теперь все левые и правые смежные классы группы

D3 по подгруппе К={е,a,a2} 3-го порядка.

Отсюда следует , что левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе К совпадают, те fК = Кf.

Гомоморфное отображение ϕ группы D3 на циклическую группу 2-го порядка действует следующим образом:

ϕ: смежный класс К → е,

ϕ: смежный класс fК = смежный класс Кf → ϕ(f), т.е.

ϕ = К fК Кf и D3 = К fК ≡ К Кf .

е ϕ(f) ϕ(f)

Из рассмотренного примера следует, что представление группы D3 в виде объединения смежных классов по К остаются неизменными или инвариантными независимо от того, представляется ли группа в виде объединения левых или правых смежных классов. В следующей теореме устанавливается связь между нормальными подгруппами и гомоморфизмами.

63

Теорема 20. Пусть ϕ: G→Н есть гомоморфизм группы G на группу Н и К={х: х G, ϕ(х)=е Н}, где е является единицей группы Н. Тогда К есть нормальная подгруппа группы G.

♦Сначала докажем, что К является подгруппой группы G. Для этого проверим выполнение двух условий, которым должна удовлетворять подгруппа.

1. Замкнутость. Нужно убедиться, что х1,х2 К х1х2 К.

Для этого покажем, что ϕ(х1)=е,ϕ(х2)=е ϕ(х1х2)= е. Поскольку ϕ есть гомоморфизм, то ϕ(х1х2)=ϕ(х1)ϕ(х2) = ее = е и тем самым доказана замкнутость множества К.

2. Обратимость. Из х К х-1 К, т.е. ϕ(х)=е ϕ( х-1)=е, т.е.

свойство обратимости для К выполняется. Теперь докажем, что К является нормальной подгруппой группы G, т.е. надо показать, что уК= Ку для любого элемента группы G.

Пусть х1 – произвольный, фиксированный элемент подгруппы К. Тогда является х1у является элементом смежного класса

Ку = { х1у, х2у, х3у, …}.

Мы хотим показать, что элемент х1у принадлежит смежному классу

уК = { ух1 , ух2 , ух3 , …}.

Для этого надо решить уравнение уz = х1у относительно z и показать, что z К. Элемент z=у-1х1у является решением уравнения уz = х1у и остается лишь показать, что ϕ(z)=е.

ϕ(z) = ϕ(у-1х1 у) = (поскольку ϕ - гомоморфизм)

=ϕ(у-1) ϕ(х1) ϕ( у) = (поскольку х1 принадлежит К)

=ϕ(у-1)ϕ( у) = (поскольку ϕ - гомоморфизм)

=ϕ(у-1 у) = ϕ(е) = е.

Таким образом, z К. Поскольку х1у является произвольным элементом смежного класса Ку, то мы доказали, что каждый элемент из смежного класса Ку принадлежит смежному классу уК.

Аналогично, если ух1 является произвольным элементом смежного класса уК, то можно показать, что ух1 Ку. Для этого нужно решить относительно z уравнение zу = ух1, а затем проверить, что z=ух1у-1 К. Отсюда будет следовать, что всякий элемент смежного класса уК принадлежит и смежному классу Ку. Таким образом, уК = Ку, что требовалось доказать.♦

64

Пусть К –нормальная подгруппа группы G. Вид соотношения уК=Ку подсказывает, что здесь идет речь о некоторой разновидности коммутативности.

Такое свойство можно сформулировать следующим образом:

у G, х1 К х2 К: ух2 =х1у или х2 = у-1х1у и х1 =ух2 у-1.

Из этого свойства вытекает, что каждая подгруппа коммутативной (абелевой) группы есть нормальная подгруппа. Действительно, в абелевой группе для любых двух ее элементов у и х1 справедливо равенство ух1 = х1у и, следовательно, уК = Ку.

В коммутативной группе все подгруппы являются нормальными. В тоже время существуют некоммутативные группы, у которых все подгруппы также являются нормальными и неабелевы группы, ни одна собственная подгруппа которых не является нормальной. Наименьшая неабелева группа, все подгруппы которой нормальны называется группой кватернионов и построена ирландским математиком У.Р Гамильтоном. Она имеет порядок 8 и порождается двумя элементами a, b с определяющими соотношениями a2=b2=(ab) 2.

Нетрудно построить граф группы кватернионов, если заметить, что a4 = b4 = (ab) 4 = е.

Определение. ♦Неабелева группа, все подгруппы которой нормальны называется гамильтоновой.

Группа, не имеющая собственных нормальных подгрупп, назы-

вается простой♦

Любая конечная гамильтонова группа может быть представлена в виде прямого призведения некоторой группы кватернионов и абелевой группы. Наименьшей по порядку простой группой является группа 60 порядка, называемая группой икосаэдра (икосаэдр - правильный двадцатигранник). Эта группа порождается элементами a, b с определяющими соотношениями {a5 = е, b2 = е, (ab)3 =

е}.

Группа икосаэдра хорошо известна в математике благодаря той роли, которую она сыграла в исследованиях французского математика Э.Галуа о разрешимости алгебраического уравнения пятой степени общего вида. Э.Галуа показал, что хотя у группы движений икосаэдра много собственных подгрупп, ни одна из них не является нормальной подгруппой.

65