Загребаев Методы матпрограммирования 2007

В результате введения ослабляющих переменных получается задача, эквивалентная исходной, так как эти переменные не влияют на значение целевой функции – они входят в нее с нулевыми коэффициентами.

С практической точки зрения можно считать, что ранг системы ограничений (1.2) равен числу уравнений m , т.е. r = m . В противном случае хотя бы одно из уравнений представляет собой линейную комбинацию остальных и поэтому является лишним.

Кроме того, как было отмечено выше, ранг r ≤ n (чаще всего r < n ) и система имеет бесчисленное множество решений (если, конечно, она вообще совместна).

Выделим среди n переменных первые r и назовем их базисными переменными. Остальные n − r переменные назовем свободны-

ми.

Итак, x1 , x2 , K, xr – базисные, xr+1 , xr+2 K, xn – свободные переменные.

Систему ограничений можно разрешить относительно базисных переменных:

Свободные переменные в выражении (1.3) могут принимать любые значения. Следовательно, система ограничений имеет бесчисленное множество решений. Задача заключается в том, чтобы среди этого бесчисленного множества выбрать такое решение, которое доставляет максимум целевой функции.

21

Следует отметить, что свободные переменные выбираются таким образом, чтобы коэффициенты βi были неотрицательны, т.е.

βi ≥ 0 .

Во многих задачах разрешение системы ограничений относительно базисных переменных до вида (1.3) является тривиальным. В некоторых задачах это сделать сложно, но существует, так называемый, метод искусственного базиса, который помогает это сделать (будет рассмотрен ниже).

Выразим также целевую функцию через свободные переменные:

Возьмем все свободные переменные равными нулю: xr+1 = xr +2 =K= xn = 0 ,

тогда из выражения (1.3) следует, что значения базисных переменных соответственно равны:

x1 =β1 , K, xi = βi , K, xr = βr .

Полученное таким образом решение системы ограничений

xб1 = (β1 , β2 , K, βr , 0, K, 0)т

является допустимым, так как все его компоненты неотрицательны

( βi ≥ 0 ).

Такое решение называют базисным (в базисном решении отличны от нуля ровно r переменных). В этом случае значение целевой функции

f (xб1 ) = γ0 .

При таком подходе решение задачи линейного программирования заключается в последовательном переходе от одного базисного решения к другому (базисные решения соответствуют вершинам допустимого многогранника), при котором значение целевой функции монотонно возрастает.

Если проанализировать выражение (1.4), то видно, что значение целевой функции можно увеличить только в случае, если имеются отрицательные коэффициенты γ j . Если все коэффициенты γ j ≥ 0 ,

то значение целевой функции увеличить нельзя. Поэтому признаком оптимальности решения поставленной задачи максимизации

22

является неотрицательность всех коэффициентов при свободных переменных в выражении (1.4).

Если среди коэффициентов есть хотя бы один отрицательный, например γ j , тогда за счет увеличения x j можно увеличить зна-

чение f (x) . Однако это возможно в определенных пределах, так как выбор x j влияет на базисные переменные, которые могут стать

недопустимыми, т.е. отрицательными.

Выразим базисные переменные из системы (1.3), считая все свободные переменные за исключением x j равными нулю:

x1 = β1 − α1 j x j ;

K

xi = βi − αij x j ;

K

xr =βr − αrj x j .

При этом f (x) = γ0 − γ j x j .

Если все коэффициенты αij ≤ 0 , i =1, r , то увеличение x j мо-

жет быть неограниченным, это приводит к неограниченному увеличению базисных переменных и они никогда не станут отрицательными. Но это приводит и к бесконечному возрастанию целевой функции, т.е. в этом случае задача не имеет решения.

Итак, признаком того, что задача не имеет решения является условие

αij ≤ 0, i =1, r ,

до тех пор, пока не станет равной нулю при некотором значении x j . Это значение определяется уравнением

xi = βi − αij x j = 0 .

23

ную xl , которую выводят из базиса xб1 , и указывает свободную переменную x j , вводимую в новый базис xб2 :

предыдущее значение, хотя переменные базиса меняются. Такой случай называется вырожденным и встречается редко, для него существуют специальные методы решения задачи.

Поскольку в базис введена новая переменная x j и выведена xl , выразим как и прежде базисную переменную x j через свободные переменные. Для этого понадобится уравнение из системы (1.3)

24

xl = βl − (αlr +1 xr+1 +K+ αlj x j +K+ αln xn ).

Из этого уравнения получим

выражения для нового базиса:

xi = β′i − (α′ir +1 xr +1 +K+ α′ij xl +K+ α′in xn ),

где на j -м месте стоит xl – новая свободная переменная.

Целевая функция через новые свободные переменные запишется в виде

f (x) = γ′0 − (γ′r+1 xr +1 +K+ γ′j xl +K+ γ′n xn ).

Далее все рассуждения повторяются снова, т.е. исследуются знаки коэффициентов γ′j и проводятся соответствующие преобра-

зования до получения окончательного результата.

Для облегчения процесса поиска оптимального решения используются специальные таблицы, называемые симплекс-таблицами.

1.2.2.Алгоритм решения задач линейного программирования

сиспользованием симплекс-таблиц

1. Каноническая система ограничений Ax = b приводится к виду, в котором базисные переменные выражены через свободные, т.е. к виду

x1 =β1 − (α1r+1 xr +1 + α1r +2 xr+2 +K+ α1n xn );

K

xr = βr − (αrr +1 xr +1 + αrr+2 xr +2 +K+ αrn xn ),

а целевая функция к виду (1.4):

f(x) = γ0 − (γr +1xr +1 + γr +2 xr +2 +K+ γn xn ).

2.Заполняется симплекс-таблица (табл. 1.1).

25

Каждая строка табл. 1.1 соответствует уравнению, а последняя строка соответствует целевой функции.

3. В строке коэффициентов целевой функции (не считая γ0 ) выбирается γ j < 0 , обычно максимальным по модулю.

Если все γ j ≥ 0 , то оптимальное решение достигнуто, причем

значения переменных определяются столбцом свободных членов, а оптимальное значение функции – клеткой, соответствующей свободному члену.

4. В j -м столбце среди положительных коэффициентов αij выбирается разрешающий элемент αlj , т.е. элемент для которого ми-

нимально отношение βl .

αlj

Если положительных коэффициентов нет, то задача не имеет решения.

5.Делятся все члены строки, содержащей разрешающий элемент, на αlj . Полученная строка вносится на то же место в новой таблице.

6.Из каждой оставшейся i -й (i ≠ l) строки вычитается получившаяся строка, умноженная на коэффициент при x j в l -й стро-

26

ке. В результате в клетках, соответствующих j -му столбцу появ-

ляются нули. Преобразованные строки записываются в новой таблице на место прежних.

Переменные x j и xl в новой таблице меняются местами, т.е. x j

вводится в базис вместо xl . Далее идет переход на шаг 3.

1.2.3. Примеры решения практических задач линейного программирования

Пример 1.1. Составить математическое описание следующих задач в виде задач линейного программирования.

Задача 1. Из одного города в другой ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В табл. 1.2 указан состав поездов каждого типа, количество вагонов в парке и максимальное число пассажиров, на которое рассчитан вагон каждого вида.

рые необходимо формировать ежедневно из имеющихся вагонов, чтобы число перевозимых пассажиров было максимально.

Решение. Целевая функция:

f (x) = c1x1 + c2 x2 ,

где c1 – число пассажиров в скором вагоне; c2 – число пассажиров

в пассажирском вагоне.

Найти max f (x) при ограничениях:

1x1 +1x2 ≤12 – ограничения на число багажных вагонов;

27

1x1 + 0x2 ≤ 8 – ограничения на число почтовых вагонов;

5x1 + 8x2 ≤ 81 – ограничения на число плацкартных вагонов; 6x1 + 4x2 ≤ 70 – ограничения на число купейных вагонов; 3x1 +1x2 ≤ 26 – ограничения на число спальных вагонов.

При этом

c1 =1 α1 +1 α2 + 5 α3 + 6 α4 + 3 α5 ; c2 =1 α1 + 0 α2 + 8 α3 + 4 α4 +1 α5 .

Задача 2. В начале рабочего дня из автобусного парка выходят на линию x1 автобусов, через час еще x2 автобусов, еще через

час – еще x3 автобусов.

Каждый автобус работает непрерывно 8 ч. Рабочий день составляет 10 ч.

Минимально необходимое число машин на линии в i -й час рабочего дня (i =1,10) равно bi . Превышение этого числа приводит к дополнительным издержкам: ci рублей в течение i -го часа на каждый дополнительный автобус.

Определить количество автобусов x1 , x2 , x3 , выходящих на

линию в первые часы рабочего дня, так, чтобы минимизировать дополнительные издержки в течение всего рабочего дня.

Решение. Составим табл. 1.3.

Таблица 1.3

С учетом табл. 1.3 целевая функция может быть представлена в виде:

28

f (x) = (x1 − b1 )c1 + (x1 + x2 − b2 )c3 + (x1 + x2 + x3 − b3 )c3 +K+

+ (x1 + x2 + x3 − b8 )c8 + (x2 + x3 − b9 )c9 + (x3 − b10 )c10 =

Решение. 1. Приведем систему ограничений к каноническому виду путем добавления ослабляющих переменных x3 , x4 :

7x1 + 4x2 + x3 =13;

x1 + x4 =1;

2x1 + x2 + x5 = 3.

2. Разрешим систему ограничений относительно базисных переменных. Ранг системы r = 3 . В качестве базисных переменных примем переменные x3 , x4 , x5 . Тогда переменные x1 , x2 будут свободными.

x3 =13 − (7x1 + 4x2 );

x4 =1 − x1;

x5 = 3 − (2x1 + x2 ).

29

4. Составим табл. 1.5. Для чего выведем элемент x4 из базиса, а элемент x1 введем в базис.

5. Составим табл. 1.6. Для этого удалим из базиса элемент x5 и

30