Загребаев Методы матпрограммирования 2007

1) возможность применения обычного симплекс-метода определялась положительностью коэффициентов столбца свободных членов βi в системе ограничений, разрешенной относительно базиса.

Признаком допустимости в двойственном симплекс-алгоритме является неотрицательность коэффициентов целевой функции γ j (не

считая свободного члена); 2) признаком оптимальности полученного решения является не-

отрицательность всех βi -коэффициентов столбца свободных членов (не считая значения целевой функции);

3) переменная xi , выводимая из базиса, определяется макси-

мальным по модулю отрицательным коэффициентом в столбце свободных членов;

4) разрешающий элемент выбирается в i-й строке среди отрицательных коэффициентов αij < 0 и соответствует максимальному

отношению коэффициентов строки целевой функции к элементам

61

1.5.3. Примеры решения двойственных задач линейного программирования

Пример 1. Исходная задача: найти max {f (x) = 21x1 +11x2 } при ограничениях:

ограничениях:

7 y1 + y2 + 2 y3 ≥ 21;

4 y1 + y3 ≥11;

y1, y2 , y3 ≥ 0.

Решение двойственной задачи имеет вид:

y1 = 0, y2 = 0, y3 =11; ϕmin ( y) = 33.

Полученное решение находится из оптимальной таблицы ис-

Двойственная задача: найти min {ϕ( y) = 3 + 4 y2 + 20 y3 } при ог-

раничениях:

2 y1 − 2 y2 − 4 y3 ≥ 4;

−3y1 + 2 y2 + 5y3 ≥ 6;

y1, y2 , y3 ≥ 0.

62

Так как в исходной задаче целевая функция неограниченно возрастает, двойственная задача также не имеет решения (причем ее допустимое множество пусто).

Пример 3. Исходная задача: найти

max {f (x) = 2 + 4x1 + 2x2 + 2x3}

ϕ( y) = 54 52 .

В рассматриваемом примере решением являются коэффициенты при ослабляющих переменных x4 , x5 , x6 в строке целевой функ-

ции оптимальной таблицы исходной задачи.

Пример 4. Решить задачу на основе двойственного симплексалгоритма.

Исходная задача: найти

max {f (x) =12 + 8x1 + 36x2 + 4x3 +12x4 }

63

при ограничениях:

88x1 − 20x2 + 32x3 +14x4 ≤12;−16x1 + 4x2 + 48x3 + 4x4 ≤10;− 24x1 −10x2 + 6x3 +8x4 ≤ 44;x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0.

Двойственная задача: найти

min {ϕ( y) =12 +12 y1 +10 y2 + 44 y3}

при ограничениях:

Добавим ослабляющие переменные y4 , y5 , y6 , y7 . В результате получим начальный базис:

y4 = −8 − (−88y1 +16 y2 + 24 y3 );y5 = −36 − (20 y1 − 4 y2 +10 y3 );y6 = −4 − (−32 y1 − 48y2 + 6 y3 );y7 = −12 − (−14 y1 − 4 y2 −8y3 ).

Это недопустимый базис, так как свободные члены в уравнениях начального базиса отрицательные. Следовательно, необходимо использовать двойственный симплекс-алгоритм.

Будем искать max {(−ϕ( y)) = −12 − (12 y1 +10 y2 + 44 y3 )}.

Соответствующая последовательность симплекс-таблиц имеет вид:

64

Как следует из последней симплекс-таблицы, оптимальным решением будут:

y1 =19, y2 =104, y3 = 0; ϕmin ( y) =1280.

Пример 5. Решить задачу с использованием двойственного симплекс-алгоритма.

Пусть после приведения некоторой задачи к стандартному виду вместе с ограничениями и замены требования минимизации целевой функции на максимизацию мы пришли к следующей задаче:

65

найти max {− ϕ( y) = −8y1 −12 y2 −18y3} при ограничениях:

Запишем начальный базис:

y4 = −2 − ( y1 + 3y2 );y5 = −1 − ( y1 − 3y2 ).

Отрицательные свободные члены в начальном базисе преобразованной задачи указывают на необходимость применения двойственного симплекс-алгоритм, при этом

− ϕ( y) = 0 − (8y1 +12 y2 +18y3 ).

Соответствующая симплекс-таблица имеет вид:

Соответственно, преобразованная таблица имеет вид:

Аналогично, из полученной таблицы следует: max{− 2,−4}= −2 .

66

Тогда, преобразованная таблица представится в виде:

В результате, из последней таблицы следует, что оптимальным решением задачи будут:

y1 =1, y2 = 0, y3 =1/ 3;

ϕmin =14.

1.6.Транспортная задача линейного программирования

Ранее был рассмотрен симплекс-метод, который является методом решения задач линейного программирования общего вида. Симплекс-метод является конечным, а не итерационным, тем не менее, число его итераций может быть весьма большим. Многие классы широко распространенных на практике задач линейного программирования обладают особенностями, выражающимися в специфическом строении матрицы A коэффициентов системы ограничений, которые позволяют существенно упростить общий метод решения применительно к рассматриваемой в данном разделе задаче. При этом процесс получения оптимального решения ускоряется. В других случаях удается построить принципиально новый метод решения, приспособленный к определенному классу задач.

Одним из примеров задач со специальной структурой матрицы ограничений является транспортная задача.

Мы рассмотрим постановку простейшей транспортной задачи и один из наиболее популярных методов ее решения, принципиально отличающийся от симплекс-метода.

1.6.1. Постановка задачи

Пусть на базах A1 , A2 , ..., Am сосредоточены определенные ресурсы в количестве a1 , a2 , ..., am . Эти ресурсы должны быть доставлены на объекты B1 , B2 , ..., Bn в количестве b1 , b2 , ..., bn . Стои-

67

мость перевозки единицы груза из Ai в B j обозначим через cij . Через xij обозначим количество ресурсов, которое доставляются из

Ai в B j .

n

∑xij = ai , i =1, m;

j=1

m

∑xij = b j , j =1, n;

Первое и второе ограничения означают, что суммарное количество груза, вывозимого с базы Ai , точно равно имеющимся там запа-

сам ai , а ввозимый груз на базу B j точно равен заявкам этой базы.

Последнее условие называется балансным условием и означает равенство всего количества имеющихся запасов и потребностей.

Поставленная транспортная задача – это задача линейного программирования, но записанная особым образом. Для её решения разработаны специальные методы более эффективные, чем сим- плекс-метод.

В представленной задаче m ×n неизвестных. Введем ряд понятий.

Матрица xij размерности m ×n называется планом перевозок, xij – перевозкой, cij – матрицей издержек.

План называется допустимым, если он удовлетворяет указанным выше ограничениям.

План называется оптимальным, если он минимизирует функцию f (x) .

68

Переменные xij удовлетворяют m + n уравнениям системы ог-

раничений, ранг которой r равен m + n −1 . Если расположить переменные xij следующим образом:

x11 , x12 , ..., x1n , x21 , ..., x2n , ..., xm1 , ..., xmn ,

то матрица ограничений транспортной задачи примет вид

Нетрудно видеть, что ранг r матрицы A равен m + n −1 . Действительно, всего в матрице m + n строк и все строки линейно зависимы. Чтобы в этом убедиться, достаточно сложить первые m строк и вычесть сумму последних n , при этом получится нулевой вектор. С другой стороны, нетрудно заметить, что любые m + n −1 строк матрицы A линейно независимы.

Итак, ранг системы ограничений равен m + n −1. Следовательно, можно выделить m + n −1 базисных переменных.

Существует понятие опорный план – это план, в котором отличны от нуля не более чем m + n −1 переменных xij .

Опорный план это фактически базис.

1.6.2. Нахождение первого опорного плана

Как и в задаче линейного программирования, в транспортной задаче необходимо сначала найти первый допустимый базис. Для

69

этого существует несколько методов, на некоторых из них остановимся ниже.

Зададим транспортную задачу табл. 1.30.

В табл. 1.30 A – пункт отправления, B – пункт назначения. Диагональный метод нахождения опорного плана состоит в

следующем. В верхнюю левую клетку таблицы ставится минимальное из чисел a1 и b1 , т.е. min{a1 , b1} .

Пусть a1 < b1 , Следовательно, поставщик A1 полностью использовал свои запасы и при установлении остальных перевозок его можно не учитывать (строка, соответствующая a1 , из таблицы вычеркивается). Теперь потребность 1-го потребителя будет составлять b1 − a1 .

Если наоборот, a1 > b1 , то соответствующий столбец из таблицы

вычеркивается.

Далее процесс повторяется.

Пример 1. Рассмотрим табл. 1.31. В этом примере m = 3, n = 4 .

В результате получили m + n −1 = 6 отличных от нуля переменных, т.е. это опорный план, в соответствии с которым

i=1 j=1

70