Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Загребаев Методы матпрограммирования 2007

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

10.97 Mб

Скачать

☆

1 / 341 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

А.М. Загребаев, Н.А. Крицына Ю.П. Кулябичев, Ю.Ю. Шумилов

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 519.85(075) ББК 22.18я7 М 54

Методы математического программирования в задачах оптимизации сложных технических систем: учебное пособие / А.М. Загребаев, Н.А. Крицына,

Ю.П. Кулябичев, Ю.Ю. Шумилов. – М.: МИФИ, 2007. – 332 с.

Приведены теоретические основы методов оптимизации. Рассмотрены методы линейного, целочисленного и нелинейного программирования. Представлено большое количество практических задач, решение которых основано на использовании методов оптимизации.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика» и практикантов, а также будет полезно инженерам и аспирантам, работающим в области оптимизации параметров технических систем различного назначения.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент д-р техн. наук, проф. А.Д. Модяев

ISBN 978-5-7262-0807-7	© Московский инженерно-физический институт
	(государственный университет), 2007

О Г Л А В Л Е Н И Е

ПРЕДИСЛОВИЕ...........................................................................................................		6
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОНЯТИЯ........................................................		9
Глава 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ .........................		15
1.1. Задача линейного программирования и ее геометрический смысл.........		15
1.2. Симплекс-метод...........................................................................................		20
1.2.1. Порядок решения задач линейного программирования
	симплекс-методом ...........................................................................	20
1.2.2. Алгоритм решения задач линейного программирования
	с использованием симплекс-таблиц...............................................	25
1.2.3. Примеры решения практических задач
	линейного программирования........................................................	27
1.3. Вырожденные задачи линейного программирования...............................		35
1.3.1. Понятия вырожденности и зацикливания решения задач
	линейного программирования........................................................	35
1.3.2.	Антициклин......................................................................................	39
1.4. Метод искусственного базиса.....................................................................		41
1.4.1.	Особенности метода........................................................................	41
1.4.2. Примеры решения задач с использованием метода
	искусственного базиса.....................................................................	45
1.5. Двойственные задачи линейного программирования...............................		55
1.5.1.	Основные положения ......................................................................	55
1.5.2.	Двойственный симплекс-алгоритм.................................................	60
1.5.3. Примеры решения двойственных задач
	линейного программирования........................................................	62
1.6. Транспортная задача линейного программирования................................		67
1.6.1.	Постановка задачи...........................................................................	67
1.6.2. Нахождение первого опорного плана ............................................		69
1.6.3.	Метод потенциалов..........................................................................	72
1.6.4. Транспортные задачи с неправильным балансом .........................		79
1.7. Дискретное программирование...................................................................		84
1.7.1.	Постановка задачи...........................................................................	84
1.7.2. О решении задач линейного целочисленного
	программирования...........................................................................	88
1.7.3. Метод отсечения. Первый алгоритм Гомори.................................		90
1.7.4. Метод ветвей и границ....................................................................		94
1.7.5.	Метод зондирования решений........................................................	97
1.7.6.	Примеры решения задач
	целочисленного программирования.............................................	100
	3

Глава 2.	ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ПРИКЛАДНЫХ
	ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ................................................................		108
2.1.	Применение линейного программирования в теоретико-игровых
	методах исследования сложных систем...................................................		108
	2.1.1. Теоретические основы матричных игр........................................		108
	2.1.2. Сведение матричной игры к задаче
		линейного программирования......................................................	111
2.2.	Оптимальное распределение запасов реактивности при работе
	системы ядерных реакторов в переменном суточном
	графике нагрузки........................................................................................		114
	2.2.1.	Физическая постановка задачи.....................................................	114
	2.2.2. Оптимальное распределение запасов реактивности
		в системе двух реакторов с линейной зависимостью
		возможной степени снижения мощности
		от запасов реактивности................................................................	118
2.3.	Оптимальная кластеризация как задача
	линейного программирования...................................................................		126
	2.3.1. Математическая постановка задачи кластерного анализа..........		126
	2.3.2. Математические критерии оптимальной кластеризации............		132
	2.3.3.	Методы оптимальной кластеризации...........................................	135
	2.3.4.	Приближенные методы кластеризации........................................	140
	2.3.5. Зависимость времени и качества кластеризации
		от количества объектов, кластеров и размерности
		признакового пространства...........................................................	148
Глава 3.	НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.........................................		160
3.1. Постановка задачи......................................................................................			160
	3.1.1. Минимизация функции одной переменной.................................		161
	3.1.2. Поиск отрезка, содержащего точку минимума ...........................		163
3.2. Методы одномерной минимизации..........................................................			164
	3.2.1. Методы нахождения глобального минимума
		унимодальных функций................................................................	165
	3.2.1.1. Прямые методы минимизации..........................................		165

3.2.1.2Методы минимизации, основанные на использовании

	производных функций.......................................................	167
3.2.2. Методы поиска глобального минимума
многоэкстремальных функций .....................................................		169
3.2.3. Методы минимизации унимодальных функций..........................		169
3.2.3.1.	Метод золотого сечения....................................................	170
3.2.3.2.	Метод дихотомии..............................................................	175
3.2.3.3.	Метод парабол
	(метод полиномиальной аппроксимации) .......................	179
3.3. Минимизация функций без ограничений
(безусловная минимизация) ......................................................................		181
3.3.1. Методы нулевого порядка.............................................................		183
3.3.1.1.	Метод покоординатного спуска.......................................	183
	4

	3.3.1.2.		Метод ортонормальных направлений
			(метод Розенброка) ............................................................	191
	3.3.1.3. Метод сопряженных направлений (метод Пауэлла).......			195
	3.3.2.	Методы первого порядка...............................................................		200
	3.3.2.1.		Градиентные методы.........................................................	200
	3.3.2.2.		Метод сопряженных градиентов......................................	210
	3.3.3.	Методы второго порядка...............................................................		213
	3.3.3.1. Метод Ньютона (метод Ньютона – Рафсона)..................			213
	3.3.3.2.		Сходимость метода Ньютона ...........................................	215
	3.3.3.3. Метод Ньютона с регулировкой шага..............................			216
	3.3.4. Метод переменной метрики (метод Девидона) ...........................			218
3.4. Минимизация функций с ограничениями................................................				223
	3.4.1.	Метод штрафных функций ...........................................................		223
	3.4.2. Метод Фиакко и Мак-Кормика (метод барьерных функций,
		метод внутренней точки)...............................................................		226
	3.4.3.	Методы возможных направлений ................................................		226
	3.4.4.	Метод проекции градиента...........................................................		231
	3.4.5. Метод проекции градиента при линейных ограничениях..........			234
	3.4.6.	Метод условного градиента..........................................................		237
	3.4.7.	Метод линеаризации.....................................................................		242
	3.4.8. Другие методы минимизации функции с ограничениями..........			243
	3.4.9. Способы определения начальной точки......................................			244
Глава 4.	НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
	В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ..............................			246
4.1.	Применение линейного программирования в теоретико-игровых
	методах исследования сложных систем...................................................			246
	4.1.1. Теоретические предпосылки решения матричных игр...............			246
	4.1.2. Основы метода фон Неймана........................................................			248
	4.1.3.	Алгоритм фон Неймана.................................................................		250
	4.1.4.	Математическое программирование
		в теории биматричных игр............................................................		253
	4.1.4.1.		Биматричные игры.
			Основные теоретические сведения.................................	253
	4.1.4.2.		Нахождение ситуации равновесия
			в биматричных играх.........................................................	258
	4.1.4.3. Метод Лемке – Хоусона. Теоретические основы............			267
	4.1.4.4.		Алгоритм Лемке – Хоусона решения
			биматричных игр...............................................................	274
4.2. Оптимальное распределение нагрузки в системе ядерных реакторов...				280
	4.2.1. Оптимальное распределение запасов реактивности
		в системе двух реакторов с линейной зависимостью
		возможной степени снижения мощности от запасов
		реактивности..................................................................................		280
	4.2.2. Максимально возможный эффект оптимизации.........................			288
4.3. Формирование банковского портфеля максимальной доходности........				290
	4.3.1. Основные характеристики ценных бумаг....................................			290
			5

4.3.2. Постановка задачи формирования портфеля
максимальной доходности при фиксированной величине
риска................................................................................................	295
4.3.3. Решение задачи формирования оптимального портфеля
с использованием множителей Лагранжа....................................	297
4.3.4. Пример задачи формирование оптимального портфеля.............	302
4.4. Использование методов нелинейного программирования при оценке
параметров формирующего фильтра........................................................	306
4.4.1. Основные свойства формирующих фильтров.............................	306
4.4.2. Корреляционная функция формирующего фильтра
второго порядка .............................................................................	311
4.4.3. Задача идентификации коэффициентов формирующего
фильтра как задача нелинейного программирования.................	313

4.4.3.1.Алгоритм решения задачи методом Ньютона – Гаусса..315

4.4.3.2.Алгоритм решения задачи

методом покоординатного спуска....................................	319
4.4.4. Пример расчета коэффициентов формирующего фильтра ........	321

4.5.Оптимизация режима работы ядерного реактора в переменном суточном графике нагрузки с учетом возможности

утилизации энергии ...................................................................................		323
4.5.1.	Постановка задачи. ........................................................................	324
4.5.2.	Анализ оптимального решения...........................................................
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................................		323

ПРЕДИСЛОВИЕ

Первооснову математического программирования составляют методы нахождения экстремума (максимума или минимума) функций, заданных на некоторой области изменения переменных. Задачи такого рода встречаются в самых разных областях человеческой деятельности: в экономике, технике, военном деле и т.д. Математическое программирование – один из разделов науки, имеющей название «исследование операций».

Задачи, которые решаются с помощью методов математического программирования возникают там, где необходим выбор одного из возможных образов действий (или программ действий). Именно отсюда название «программирование» – в смысле выбор программы действий. Название не имеет ни какого отношения к программированию в смысле написания программ для ЭВМ и возникло раньше, чем ЭВМ. Хотя, надо отметить, что все методы, в конечном счете, рассчитаны на использование ЭВМ. Первые задачи линейного программирования, являющегося основой математического программирования, были рассмотрены русским математиком Канторовичем ещё в 1939 г. (задача выбора наилучшей программы загрузки группы лущильных станков). Однако их практическое решение требовало большого объема вычислений. Создание высоко производительных ЭВМ послужило стимулом развития теории и практики как математического программирования, так и других разделов исследования операций. Суть у всех этих разделов одна – выбор наилучшей программы действий в задачах оптимизации с различными математическими моделями.

Так, в математическом программировании дается функция, которую нужно оптимизировать (т.е. найти экстремум), и ограничения на область изменения переменных; а в оптимальном управления задаётся оптимизируемый функционал и процесс, описываемый с помощью дифференциальных уравнений и т.д.

Математическое программирование – один из важнейших разделов, представляющих интерес для специалистов, занимающихся прикладной математикой, и изложено в той или иной мере в различных изданиях как в России, так и за рубежом, ряд из которых приведен в списке литературы.

Данная книга представляет собой результат многолетнего чтения курса «Математическое программирование» на кафедре «Математическое обеспечение систем» в Московском инженернофизическом институте и помимо теоретических соображений, охватывающих разделы линейного, целочисленного и нелинейного программирования, содержит многоплановые примеры решений задач, иллюстрирующих применение методов математического программирования на практике.

В книге рассматривается многообразие прикладных задач оптимизации, решение которых обеспечивается методами математического программирования, независимо от их физического содержания. Так, особенностью книги является единый подход к оптимизации игровых задач, задач распределения запасов реактивности в ядерных реакторах, а также задач, связанных с оптимальной кластеризацией и т.д.

Каждая глава книги содержит большое количество доведенных до конечного результата примеров.

Книга предназначена для специалистов по прикладной математике, а также может быть полезна студентам вузов соответствующих специальностей.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

Приведем ряд общепринятых обозначений и понятий, используемых при рассмотрении материала последующих глав.

1. Пусть x и y – n -мерные векторы
x	y
1	1	,
x = M	, y = M	,

xn	yn

x т = (x1 , K, xn ) – транспонированный вектор,

				n
тогда < x, y >= x т y = ∑xi yi – скалярное произведение векторов x
и y .				i=1
и y .
		a	K a
		11	1n
2.	A = K K K				– матрица размерности m ×n .
	am1		K amn
3.	f (x) = f (x1 , K, x1n ) – функция n переменных.

Функция f (x) имеет 1-ю и 2-ю непрерывные производные на множестве D в n-мерном пространстве R n .

Пусть некоторая точка x 0 D . Тогда f (x) может быть представлена в виде ряда Тейлора относительно этой точки:

f (x1 , K, xn ) = f (x10							n	∂f	(xi − xi0 ) +
f (x1 , K, xn ) = f (x10							, K, xn 0 ) + ∑	∂x	(xi − xi0 ) +
							i=1	∂x	x0
	n n	∂	2	f			i=1		x0
	n n		2
+	1 ∑ ∑					(xi − xi0 )(x j − x0j ) + 0(				x − x 0	2 ) .
+	1 ∑ ∑	∂xi ∂x j				(xi − xi0 )(x j − x0j ) + 0(				x − x 0	2 ) .
	2 i=1 j=1				x
	2 i=1 j=1				x
				0
							9