§ 7.8. Примеры решения задач

Задачи на материал данной главы отличаются от обычных задач на гидростатику лишь тем, что в них принимается во внимание еще одна сила — сила поверхностного натяжения, определяемая формулой (7.4.3).

Для решения задач используются также формулы для поверхностной энергии (7.3.2), давления под изогнутой поверхностью (7.6.6) и высоты поднятия жидкости в капилляре (7.7.3).

Задача 1

Определите энергию, освободившуюся при слиянии мелких капель воды радиусом r = 2 · 10^-3 мм в одну большую каплю радиусом R = 2 мм. Считать, что при слиянии мелких капель температура не изменяется. Поверхностное натяжение воды равно σ = 7,4 • 10^-2 Н/м.

Решение. Обозначим число мелких капель через п. Тогда общая поверхность всех мелких капель

Поверхность одной большой капли

Поверхностная энергия всех мелких капель

а одной крупной капли

Так как температура не изменялась, то кинетическая энергия молекул воды тоже не изменилась. Следовательно, выделение энергии произошло за счет уменьшения потенциальной (поверхностной)энергии:

(7.8.1)

Чтобы найти число капель п, учтем, что объем воды не изменился. Сумма объемов мелких капель

а объем большой капли

Так как V₁ = V₂, то

Отсюда число мелких капель

Подставляя это значение п в выражение (7.8.1), получим

Задача 2

Смачиваемый водой кубик массой т — 0,02 кг плавает на поверхности воды. Ребро кубика имеет длину а = 0,03 м. На каком расстоянии х от поверхности воды находится нижняя грань кубика?

Решение. Архимедова сила уравновешивает силу тяжести кубика и силу поверхностного натяжения. Следовательно,

(7.8.2)

Отсюда

Силы поверхностного натяжения вносят поправку около 1 мм.

Задача 3

Два мыльных пузыря радиусами R и r «срослись», как показано на рисунке 7.29. Какую форму примет пленка, разделяющая оба пузыря? Какие углы образуются между пленками в местах их соприкосновения?

Решение. Давление внутри мыльного пузыря радиусом R больше атмосферного давления на величину , а внутри меньшего пузыря — на величину. В этих выражениях учтено, что у мыльного пузыря две поверхности. Давление внутри пузыря радиусомR вместе с давлением участка пленки между пузырями должно уравновесить давление внутри меньшего пузыря. Следовательно,

где R_x — радиус кривизны участка пленки АВ. Отсюда

Рис. 7.29

Силы поверхностного натяжения в любой точке поверхности соприкосновения пузырей уравновешивают друг друга и равны между собой. А это возможно только в том случае, когда углы между векторами сил равны 120°.

Задача 4

Длинную стеклянную капиллярную трубку, радиус канала которой r = 1 мм, закрыли снизу и наполнили водой. Трубку поставили вертикально и открыли ее нижний конец, при этом часть воды вылилась. Какова высота столба оставшейся в капилляре воды?

Решение. Столб воды в поставленной вертикально трубке удерживается верхним и нижним менисками (рис. 7.30). Давление в точке В под верхним мениском

(7.8.3)

а давление в точке С над нижним мениском

(7.8.4)

С другой стороны,

(7.8.5)

Следовательно,

или

(7.8.6)

Отсюда

Рис. 7.30

Задача 5

Конец капиллярной трубки опущен в воду. Какое количество теплоты Q выделится при поднятии жидкости по капилляру? Краевой угол принять равным нулю (полное смачивание).

Решение. Жидкость поднимается согласно формуле (7.7.3) на высоту . Потенциальная энергия столбика жидкости в поле тяготения Земли

так как

Силы поверхностного натяжения совершают работу

На увеличение потенциальной энергии Ер идет половина этой работы. Следовательно, выделение теплоты происходит за счет другой половины. Таким образом,

Задача 6

Капиллярная трубка погружена в воду таким образом, что длина непогруженной ее части составляет l = 0,2 м. Вода поднялась в трубке на высоту = 0,1 м. В этом положении верхний конец трубки закрывают пальцем и трубку погружают в воду до тех пор, пока уровень воды в ней не сравняется с уровнем воды в сосуде. Найдите длину выступающей из воды части трубки в этом положении. Внешнее давлениер₀ = 10⁵ Па.

Решение. Согласно формуле (7.7.3)

(7.8.7)

Найдем давление воздуха, которое установится в погруженном закрытом сверху капилляре после выравнивания уровней воды (в сосуде и капилляре). Обозначим давление воздуха в капилляре буквой р, тогда под вогнутой поверхностью воды в капилляре давление равно (см. § 7.6). Так как жидкость в капилляре и сосуде находится в равновесии, то давление на жидкость в сосуде (атмосферное давлениер₀) равно давлению :

Откуда

(7.8.8)

Полагая температуру неизменной и применив закон Бойля—Мариотта, получим

(7.8.9)

Отсюда

(7.8.10)

Найдем из уравнения (7.8.7) значение о и подставим его в выражение (7.8.8):

(7.8.11)

И наконец, подставив в (7.8.10) выражение (7.8.11) для р, окончательно получим