Загребаев Методы матпрограммирования 2007

Преобразуя табл. 1.38 в соответствии с симплекс-методом, получим табл. 1.39.

Исходя из последней симплекс-таблицы, оптимальным решением будет: x1 = 137 , x2 = x3 = 0 , f (x) = 39 . Очевидно, x1 – дробное

число.

2. Введем отсечение по строке для x1

x4 = − 76 + 74 x2 + 17 x3 .

Построим следующую симплекс-таблицу (табл. 1.40).

Преобразовав табл. 1.40 в соответствии с симплекс-методом, получим табл. 1.41.

101

3. Введем отсечение по строке для x2 , в результате получим:

x5 = −1/ 2 +1/ 4x3 +1/ 4x4 ; {−7 / 4} = −7 / 4 − (−8 / 4) =1/ 4.

Используя симплекс-метод, проведем ряд последовательных преобразований табл. 1.41. Получим табл. 1.42 – 1.44.

Таблица 1.42

Таким образом, получаем следующее оптимальное решение ис-

ходной задачи:

102

На основе симплекс-метода построим табл. 1.45.

103

Так как коэффициенты в строке целевой функции не все положительны, то двойственный алгоритм симплекс-метода не пригоден. Для решения задачи воспользуемся методом искусственного базиса. При этом система ограничений приводится к виду:

Целевая функция имеет вид:

Φ( y) = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 =

= 75 − (16x1 + 6x2 + x3 − x4 + x5 + x6 + x7 ) .

Оптимальным решением задачи 1 будет:

x1 = 4,78 ; x2 =1,42 ; f (x) = 22,5 .

Полученное решение не является целочисленным, значение f (x) > f 1 (x) = −∞ , следовательно, необходимо принять новую оценку целевой функции равной прежней, т.е. fˆ 2 (x) = −∞ и образовать две новые задачи, взяв дробную переменную x1 = 4,78 .

Задача 2. Соотношения (1), (2), (3), (4) представляют собой систему ограничений, при этом

0 ≤ x1 ≤ 4;0 ≤ x2 ≤ 9.

Задача 3. Соотношения (1), (2), (3), (4) представляют собой систему ограничений, при этом

5 ≤ x1 ≤ 9;0 ≤ x2 ≤ 9.

На рис. 1.10 графически изображены допустимые множества, соответствующие исходной задаче и задачам 2 и 3.

104

Изобразим графически допустимые множества задач 4 и 5 (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Графическое изображение допустимых множеств задач 4 и 5

4-я итерация. Оптимальное решение задачи 4: x1 = 3,66 , x2 =1, f (x) =17,33 .

тельно, fˆ 5 (x) = −∞ , при этом образуются две задачи.

Задача 6. Соотношения (1), (2), (3), (4) – система ограничений, при этом

0 ≤ x1 ≤ 3;0 ≤ x2 ≤1.

Задача 7. Соотношения (1), (2), (3), (4) – система ограничений, при этом

x1 = 4;0 ≤ x2 ≤1.

Очевидно, оптимальным будет решение, соответствующее решению задач 5, 6 или 7.

106

5-я итерация. Оптимальное решение задачи 5: x1 = 4 , x2 = 2 , f (x) =18 .

Это целочисленное решение, следовательно, в качестве оценки це-

Очевидно, f (x) < fˆ 6 (x) , поэтому переходим в основной список

задач, где осталась одна нерешенная задача 7.

7-я итерация. Задача 7 – не имеет решения.

8-я итерация. Итак, основой список пуст, следовательно, оп-

тимальное целочисленное решение:

x1 = 4 , x2 = 2 , f (x) =18 .

Решение задачи методом ветвей и границ хорошо иллюстрировать с помощью дерева решения (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Дерево решения задачи методом ветвей и границ

107

ния о принятых стратегиях игроков получены независимо. В этом случае решение игры является ситуацией равновесия, а стратегии

i* и j* называются чистыми стратегиями.

сия в чистых стратегиях. Для разрешения данной ситуации вводят-

i=1 j=1

представляет собой математическое ожидание выигрыша 1-го игрока в ситуации (X ,Y ) .

игры, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношения:

109

Под решением матричной игры будем понимать нахождение векторов X и Y , а также значения цены игры v .

И так, пусть дана платежная матрица

Положим, что решения в чистых стратегиях нет.

Будем искать решение игры ( m ×n ) в смешанных стратегиях в

Тогда, если X * ,Y * – оптимальные смешанные стратегии первой

и второй стороны, то, в соответствии с соотношениями (2.3), выполняются неравенства:

где v – цена игры.

110