моморфное отображение кольца R на кольцо Q называется эпи-

морфизмом. ♦

Пример 60.♦Если каждому многочлену от одного переменного с комплексными коэффициентами поставить в соответствие свободный член этого многочлена, то получится гомоморфизм кольца многочленов с комплексными коэффициентами на кольцо всех комплексных чисел (С,+,*).♦

Определение.♦Отображение ϕ: R→Q кольца R в кольцо Q называется изоморфизмом, если а1,а2 R справедливы следующие равенства:

ϕ(а1+а2) = ϕ(а1) + ϕ(а2), ϕ(а1а2) = ϕ(а1)ϕ(а2),

ϕ(а1) ≠ ϕ(а2) а1 ≠ а2.

Кольца R и Q называются изоморфными, что обозначается в виде R Q♦

Пример 61.♦Кольцо всех квадратных матриц порядка n с действительными элементами изоморфно кольцу всех линейных преобразований, реализуемых в действительном n-мерном линейном векторном пространстве (с обычным сложением и умножением преобразований).♦

Определение.♦Подгруппа А аддитивной группы кольца R называется подкольцом R, если а1,а2 R а1а2 R. Подкольцо А кольца R называется левым (соответственно правым) идеалом кольца, еслиа А, r R аr A (соответственно rа A).

В коммутативных кольцах понятия левого и правого идеала совпадают. Двусторонним идеалом кольца R называют подкольцо А, являющееся одновременно и левым и правым идеалом кольца R.

Все кольцо R является идеалом самого себя и называется единичным идеалом. Элемент содержится в любом идеале.

Подмножество { }, содержащее лишь нулевой элемент кольца R, также является идеалом и называется нулевым идеалом. По отношению включения единичный идеал – это наибольший, а нулевой – наименьший среди всех идеалов. Все остальные идеалы называются нетривиальными идеалами.

Кольцо, не имеющее никаких двусторонних идеалов, кроме единичного и нулевого, называется простым. ♦

75

Пример 62.♦ В кольце всех целых чисел (Z,+,*) числа nZ, кратные некоторому фиксированному числу n, составляют идеал.

В кольце всех квадратных матриц порядка n множество всех матриц, у которых последний столбец состоит из нулей, является левым идеалом, а множество матриц, у которых последняя строка состоит из нулей, является правым идеалом.

Для кольца рациональных чисел (Q ,+,*) множество целых чисел (Z,+,*) является его подкольцом, но не идеалом, так как, например, 1 Z, 2-1 Q, но 2-1*1 = 2-1 Z.

Кольцо всех квадратных матриц порядка n с любыми комплексными элементами - простое кольцо.♦

Определение.♦Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным идеалом и обозначается как (а)l, (а)r или (а), в зависимости от того, является ли идеал левым, правым или двусторонним.

Область целостности с единицей, в которой все идеалы – глав-

ные, называется кольцом главных идеалов. ♦

Пример 63.♦ Пусть R – коммутативное кольцо. Тогда главным идеалом является (а) = {ra+nа: r,а R , n - целое число}. Кольцами главных идеалов являются кольцо всех целых чисел (Z,+,*) и кольцо многочленов от одного переменного с комплексными переменными. ♦

Идеалы играют в теории колец роль, аналогичную нормальным делителям в теории групп, а именно - позволяют сопоставлять кольцу R ряд новых колец (факторкольца данного кольца) и обозревать таким образом всевозможные гомоморфизмы кольца R.

Определение.♦ Пусть R – произвольное кольцо, а А – его идеал. Тогда можно построить факторгруппу аддитивной группы кольца R по подгруппе, состоящей из всех элементов идеала А.

Если в множестве всех смежных классов r+А (r R), являющихся элементами этой факторгруппы, дополнительно ввести операцию умножения по следующему правилу (r+А)(r′+А)=rr′+А, где r,r′ R,

то получим новое кольцо R/А - факторкольцо кольца R по идеалу А.

Элементы a,b R, принадлежащие одному и тому же смежному классу, называются сравнимыми по модулю А, что записывают как a ≡ b (mod А). Смежные классы называются классами вычетов

76

кольца R по модулю идеала А. Смежный класс, содержащий элемент r, обозначается через [r]. Справедливо, что [r] = r + А. ♦

Пример 64.♦Построим факторкольцо кольца всех целых чисел (Z,+,*) по идеалу А = (n), порожденному целым числом n. Через [a] обозначим класс вычетов по модулю (n), содержащий число a. Это также может быть записан в виде a+(n).

Отметим, что (n) является главным идеалом, порожденным числом n. Элементами факторкольца Z/(n) являются смежные классы

[0] = 0 + (n), [1] = 1 + (n), …, [n-1] = (n-1) + (n). Кольца такого вида называют кольцами вычетов.♦

Если r R поставить в соответствие определяемый им смежный класс r+A по идеалу A, то это даст гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо R/A, ядром которого будет являться идеал A. Имеет место теорема, аналогичная теореме о гомоморфизмах групп. Предварительно напомним, что эпиморфизмом называется гомоморфизм ϕ, являющийся сюръекцией, а мономорфизмом - гомоморфизм, являющийся инъекцией.

Теорема 22 (теорема о гомоморфизмах колец). Для всякого гомоморфизма ϕ: R→Q кольца R на кольцо Q существует изоморфизм Q на факторкольцо R/К кольца R по ядру К=Ker ϕ гомоморфизма ϕ. Более точно, для эпиморфизма ϕ существует однозначно определенный изоморфизм σ кольца R/Ker ϕ на кольцо Q такой, что эпиморфизм ϕ является результатом последовательного применения канонического эпиморфизма χ, а затем – изоморфизма σ.

♦ Пусть К=Ker ϕ. Если х≡х′ (mod К), то ϕ(х′)=ϕ(х)+ϕ(х′-х)=ϕ(х),

поскольку х′-х К и ϕ(х′-х) = . Последнее равенство показывает, что при отображении ϕ все элементы некоторого класса вычетов по mod К имеют один и тот же образ в Q.

Это позволяет определить отображение σ: R/К→Q, положив σ([х]) = ϕ(х), где х – произвольный представитель из класса [х]. Очевидно, что σ: R/К→Q есть гомоморфизм (даже эпиморфизм) и что ϕ(х) = σ (χ (х)) для всех х R.

Дополнительно нужно еще показать, что σ - мономорфизм, тогда он является и изоморфизмом. Пусть σ([х]) = σ([z]) и х [х], z [z]. Тогда, по определению отображения σ, имеем ϕ(х) = ϕ(z).

77

Отсюда следует, что = ϕ(х) - ϕ(z) = ϕ(х-z) и х- z К. Значит х ≡ z (mod К) и [х] = [z]. Теорема доказана.♦

Определение.♦Полем называется коммутативное кольцо R≠{ }, в котором а≠ , b R !х R: aх=b. Элемент кольца х называют частным от деления b на a и обозначают х = b/a.♦

Всякое поле обладает единицей е. Для любого элемента поля, отличного от нуля, существует обратный ему элемент. Никакое поле не содержит делителей нуля.

Множество всех отличных от нуля элементов поля образует относительно определенной в этом поле операции умножения абеле-

ву группу, называемую мультипликативной группой поля. Единст-

венными идеалами поля являются нулевой идеал и само поле. Множество с двумя алгебраическими операциями, изоморфное

полю, само является полем. Всякое гомоморфное отображение одного поля на другое является или гомоморфизмом, или отображением, переводящим все элементы поля в нуль.

Пример 65.♦Полями являются кольцо всех рациональных чисел (Q,+,*), кольцо всех действительных чисел (R,+,*), кольцо всех комплесных чисел (C,+,*).

Все комплексные числа, являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффициентами, образуют поле алгебраических чисел.

Кольцо всех целых чисел (Z,+,*) полем не является. Но, полем является всякое его факторкольцо по идеалу (р), называемое полем классов вычетов по модулю р и состоящее из всех чисел, кратных простому числу р.

Полем являются все дробно-рациональные функции f(х)/g(х), где f(х) и g(х) – многочлены с действительными коэффициентами и g(х)≠0.♦

Определение.♦ Если в поле F некоторое целое положительное кратное единичного элемента е ne = e+ e + e +…+ e (n cлагаемых) равно нулю, то наименьшее целое положительное число р со свойством ре = называется характеристикой поля F ( р всегда является простым числом). Если никакое целое положительное кратное единичного элемента поля F нулю не равно, то поле F называется

полем характеристики нуль.♦

78

Пример 66.♦ Полем характеристики р является поле классов вычетов по модулю простого числа р. Поле характеристики нуль – любое числовое поле (например, поле всех действительных чисел).♦

Определение.♦ Подмножество F′ элементов поля F называется подполем F, если F′ само есть поле по отношению к операциям, определенным в F. Если F′ - подполе поля F, то F называют расширением поля F′. Поле, не имеющее никаких подполей кроме него самого, называется простым.♦

Пример 67.♦Простыми полями, например, являются поле всех рациональных чисел и поле классов вычетов по модулю простого числа р.♦

Определение.♦ Если в поле F даны подполе F′ и множество элементов N, то наименьшее подполе F′′ поля F, содержащее F′ и N, называется полем, полученным присоединением множества N к полю F′, и обозначается в виде F′′ = F′(N).

Если множество множества N состоит из одного элемента α, то F′′ называется простым расширением поля F′. Если при этом α является корнем некоторого многочлена f(х) с коэффициентами из поля F′, то F′′ = F′ (α) называется простым алгебраическим расширением поля F′, а элемент α называется алгебраическим относительно F′.

Если же многочлена f(х) с коэффициентами из поля F′, корнем которого было бы α, не существует, то поле F′′ = F′(α) называется

простым трансцендентным расширением поля F′, а элемент α называется трансцендентным относительно F′.♦

Пример 68.

♦ Простое алгебраическое расширение поля рациональных чисел конструируется присоединением к нему числа α = √2 и состоит из всех чисел вида а+с√2, где а, с - рациональные числа. Поле всех комплексных чисел является простым расширением поля всех действительных чисел, полученным из него присоединением корня i многочлена х2+1. Поле всех дробно-рациональных функций f(х)/g(х), где f(х) и g(х) - многочлены с рациональными коэффициентами и g(х)≠0, является простым трансцендентным расширением поля рациональных чисел. ♦

79

Определение.♦ Если f(х) – многочлен с коэффициентами из поля F, то всегда существует некоторое расширение F° поля F, такое что f(х) является произведением многочленов первой степени с коэффициентами из F° т.е.

f(х)=а0*(x-α1)*(x-α2)*…*(x-αn), где а0 F°, αi F°, i=1,…, n.

Подполе поля F°, полученное присоединением к полю F элементов

α1,α2,…,αn, называется полем разложения многочлена f(х). (Здесь

α1,α2,…,αn – это корни многочлена f(х)). Если все корни любого многочлена с коэффициентами из поля F лежат уже в самом поле

F, то F называется алгебраически замкнутым. ♦

Пример 69.♦Алгебраически замкнутыми полями являются, например, поле всех комплексных чисел и поле алгебраических чисел.♦

Если каждый элемент некоторого расширения F ≈ поля F является алгебраическим относительно поля F , то поле F ≈ называется

алгебраическим расширением поля F . Всякое простое алгебраическое расширение поля есть алгебраическое расширение.

Приведем без доказательства формулировку важной теоремы абстрактной алгебры.

Теорема 23 (Э. Штейниц). ♦ Для любого поля существует такое алгебраическое расширение, которое является алгебраически замкнутым полем (и дальнейшего расширения уже не допускает).♦ После рассмотрения общих свойств полей перейдем к рассмотрению конечных полей, т.е. полей, содержащих конечное число элементов. Теория конечных полей, являеющаяся ветвью современной алгебры, стала за последние полвека весьма актуальной в

связи с разнообразными приложениями.

Разработка общей теории конечных полей началась с работ К.Гаусса и Э.Галуа, но привлекла внимание прикладников лишь в последние десятилетия в связи с возросшим значением дискретной математики.

Теорема 24. Каждое конечное целостное кольцо является конечным полем.

♦ Напомним, что конечное кольцо состоит из конечного количества элементов, называемого порядком кольца.

Пусть а0, а1, а2, …, аn являются элементами конечного целостного кольца R. Для некоторого фиксированного ненулевого элемента

80

а R рассмотрим произведения аа0 , аа1, аа2 , …, ааn. Они различны,

т.к. если ааi = ааj, то а(аi - аj) = 0, и т.к. а≠0 ,то аi - аj = 0 и аi = аj.

Таким образом, каждый элемент в R имеет вид ааi и, в частности, е= ааi для некоторого i, 1 ≤ i ≤ n , где е – единица R. Поскольку кольцо R коммутативно, то также аiа = е, так что элемент аi является мультипликативным обратным к а. Таким образом, ненулевые элементы кольца R образуют абелеву группу по операции умножения, т.е. кольцо R – поле, что и требовалось доказать.♦

Теорема 25. Факторкольцо Z/(р) кольца целых чисел по главному идеалу (р), порожденному простым числом р, является полем.

♦ В силу теоремы 24 достаточно показать, что Z/(р) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является класс вычетов [1] и что равенство [а][b] = [ ] выполняется в том и только том случае, когда аb = kр для некоторого целого числа k. Но, поскольку р – простое число, то оно делит произведение аb тогда и только тогда, когда оно делит, по крайней мере, один из сомножителей. Следовательно, либо [а] = [ ], либо [b] = [ ], так что кольцо не имеет делителей нуля, т.е. Z/(р) является целостным кольцом, что и требовалось доказать. ♦

Пример 70. ♦ Пусть р=3. Тогда факторкольцо Z/(3) состоит из трех элементов [ ], [1] и [2]. Операции в этом кольце можно задать таблицами сложения и умножения (табл. 8), аналогичными таблицам Кэли для конечных групп. Факторкольцо Z/(3) является первым примером конечного поля. Напомним, что все вычисления производятся в модулярной арифметике:

Таблица 8

Определение. ♦ Для простого числа р обозначим через Fр множество {0,1,2,…р-1} неотрицательных целых чисел. Кроме того пусть отображение ϕ: Z/(р)→Fр определяется условием ϕ([а])=а для а=0,1,…р–1. Тогда, множество Fр со структурой поля, вы-

81

званной отображением ϕ, называется полем Галуа порядка р и обозначается как GF(p).♦

В соответствии с ранее изложенным, отображение ϕ: Z/(р)→Fр является изоморфизмом, поэтому ϕ([а]+[b])=ϕ([а])+ϕ([b]) и ϕ([а][b])= ϕ([а])ϕ([b]). Нулем конечного поля Fр будет 0, а единицей является 1. Структура поля Fр совпадает со структурой поля Z/(р). При вычислениях с элементами поля Fр применяется обычная арифметика целых чисел с приведением по модулю р. Характеристикой конечного поля Z/(р) (т.е. и Fр) является простое число р.

Пример 71. ♦ Рассмотрим поле Z/(5), изоморфное полю Галуа GF(5). Здесь F5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Изоморфизм ϕ: Z/(5)→F5 задается соответствием [ ]→0, [1]→1, [2]→2, [3]→3, и [4]→4. Таблицы операций сложения и умножения поля F5 имеют вид, как показано в табл.9

Теорема 26. Если Fq является конечным полем простой характе-

Это следует из того, что биномиальный коэффициент С(р,s) есть целое число и при этом сомножитель р в числителе не может сократиться. Поэтому по формуле бинома имеем (учитывая, что все вычисления проводятся в поле Fq по модулю р и mp [ ]):

82

(а+b) p = аp+С(р,1)аp-1b+С(р,2)(аp-2b 2+…+С(р, р-1)аbp-1 = аp+bp .

Далее индукцией по n устанавливаем первое тождество теоремы и

получаем

аk = ((а-b)+b) k = (а-b) k + b k,

откуда следует второе тождество, что и требовалось доказать. ♦ Отметим, что теорема 26 справедлива и для более общего слу-

чая – коммутативного кольца R простой характеристики p.

3.1. Кольцо многочленов

Определение. ♦ Пусть Fq – конечное поле. Многочленом (или полиномом) над Fq называется выражение вида

f(х) = Σаixi = а0 + а1x + а2x2 +…+ аnxn,

где n N, аi Fq , 0≤i≤n, x Fq – некоторый символ, называемый пе-

ременной (неизвестным) над полем Fq.♦

В тех случаях, когда из контекста ясно, какая переменная имеется в виду, для обозначения многочлена f(х) обычно используется просто символ f.

Определение.♦Многочлены f(х) = Σаixi и g(х) = Σbixi, 0≤i≤n считаются равными над Fq аi = bi для 0 ≤ i ≤ n.

Определим сумму многочленов f(х) и g(х) равенством:

f(х) + g(х) = Σ (аi+bi)xi.

Определим произведение многочленов (свертку многочленов)

f(х) = Σаixi (0 ≤ i ≤ m) и g(х) = Σbjxj (0 ≤ j ≤ n) равенством: f(х)g(х) = Σ сkxk (0 ≤ k ≤ n+m),

где сk = Σаibj (i+j = k, 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n).

Множество многочленов с такими операциями образует кольцо. Кольцо многочленов над конечным полем Fq с определенными выше операциями сложения и умножения называется кольцом многочленов над Fq и обозначается через Fq[х].♦

Нулевым элементом кольца Fq[х] является многочлен, все коэффициенты которого равны . Он называется нулевым многочленом и обозначается через .

Пусть f(х) = Σаixi (0 ≤ i ≤ n) – ненулевой многочлен над Fq . Значит можно считать, что аn≠0. Тогда аn называется старшим коэф-

фициентом f(х), а0 - постоянным членом, а n - его степенью, обо-

значаемую символом deg(f)= deg(f(х))=n. Для удобства примем, что

83

deg ( ) = - ∞. Многочлены f(х), у которых deg(f)≤0, называются по-

стоянными многочленами (или константами).

Если старший коэффициент многочлена f(х) равен 1 (единице)

Fq , то многочлен называют нормированным (или приведенным).

Вычисление старших коэффициентов суммы и произведения многочленов f,g Fq[х] приводит к легко проверяемому результату: deg(f +g) ≤ max(deg(f), deg(g)), deg(fg) = deg (f) + deg (g).

В кольце Fq[х] введем понятие делимости многочленов. Будем считать, что многочлен g Fq[х] делит многочлен f Fq[х], если

h Fq[х] f=gh. Тогда g называют делителем f, а f-кратным g.

В кольце многочленов Fq[х] существут деление многочленов с остатком. Сначала рассмотрим алгоритм деления чисел.

Теорема 27. Всякое целое a представляется единственным образом через положительное целое b в форме a=bq+r, 0≤ r<b.

♦Действительно, одно представление a в такой форме получим, взяв bq равным наибольшему общему кратному числа b, не превосходящему а. Допустив также, что a = bq1+r1, 0≤r1<b, получим 0

= b(q-q1) + r - r1 r - r1 кратно b. Но т.к. |r-r1|< b, последнее воз-

можно лишь при r - r1=0, т.е. при r = r1 q = q1.

Число q называется неполным частным, а число r - остатком от деления a на b.♦

Пример 72.♦ Пусть b=14. Имеем 177 = 14*12+9, 0<9<14; - 64 = 14*(-5)+6, 0<6<14; 154 = 14*11+0, 0=0<14.♦

Теорема 28 (алгоритм Евклида). Пусть a,b Z+. Тогда наиболь-

rn-1 = rn qn,

♦Процесс деления заканчивается, когда получаем некоторое rn =0.

Последнее неизбежно, т.к. ряд {b, r2, r3,…} как ряд убывающих целых чисел не может содержать более, чем b положительных.

84

Рассматривая равенства (5), опускаясь сверху вниз, убеждаемся, что общие делители чисел a и b одинаковы с общими делителями чисел b и r2, далее одинаковы с общими делителями чисел r2 и r3, чисел r3 и r4,…, чисел rn-1 и rn, наконец, с делителями одного числа rn. Одновременно с этим имеем (a,b)=(b,r2)=(r2,r3)=…=(rn-1,rn)=rn.

Витоге мы приходим к следующим результатам:

1.Совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей их наибольшего общего делителя.

2.Этот наибольший общий делитель равен rn, т.е. последнему,

неравному нулю остатку алгоритма Евклида.♦ Пример 73. ♦ Применим алгоритм Евклида для нахождения

НОД(525,231).

525 = 231*2 + 63, 231 = 63*3 + 42, 63 = 42*1 + 21, 42= 21*2.

Последний положительный остаток rn = 21 и НОД(525,231)=21.♦ Теорема 28. (алгоритм деления многочленов). Пусть Fq- конеч-

ное поле, g Fq[х], g≠0. Тогда f Fq[х] q,r Fq[х], такие что f = qg+r, где deg(r)< deg (g).

Пример 74. ♦ Рассмотрим многочлены из кольца F5 [х]: f(х) = 2x5 + x4 + 4x + 3 и g(х) = 3x2 +1.

Вычислим многочлены q,r F5[х], используя деление “уголком”:

т.е. q(х)=4x3+2x2+2x+1 и r(х)=2x+2. Очевидно, что deg(r)<deg (g).♦

Алгоритм Евклида справедлив и для нахождения НОД двух многочленов над конечным полем. Пусть f, g Fq[х]. Предположим, что многочлен g≠0 и не делит многочлен f. Тогда, многократно применяя алгоритм деления многочленов, получим

f =g q1 + r2, 0 ≤ deg(r2)< deg(g), g = r2 q2 + r3, 0 ≤ deg(r3)< deg(r2), r2 = r3 q3 + r4, 0 ≤ deg(r4)< deg(r3), …….

rn-2 = rn-1qn-1 + rn, 0 ≤ deg(rn)< deg(rn-1), rn-1 = rn qn.

85