может быть существенно меньшим, что эквивалентно уменьшению доли диффузионного тока.
7.11. Время пролета электрона через длину канала
Важным параметром, характеризующим максимальное для данного типа МОПТ быстродействие, является время пролета носителя через канал, точнее время, необходимое носителю, для преодоления расстояния от истока до стока. Очевидно, в линейном режиме это время определяется величиной дрейфовой скорости носителя в тянущем электрическом поле, а в режиме насыщения – процессом диффузии носителя через канал. В описанном в этой главе подходе это легко выразить в виде единого выражения. Для этого необходимо записать интеграл для времени пролета в эффективном электрическом поле (1+κ)E(y)
|
L |
|
dy |
|
|
|
τTT = |
|
|
|
. |
(7.11.1) |
|
∫μ |
n |
(1+κ)E( y) |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
Выполняя интегрирование с использованием распределения электрического поля вдоль канала (7.6.3), с учетом соотношения Эйнштейна
получаем |
|
Dn = μnϕT , |
|
|
(7.11.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
L |
κL2 |
|
|
||
τTT = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
κ |
|
μE(0) − 2D |
. |
(7.11.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
С учетом выражения для |
E(0) |
(7.6.2), |
|
получаем компактную |
|||||
формулу для времени пролета, справедливую для всех режимов работы МОПТ:
|
2 |
|
κ |
|
|
κ |
|
|
|
|
τTT = |
L |
|
|
|
|
VDS |
(7.11.5) |
|||
2D |
1+ |
|
1+ |
|
||||||
κ coth |
κ 2ϕ |
. |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
T |
|
||
Нетрудно видеть, что в линейном надпороговом режиме (когда κ <<1 и аргумент гиперболического котангенса меньше единицы) эта формула дает время дрейфового пролета как в обычном резисторе:
τTT |
L2 |
|
||
|
|
. |
(7.11.6) |
|
μ V |
|
|||
|
n |
DS |
|
|
185
Для режима насыщения |
|
в надпороговой области |
(когда |
||||||
VDS >VDSAT , но κ <<1) с учетом (7.4.6) получаем |
|
||||||||
τTT |
L2 |
|
κ |
|
L2 |
|
1+ηD |
. |
(7.11.7) |
2Dn 1+κ |
|
|
|||||||
|
|
μn VGS −VT |
|
||||||
Наконец, в подпороговом режиме работы транзистора, когда κ >>1, выражение для времени пролета с учетом принимает вид
τTT |
L2 |
, |
(7.11.8) |
|
2Dn |
||||
|
|
|
что соответствует времени диффузии через длину канала, аналогичной времени диффузии через базу биполярного транзистора.
Вообще говоря, полученное общее выражение для времени пролета, как и весь подход в целом, применим не только для МОП транзисторов, но и для других структур, где соотношение диффузионного и дрейфового токов может заметно меняться при изменении внешних параметров, в частности, биполярного транзистора.
186
7.12. Транспортное уравнение Больцмана в канале
Уравнение Больцмана в одномерном приближении можно записать в виде
vy |
∂ f |
−qE(y) |
∂ f |
= − |
δ f |
, |
(7.12.1) |
|
∂ y |
∂ py |
τ |
||||||
|
|
|
|
|
||||
где δ f – неравновесная часть функции распределения, τ |
– время |
|||||||
релаксации по импульсу.
Вдоль канала имеется неоднородное распределение потенциальной энергии U (y)= −qϕS (y), химического ζ (y) и электрохи-
мического μ(y) потенциалов.
Записывая симметричную часть функции распределения в локальном виде
|
|
|
|
μ(y) |
−1 |
|
|
f0 |
|
ε(p)+U (y)− |
|
= |
|||
(ε)= 1 |
+exp |
kBT |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε(p)−qζ (y) |
−1 |
|
|
(7.12.2) |
|
|
|
|
, |
|
||
|
= 1+exp |
kBT |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
представляем левую часть уравнения Больцмана в виде
∂ f |
|
∂ f |
|
|
|
∂ f0 |
|
∂μ(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
vy ∂ y |
− qE |
∂ py |
= |
|
− |
∂ε |
vy |
∂ y |
. |
(7.12.3) |
Отсюда неравновесная часть функции распределения представляется в виде
|
|
∂ f0 |
|
∂ |
μ(y) |
= (1 |
|
|
∂ f0 |
|
|
E(y). |
||||
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||
δf = |
∂ε |
τ vy |
|
∂ y |
+κ) |
∂ε |
qτ vy |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Плотность тока в канале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
νsνvd |
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
JS = (1+κ)E(y)q |
2 |
|
|
|
∂ f0 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
− |
vy |
≡ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(2π h) |
|
|
|
∂ε |
|
|
|
|
|
|
|
≡ (1+κ)σS E(y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где была введена двумерная проводимость
|
2 |
|
νsνvd |
2 |
p |
|
|
∂ f0 |
|
2 |
|
2 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
q τ nS |
|
|||||
σS = q |
|
|
|
− |
∂ε |
τ |
vy |
= |
|
. |
|||
|
(2π h)2 |
m |
|||||||||||
(7.12.4)
(7.12.5)
(7.12.6)
187
Соотношение (7.12.6) справедливо как для вырожденного, так и для невырожденного случая и носит название формулы Друде:
|
νsνvd |
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
nS |
|
|
|
|
|
− |
∂ f0 |
2 |
= |
|
|
− |
∂ f0 |
ε dε = |
. |
(7.12.7) |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
∂ε |
vy |
m ∫ |
g2D (ε) |
∂ε |
|
m |
|||||||||
(2π h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соотношение (7.12.7) дает возможность естественным образом ввести понятие квантовой емкости CQ и энергии диффузии εD :
∫ |
|
|
|
∂ f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ε dε ≡ CQ εD q |
|
, |
|
(7.12.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
g2D (ε) |
|
∂ε |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где введена энергия диффузии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
∂ |
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
g2D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
− |
|
|
|
ε dε |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
εD = |
|
|
|
|
∂ε |
|
|
|
|
|
|
(7.12.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ g2D (ε) |
∂ε |
dε |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и квантовая емкость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dnS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f0 |
|
|
|
|
||||||
|
CQ = ∫ g2D (ε) |
− |
|
|
|
|
dε q |
|
|
|
. |
(7.12.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
dζ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ε |
|
|
|
|
|
|||||
Квантовая емкость не является геометрической характеристикой и определяется сжимаемостью электронного газа в канале. В МОП транзисторах квантовая емкость имеет смысл удельной емкости инверсионного слоя Cinv (глава 3), последовательно присоединен-
ной к геометрической емкости затвора.
188