Разделив почленно уравнение (3.12.4) на уравнение (3.12.5), получим
Отсюда
Из уравнения (3.12.4) находим p1:
Задача 8
Сосуд объемом V = 100 л разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В начальный момент времени в одной половине сосуда находился водород, масса которого m1 = 2 г, а во второй — 1 моль азота. Определите давления, установившиеся по обе стороны перегородки, если она может пропускать только водород. Температура в обеих половинах одинакова и постоянна: t = 127 °С.
Решение. Так как водород свободно проходит через перегородку, то он распространяется по всему сосуду. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона для водорода после установления состояния равновесия:
где M1 = 2 · 10-3 кг/моль — молярная масса водорода.
В той части сосуда, в которой вначале был только водород, он и в дальнейшем останется в чистом виде, так что давление в этой части сосуда станет равным
Для азота уравнение Менделеева—Клапейрона имеет вид:
где р2 — давление азота.
Так как в этой половине находятся водород и азот, то полное давление р согласно закону Дальтона складывается из парциальных давлений р1 и р2, т. е.
Задача 9
Гелий массой 20 г, заключенный в теплоизолированном цилиндре под поршнем, медленно переводится из состояния 1 с объемом V1 = 32 л и давлением р1 = 4,1 атм в состояние 2 с объемом V2 = 9 л и давлением р2 = 15,5 атм. Какой наибольшей температуры достигнет газ при этом процессе, если на графике зависимости давления газа от объема процесс изображается прямой линией (рис. 3.18)?
Рис. 3.18
Решение. Как следует из рисунка 3.18, давление и объем газа связаны линейной зависимостью: р = aV + b, где а и b — постоянные коэффициенты. Из условий задачи получаем систему уравнений
Решив эту систему относительно а и b, найдем Подставив в уравнение Менделеева—Клапейрона вместо р выражение aV + b, получим
График
зависимости Т
от
V
представляет
собой параболу (рис. 3.19). Кривая достигает
максимума при Vmax
=
20 л, когда корни квадратного уравнения
(3.12.6) совпадают.
При этом
Следовательно,
(3.12.6)
Рис. 3.19
Задача 10
На рисунке 3.20 изображен график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Начертите графики этого процесса в координатах V, Т и р, Т.
Решение. Из рисунка 3.20 следует, что давление газа р и его объем V находятся в прямой пропорциональной зависимости
(3.12.7)
где k — постоянный коэффициент. Подставив значение давления (3.12.7) в уравнение Менделеева— Клапейрона, получим
или
(3.12.8)
Рис. 3.20
Уравнение (3.12.8) — это уравнение параболы, ось симметрии которой совпадает с осью Т. Следовательно, в координатах V, Т искомый график имеет вид, показанный на рисунке 3.21, а. Аналогично получим график этого процесса в коорди-натахр, Г (рис. 3.21, б).
Рис. 3.21
Упражнение 2
1. Вы надули щеки. При этом и давление, и объем воздуха во рту увеличиваются. Как это согласуется с законом Бойля— Мариотта?
2. Чтобы измерить температуру человеческого тела, приходится держать термометр под мышкой в течение 5—8 мин. В то же время стряхнуть его можно практически сразу после измерения температуры. Почему?
3. Узкая вертикальная трубка длиной L, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной Л. Плотность ртути равна ρ. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была длина l столбика воздуха в трубке, если при перевертывании трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Атмосферное давление равно р0.
4. В ртутный барометр попал пузырек воздуха, вследствие чего барометр показывает давление меньше истинного. При давлении р1 = 768 мм рт. ст. уровень ртути расположен на высоте h1 = 748 мм, причем длина пустой части трубки l = 80 мм. Каково атмосферное давление р2, если ртуть стоит на высоте h2 = 734 мм? Плотность ртути ρ = 1,36 • 104 кг/м3.
5. Площадь сечения цилиндра автомобильного насоса S = 10 см2. Определите длину l цилиндра, если известно, что для накачки шины объемом V = 0,02 м3 от давления р0 = = 1 • 105 Па до давления р = 3 • 105 Па требуется совершить п = 100 качаний. Утечкой и нагреванием воздуха пренебречь.
6. В цилиндре под поршнем находится воздух. Поршень имеет форму, показанную на рисунке 3.22. Масса поршня т = 6 кг, площадь сечения цилиндра S = 20 см2. Атмосферное давление р0 = 105Па. Найдите массу т1 груза, который надо положить на поршень, чтобы объем V1 воздуха в цилиндре уменьшился в 2 раза. Трение не учитывать. Температура постоянна.
Рис. 3.22
7. Газ нагрет от температуры t1 = 27 °С до температуры t2 = 39 °С. На сколько процентов увеличился его объем, если давление осталось неизменным?
8. Вертикальный цилиндр, закрытый подвижным поршнем, содержит газ массой т = 0,012 кг. При температуре t1 = 177 °С объем газа равен V1 = 4 л. При какой температуре t2 плотность этого газа будет равна ρ2 = 5,3 кг/м3?
9. Открытую стеклянную колбу, имеющую форму шара радиусом r = 2 см с горлышком длиной l = 10 см и диаметром d = 1 см, нагрели до температуры t1 а затем погрузили целиком в воду горлышком вниз. При охлаждении колбы вода вошла в горлышко. Когда температура колбы стала равной t2 = 13 °С, ее начали приподнимать из воды, не переворачивая, так чтобы шарообразная часть оказалась над водой, а горлышко — частично погруженным в воду. При этом, когда уровень воды в горлышке и в сосуде совпал, под водой осталась половина горлышка. Какова была температура t1, до которой нагрели колбу?
10. Манометр на баллоне с газом в помещении с температурой t1 = 17 °С показывает давление р = 240 кПа. На улице показание манометра уменьшилось на Δр = 40 кПа. Найдите температуру наружного воздуха, если атмосферное давление р0 = 100 кПа.
11. Два сосуда одинаковой вместимости содержат воздух, один при температуре Т1 и давлении p1, другой при температуре Т2 и давлении р2. Сосуды соединили тонкой трубкой и после выравнивания давлений и температур воздух нагрели до температуры Т. Какое давление установится после нагревания?
12. Шар-зонд заполнен газом при температуре t1 = 27 °С до давления р1 = 105 кПа. После подъема шара на высоту, где давление р0 = 80 кПа, объем шара увеличился на п = 5% и давление в нем стало отличаться от внешнего на Δр = 5 кПа. Определите температуру воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре приобрел температуру окружающего воздуха.
13. Из баллона со сжатым углекислым газом из-за неисправности вентиля вытекает газ. Вместимость баллона V = 10 л. При температуре T1 = 263 К манометр показывал давление р1 = 9,3 атм, а через некоторое время при температуре Т2 = 295 К манометр показывал давление р2 = 9,4 атм. Чему равна масса m газа, вытекшего из баллона за это время?
14. Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой T1 в состояние 2 с температурой Т2, а затем в состояние 3 с температурой Т3 и возвращается в состояние 1. Определите температуру Т3, если процессы изменения состояния происходили так, как это показано на графике (рис. 3.23), а температуры Т1 и Т2 известны.
Рис. 3.23
15. В баллоне вместимостью V = 10 л содержится водород при температуре t = 20 °С под давлением р = 107Па. Какая масса водорода была выпущена из баллона, если при полном сгорании оставшегося газа образовалось тп = 50 г воды?
16. В баллоне вместимостью V = 10л находился гелий под давлением р1 = 10 атм при температуре t1 = 27 °С. После того как из баллона был выпущен газ массой m = 10 г, температура в баллоне была понижена до t2 = 17 °С. Определите давление гелия, оставшегося в баллоне.
17. Молекулярный водород некоторой массы занимает объем V1 = 1 м3 при температуре Т1 = 250 К и давлении р1 = 2 • 105Па. Какое давление водород будет создавать при температуре Т2 = 5000 К и объеме V2 = 10м3, если при столь высокой температуре молекулы водорода полностью диссоциируют на атомы?
18. Два сосуда объемом V1 = 200 см3 и V2 = 100 см3, наполненные кислородом при температуре t = 27 °С под давлением р0 = 760 мм рт. ст., соединены трубкой, внутри которой находится теплоизолирующая пористая перегородка, обеспечивающая одинаковость давлений в сосудах. Затем первый сосуд нагрели до температуры t1 = 100 °С, а второй охладили до температуры t2 = 0 °С. Определите установившееся в системе давление.
19. Изобразите на графиках в координатах р, V; р, Т и V, Т изотермический процесс для одного моля газа при Т = Т1 и Т = 2T1
20. Изобразите на графиках в координатах р, V; р, Т и V, Т изобарный процесс: 1) для p = р1 и р = 2р1, если v = 1 моль; 2) для р = р1, если v = 3 моль.
21. На рисунке 3.24 показан график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Представьте этот процесс на графиках в координатах V, Т и р, Т.
Рис. 3.24