где g1D = 2hv(ε) – 1D плотность состояния для носителей, движу-

щихся в одном направлении. Для нулевой температуры Т = 0 К функции распределения представляют собой ступенчатые функции (напр. fS (ε,T = 0)=θ(ε − μ)), что дает вычислить интеграл (11.4.3)

следующим образом:

Эта формула подразумевает нулевую вероятность обратного рассеяния, когда R =0 и T = 1. Вероятности прохождения (T) и отражения (R) связаны очевидным соотношением

T + R =1 . (11.4.5)

Если в одномерном канале есть рассеиватель с ненулевой вероятностью отражения назад R, то (11.4.4) модифицируется следующим образом:

что совпадает с (11.3.8) при условии наличия только одной моды распространения (строго одномерный канал).

11.5. Две формулы для сопротивления

Квантовый точечный контакт либо квазиодномерный канал транзистора можно представить как «туннельный» барьер. Потенциал барьера может быть создан, например, одним или скоплением атомов примеси в канале, либо вне его. «Туннелирование» через барьер в одномерном канале идентично рассеянию, которое может проходить только двумя способами: либо прямо вперед (прохождение), либо прямо назад (отражение). Вероятность такого рассеяния (с характерным временем τR ) можно представить в виде формулы

где вероятность отражения R играет роль сечения (безразмерная величина в одномерном случае), v0 и n1D – скорость и концентрация носителей в одномерном проводнике.

260

Пусть слева на барьер налетает поток электронов J0, часть электронов с вероятностью Т проходит через барьер (JT), часть с вероятностью 1 −T отражается ( JR ) (рис. 11.5).

n0 T nT

J0 JT

JR

Рис. 11.5. Транспорт через идеализированный барьер (рассеиватель) в одномерном канале

Из закона сохранения заряда имеем JT = T J0 , JR = (1−T )J0 , J0 = JT + JR . Скорость электрона v0 справа и слева от барьера

одинакова, поэтому соответствующие одномерные плотности можно записать как

Поскольку одномерная плотность состояний с учетом спинового вырождения

то, приравнивая (11.5.3) и (11.5.4), получаем

261

Эта формула, представляющая оригинальный результат Ландауэра (1958), очевидным образом не согласуется с формулой (11.4.6). Это разногласие являлось предметом довольно долгих дискуссий среди теоретиков. Действительно, в чисто баллистическом случае без отражения (T = 1) последняя формула дает бесконечную проводимость и нулевое сопротивление, что не подтверждается на эксперименте. С другой стороны, причина наличия конечного сопротивления при отсутствии рассеяния тоже кажется не вполне очевидной.

11.6. Роль контактов

Разрешение этого противоречия скрывается в ключевой роли контактов для наноструктур. Даже если соединить два массивных контакта с разными потенциалами идеальным одномерным проводником, измеренное сопротивление все равно останется конечным. Это связано с тем, что приложенное напряжение в этом случае будет полностью падать на самих контактах! Анализ показывает, что формула (11.4.6) описывает проводимость всей структуры (контакты + одномерный канал), а формула (11.5.7) дает проводимость непосредственно одномерного канала. Тогда полное сопротивление всей структуры Rtot складывается из сопротивления кон-

тактов и сопротивления одномерного канала R1D :

что эквивалентно

Rtot = Rcontact + R1D .

Здесь надо более детально обсудить экспериментальную ситуацию. Пусть нужно измерить сопротивление некоторого резистора. Предположим без потери общности, что имеется идеальный вольтметр (с бесконечным внутренним сопротивлением) и идеальный амперметр (с нулевым внутренним сопротивлением). Измерение сопротивления можно проводить двумя различными способами. В

262

2-зондовом методе можно измерить величину сопротивления посредством включения резистора в последовательную цепь какоголибо источника тока (например, нагрузочного сопротивления RL )

и последующего измерения падения напряжения на его двух выво-

дах (рис. 11.6).

Рис. 11.6. Электрическая схема 2-зондового метода измерения сопротивления

В этом случае имеем

В 2-зондовом методе и ток, и сопротивление измеряются, по сути, во внешней цепи. При измерениях такого рода невозможно разделить контактные явления, т.е. изменения химического и электрического потенциалов в малых областях контактов, непосредственно примыкающих к узкому перешейку, соединяющему два контакта. Внешнее напряжение Vext задает разность электрохимических по-

тенциалов между областями в глубине массивных контактов ( μ1 и

μ2 ), так что μ1 − μ2 = qVext . Таким образом, при 2-зондовом методе измерения, когда два зонда используются одновременно для задания напряжения и измерения тока, получаем полное сопротивление структуры, включая сопротивления контактов к резистору R:

Для того чтобы измерить сопротивление непосредственно одномерного проводника, нужно знать электрохимические потенциа-

263

лы не в глубине контакта, а непосредственно на границе одномерного канала (барьера) ( μa и μb на рис. 11.7). На практике можем задавать только разность «внешних» электрохимических потенциалов μ1 и μ2 . «Внутренний» электрохимический потенциал слева от барьера μa меньше соответствующего объемного «внешнего» значения μ1 из-за того, что часть электронов уходит за барьер; по этой же причине «внутренний» потенциал μb оказывается больше своего объемного значения μ2 (рис. 11.7). Поэтому связь «внут-

ренних» и «внешних» электрохимических потенциалов по обе стороны барьера с проницаемостью Т можно записать следующим образом:

μa = μ1 − T2 (μ1 − μ2 ),

Разность «внутренних» электрохимических потенциалов меньше разности «внешних» потенциалов qVDS

При нулевой проводимости (проницаемости) Т = 0 фактически имеем идеальный конденсатор, а при идеальной проницаемости Т = 1 в окрестности 1D резистора – одинаковый потенциал

μa = μb = (μ1 + μ2 )2 .

Рис. 11.7. «Внешние» и «внутренние» электрохимические потенциалы по обе стороны от полупроницаемого барьера

Выравнивание «внешних» и «внутренних» электрохимических потенциалов происходит на длинах порядка длины пробега по

264

энергии Lε . Диссипация энергии (т.е. выделение тепла) происхо-

дит именно на этих участках.

Для того чтобы экспериментально разделить сопротивление контактов от внутреннего сопротивления 1D резистора, необходимо независимое измерение тока и внутреннего падения напряжения в резисторе, что требует дополнительную пару зондов (рис. 11.8).

Рис. 11.8. Электрическая схема 4-зондового метода измерения сопротивления

С помощью такого 4-зондового случая можно измерить непосредственно сопротивление одномерного канала, которое будет соответствовать формуле

Тогда, если из полного сопротивления вычесть сопротивление самого одномерного канала, то получим сопротивление контактов

Таким образом, если в объемных (3D) или даже в достаточно широких двумерных (2D) проводниках всегда можно обойти проблему контактов, сделав их сопротивление много меньшим сопротивления самого образца, так чтобы контактные эффекты не

265