Загребаев Методы матпрограммирования 2007

Тогда начальная симплекс-таблица для основной задачи принимает вид табл. 1.25.

Таблица 1.25

В первой строке табл. 1.25 есть вырожденность. Используя сим- плекс-метод, вводим в базис переменную x4 , при этом перемен-

ную x1 исключаем из базиса. В результате табл. 1.25 приводится к табл. 1.25а.

Таблица 1.25а

Поскольку решение задачи на данном этапе не получено, проведем дальнейшие преобразования последней таблицы. Выбираем в качестве разрешающего элемента коэффициент, расположенный в третьей строке таблицы, в соответствии с указанным выше правилом. Получим табл. 1.26, которая требует дальнейших преобразований.

В соответствии с симплекс-методом, выбирая разрешающий элемент в столбце x1 , табл. 1.26 приводим к табл. 1.26а.

51

Таблица 1.26

Таким образом, как следует из последней таблицы, оптималь-

Запишем вспомогательную задачу:

найти min {Φ( y) = y1 + y2 + y3} при ограничениях:

52

Подставляя значения y в формулу для целевой функции вспомогательной задачи, получим:

Φ(x )=17 − (3x1 + 6x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ) .

Будем искать max {− Φ(x)}.

Исходная симплекс-таблица имеет вид табл. 1.27.

Таблица 1.27

После ряда последовательных преобразований, в соответствии с симплекс-методом, получим последовательность симплекс-таблиц, отражающих процесс нахождения решения исходной задачи

(табл. 1.27а – 1.27.в).

Таблица 1.27а

Если в табл. 1.27б взять элемент 7/11 в качестве разрешающего, то процесс сойдется быстрее и окончательная симплекс-таблица примет вид табл. 1.27в.

53

Таблица 1.27б

В результате найдено оптимальное решение вспомогательной задачи.

Поскольку min Φ = 0 и y1 = y2 = y3 = 0 , то начальный базис для основной задачи запишется следующим образом:

Выразим целевую функцию через x4 и x5 : f (x) = 2x1 + x3 − x4 + x5 =

= 307 − 72 x4 − 107 x5 + 137 + 17 x4 − 79 x5 − x4 + x5 = 437 − 87 x4 − 127 x5 .

54

С учетом полученного результата составим исходную симплекстаблицу для основной задачи (табл. 1.28).

Таблица 1.28

В нижней строке табл. 1.28, соответствующей целевой функции, нет отрицательных коэффициентов, следовательно, получено оптимальное решение поставленной вначале задачи, а именно:

1.5. Двойственные задачи линейного программирования

1.5.1. Основные положения

Понятие двойственности в задачах линейного программирования расширяет границы применения симплексных алгоритмов.

Пусть дана задача линейного программирования, которую назовем исходной или первой задачей:

Задача 1 (исходная). Найти

n

max f (x) = ∑c j x j + c0

j=1

при ограничениях

n

∑aij x j ≤ bi , i =1, m; j=1

x j ≥ 0 , j =1, n.

55

Сформулируем другую задачу, которую назовем двойственной по отношению к исходной или задачей два:

Задача 2 (двойственная). Найти

m

min ϕ( y) = ∑bi yi + c0

i=1

при ограничениях

m

∑aij yi ≥ c j , j =1, n;

i=1

yi ≥ 0 , i =1, m.

В матричном виде эти задачи можно записать так. Задача 1. Найти max f (x) = c, x + c0 при ограничениях

Ax ≤ b ; x ≥ 0 .

Задача 2. Найти min ϕ( y) = b , y + c0 при ограничениях

Aт y ≥ c; y ≥ 0.

Итак, при переходе от исходной задачи к соответствующей двойственной задаче производят следующие преобразования:

1)заменяют максимизацию целевой функции минимизацией;

2)смысл неравенств – ограничений меняется на противоположный. Если в исходной задаче неравенство меньше или равно нулю, то в двойственной задаче – больше или равно нулю;

3)число переменных x в исходной задаче равно числу ограничений в двойственной, и наоборот;

4)матрица A системы ограничений исходной задачи транспонируется;

5)векторы b и c меняются местами, т.е. коэффициенты целевой функции исходной задачи (c ) становятся столбцом свободных

членов системы ограничений двойственной задачи, а столбец свободных членов системы ограничений исходной задачи (b ) становится коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

56

Пример. Исходная задача:

найти max f (x) =12 + 8x1 + 36x2 + 4x3 +12x4 при ограничениях

88x1 − 20x2 + 32x3 +14x4 ≤12 ;−16x1 + 4x2 + 48x3 + 4x4 ≤10 ;− 24x1 −10x2 + 6x3 + 8x4 ≤ 44 ;

xi ≥ 0, i =1,4 .

Двойственная задача:

найти min ϕ( y) =12 +12 y1 +10 y2 + 44 y3 при ограничениях

Легко показать, что если за исходную принять задачу два и применить к ней аналогичные преобразования, то получим задачу 1. Поэтому рассмотренные задачи называются взаимно двойственными.

Взаимозависимость исходной и двойственной задач определяется рядом теорем, которые мы рассмотрим без доказательств.

Лемма. Если x 0 – произвольное допустимое решение задачи 1, а y 0 – произвольное допустимое решение задачи 2, то справедливо

57

Умножим i-е неравенство на i-ю компоненту вектора y 0 , т.е. на

решения.

а) Предположим противное, т.е. что существует такая точка x′ ,

противоречит доказанному условию.

58

Первая теорема двойственности. Если одна из задач (1-я или

2-я) имеет оптимальное решение, то и другая также имеет оптимальное решение, причем их оптимумы совпадают, т.е. max f (x )= min ϕ(y).

Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача не имеет допустимых решений.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Для того чтобы допустимые векторы x* и y* были оптимальными, необходимо выполнение следующих условий:

Эту теорему надо понимать так, что если оптимальное решение исходной задачи подставить в систему ограничений и если i-я строка обратится в строгое неравенство, то i-я компонента оптимального решения двойственной задачи равна нулю.

Или так, если i-я компонента оптимального решения двойственной задачи положительна, то i-е ограничение исходной задачи выполняется как строгое равенство.

Исходя из рассмотренных свойств взаимно двойственных задач можно сформулировать правило решения двойственной задачи.

Оказывается, если решена исходная задача, то двойственную задачу решать не нужно. Оптимальным решением двойственной задачи являются коэффициенты при ослабляющих переменных в строке целевой функции в последней симплекс-таблице исходной задачи.

Отметим, что коэффициенты при остальных x j в строке целе-

вой функции последней симплекс-таблицы равны разности между левой и правой частями j-го ограничения двойственной задачи, т.е.

m

величине ∑aij yi* − c j .

i=1

59

1.5.2. Двойственный симплекс-алгоритм

В связи с постановкой двойственных задач и приведением их к стандартному виду возникает проблема решения линейных задач, когда оптимальный базис является недопустимым.

Например, если привести двойственную задачу последнего при-

Начальный базис для данной задачи имеет вид:

y4 = −8 − (−88y1 +16 y2 + 24 y3 ) ; y5 = −36 − (20 y1 − 4 y2 +10 y3 ) ; y6 = −4 − (−32 y1 − 48y2 − 6 y3 ) ; y7 = −4 − (−14 y1 − 4 y2 − 8y3 ) .

Этот базис будет недопустимым, так как βi < 0 , т.е. свободные

члены в системе ограничений – отрицательны.

Подобные задачи могут возникать не только при решении двойственных задач, но и в самом общем случае.

Однако существует метод, позволяющий решать задачи с недопустимым базисом. Этот метод называется двойственным сим- плекс-алгоритмом.

Алгоритм двойственного симплекс-метода можно получить, проведя рассуждения, аналогичные выводу простого симплексметода. Все пункты рассматриваемого алгоритма такие же, как у простого симплекс-метода, но имеется ряд отличий (предполагается, что решается задача максимизации):

60