- •Глава 1. Развитие представлений о природе теплоты
- •§ 1.1. Физика и механика
- •Что дает механика Ньютона?
- •Физика во времена Ньютона
- •Механическая картина мира
- •Крах механической картины мира
- •Тепловые и электромагнитные явления
- •§ 1.2. Тепловые явления
- •Роль тепловых явлений
- •Свойства тел и температура
- •Тепловые процессы и строение вещества
- •Тепловые явления в технике
- •§ 1.3. Краткий очерк развития представлений о природе тепловых явлений
- •Воззрения древних
- •Зарождение научной теории тепла
- •Теория теплорода
- •Крах теории теплорода
- •§ 1.4. Термодинамика и молекулярно-кинетическая теория Термодинамика
- •Молекулярно-кинетическая теория
- •Термодинамика и статистическая механика
- •Глава 2. Основы молекулярно-кинетической теории
- •§ 2.1. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •Доказательства существования молекул
- •Туннельный микроскоп
- •Размеры атомов и молекул
- •Число молекул
- •§ 2.2. Масса молекул. Постоянная Авогадро
- •Масса молекулы воды
- •Относительная молекулярная масса
- •Количество вещества
- •Постоянная Авогадро
- •Молярная масса
- •§ 2.3. Броуновское движение
- •Тепловое движение молекул
- •Модель броуновского движения
- •Наблюдение броуновского движения
- •Объяснение броуновского движения
- •Броуновское движение и измерительные приборы
- •§ 2.4. Силы взаимодействия молекул
- •Молекулярные силы
- •Электромагнитная природа молекулярных сил
- •Ориентационные силы
- •Индукционные (поляризационные) силы
- •Дисперсионные силы
- •Силы отталкивания
- •График зависимости молекулярных сил от расстояния между молекулами
- •Происхождение сил упругости
- •Атомно-силовой микроскоп
- •§ 2.5. Потенциальная энергия взаимодействия молекул
- •Зависимость потенциальной энергии от расстояния между молекулами
- •Главная задача
- •Движение частицы в пространстве с заданной потенциальной энергией
- •§ 2.6. Строение газообразных, жидких и твердых тел
- •Жидкости
- •Твердые тела
- •§ 2.7. Примеры решения задач
- •Упражнение 1
- •Глава 3. Температура. Газовые законы
- •§ 3.1. Состояние макроскопических тел в термодинамике
- •Макроскопические параметры
- •Давление газа в молекулярно-кинетической теории
- •§ 3.2. Температура. Тепловое равновесие
- •Субъективные представления о температуре
- •Происхождение терминов «температура» и «градус»
- •Первые термометры
- •Современные термометры
- •Тепловое равновесие
- •Температура
- •Молекулярно-кинетическое истолкование температуры
- •§ 3.3. Уравнение состояния
- •§ 3.4. Равновесные (обратимые) и неравновесные (необратимые) процессы
- •§ 3.5. Газовые законы. Закон Бойля-Мариотта
- •Газовые законы
- •Закон Бойля—Мариотта
- •Молекулярно-кинетическое истолкование закона Бойля—Мариотта
- •§ 3.6. Закон Гей-Люссака. Идеальный газ
- •Закон Гей-Люссака
- •Экспериментальное определение зависимости объема газа от температуры
- •Изобары
- •Идеальный газ
- •Газовая шкала температур
- •§ 3.7. Абсолютная температура
- •Абсолютный нуль температуры
- •Шкала Кельвина
- •Зависимость объема от абсолютной температуры
- •§ 3.8. Законы Авогадро и Дальтона
- •Закон Авогадро
- •Закон Дальтона
- •§ 3.9. Уравнение состояния идеального газа
- •Уравнение состояния
- •Изменение состояния газа
- •Вывод уравнения состояния идеального газа
- •Универсальная газовая постоянная
- •Уравнение Менделеева—Клапейрона
- •§ 3.10. Закон Шарля. Газовый термометр
- •Закон Шарля
- •Газовый термометр постоянного объема
- •§ 3.11. Применение газов в технике
- •Управление давлением газа
- •Большая сжимаемость газов
- •Зависимость объема газа от температуры
- •Разреженные газы
- •§ 3.12. Примеры решения задач
- •Разделив почленно уравнение (3.12.4) на уравнение (3.12.5), получим
- •При этом
- •Упражнение 2
- •Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
- •§ 4.1. Системы с большим числом частиц и законы механики. Статистическая механика
- •Термодинамические параметры с микроскопической точки зрения
- •Системы из большого числа частиц и законы механики
- •Статистическая механика
- •Средние по времени и статистические средние
- •Два этапа становления статистической механики (молекулярно-кинетической теории)
- •§ 4.2. Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории
- •Идеальный газ
- •Значение столкновений между молекулами
- •§ 4.3. Среднее значение скорости теплового движения молекул
- •Средние значения
- •Среднее значение квадрата скорости
- •§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
- •Столкновение молекулы со стенкой
- •Число соударений со стенкой молекул, скорости которых близки к VIX
- •Импульс средней силы, действующий на стенку со стороны всех молекул
- •Давление газа
- •§ 4.5. Температура— мера средней кинетической энергии молекул
- •Постоянная Больцмана
- •Физический смысл постоянной Больцмана
- •Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры
- •§ 4.6. Распределение максвелла
- •Вероятность случайного события
- •Распределение молекул по скоростям — распределение Максвелла
- •Распределение модулей скоростей молекул
- •Наиболее вероятная скорость молекул
- •Роль быстрых молекул
- •§ 4.7. Измерение скоростей молекул газа
- •Средняя скорость теплового движения молекул
- •Экспериментальное определение скоростей молекул
- •Средняя скорость броуновской частицы
- •§ 4.8. Внутренняя энергия идеального газа
- •Внутренняя энергия молекулярных газов
- •§ 4.9. Примеры решения задач
- •Упражнение 3
- •Глава 5. Законы термодинамики
- •§ 5.1. Работа в термодинамике
- •Работа в механике и термодинамике
- •Вычисление работы
- •Геометрическое истолкование работы
- •§ 5.2. Количество теплоты
- •Калориметрические опыты
- •Количество теплоты. Уравнение теплового баланса
- •Теплоемкость
- •§ 5.3. Эквивалентность количества теплоты и работы
- •Опыты Джоуля
- •Механический эквивалент теплоты
- •§ 5.4. Закон сохранения энергии. Внутренняя энергия
- •Закон сохранения энергии
- •Внутренняя энергия
- •Зависимость внутренней энергии от макроскопических параметров
- •§ 5.5. Первый закон термодинамики
- •Первый закон термодинамики
- •Суть первого закона термодинамики
- •Невозможность создания вечного двигателя
- •Работа и количество теплоты — характеристики процесса изменения энергии
- •§ 5.6. Теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении
- •Теплоемкость газа при постоянном объеме Найдем молярную теплоемкость газа при постоянном объеме. Согласно определению теплоемкости
- •Теплоемкость газа при постоянном давлении
- •Теплоемкость идеального газа при изотермическом процессе
- •§ 5.7. Адиабатный процесс
- •Теплообмен в замкнутой системе
- •§ 5.8. Необратимость процессов в природе
- •§ 5.9. Второй закон термодинамики
- •§ 5.10. Статистическое истолкование необратимости процессов в природе
- •Противоречие между обратимостью микропроцессов и необратимостью макропроцессов
- •Житейский пример необратимости
- •Микроскопическое и макроскопическое состояния
- •Вероятность состояния
- •Переход системы к наиболее вероятному состоянию
- •Расширение «газа» из четырех молекул
- •Необратимость расширения газа с большим числом молекул
- •Стрела времени
- •Границы применимости второго закона термодинамики
- •«Демон Максвелла»
- •§ 5.11. Тепловые двигатели
- •Простейшая модель тепловой машины
- •Принципы действия тепловых двигателей
- •Роль холодильника
- •Кпд теплового двигателя
- •Применение тепловых двигателей
- •Тепловые двигатели и охрана природы
- •§ 5.12. Максимальный кпд тепловых двигателей
- •Идеальная тепловая машина Карно
- •Идеальная холодильная машина
- •Тепловой насос
- •Максимальный кпд тепловых машин (теорема Карно)
- •Кпд реальных тепловых машин
- •§ 5.13. Примеры решения задач
- •Вычитая почленно из второго уравнения первое, получим
- •Упражнение 4
- •Глава 6. Взаимные превращения жидкостей и газов
- •§ 6.1. Испарение жидкостей
- •Испарение
- •Молекулярная картина испарения
- •Конденсация пара
- •Охлаждение при испарении
- •Испарение твердых тел
- •§ 6.2. Равновесие между жидкостью и паром
- •Насыщенный пар
- •Ненасыщенный пар
- •§ 6.3. Изотермы реального газа
- •Давление насыщенного пара
- •Семейство изотерм реального газа
- •Зависимость давления и плотности насыщенного пара от температуры
- •§ 6.4. Критическая температура. Критическое состояние
- •Критическая температура
- •Критическое состояние
- •Плотность жидкости и ее насыщенного пара при критической температуре
- •Экспериментальное исследование критического состояния
- •Диаграмма равновесных состояний газа и жидкости
- •§ 6.5. Кипение
- •Зависимость температуры кипения жидкости от давления
- •Различие температур кипения жидкостей
- •§ 6.6. Теплота парообразования
- •Зависимость удельной теплоты парообразования от температуры
- •§ 6.7. Сжижение газов
- •Установки для сжижения газов
- •Хранение жидких газов
- •Применение сжиженных газов
- •Значение сжижения газов для научных исследований
- •§ 6.8. Влажность воздуха
- •Парциальное давление водяного пара
- •Абсолютная влажность
- •Относительная влажность
- •Точка росы
- •Гигрометр
- •Волосной гигрометр
- •Психрометр
- •Значение влажности
- •§ 6.9. Примеры решения задач
- •Упражнение 5
- •Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях
- •§ 7.1. Поверхностное натяжение
- •Поверхностные эффекты
- •Поверхность жидкости стремится к сокращению
- •§ 7.2. Молекулярная картина поверхностного слоя
- •Происхождение сил поверхностного натяжения
- •Молекулярная картина поверхностного слоя
- •§ 7.3. Поверхностная энергия
- •Поверхностное натяжение
- •§ 7.4. Сила поверхностного натяжения
- •Измерение силы поверхностного натяжения
- •От чего зависит сила поверхностного натяжения?
- •Измерение коэффициента поверхностного натяжения
- •Зависимость поверхностного натяжения от примесей
- •§ 7.5. Смачивание и несмачивание
- •Явления на границе жидкость — твердое тело
- •Значение смачивания
- •§ 7.6. Давление под искривленной поверхностью жидкости
- •Влияние кривизны поверхности на давление внутри жидкости
- •Избыточное давление под сферической поверхностью жидкости
- •§ 7.7. Капиллярные явления
- •Высота поднятия жидкости в капиллярных трубках
- •Капиллярные явления в природе, быту и технике
- •§ 7.8. Примеры решения задач
- •Упражнение 6
- •Глава 8. Твердые тела и их превращение в жидкости § 8.1. Кристаллические тела
- •Кристаллы
- •Монокристаллы и поликристаллические тела
- •Форма и размеры кристаллов
- •Полиморфизм
- •Анизотропия кристаллов
- •§ 8.2. Кристаллическая решетка
- •Четыре типа кристаллов
- •Молекулярные кристаллы
- •Ковалентные кристаллы
- •Ионные кристаллы
- •Металлические кристаллы
- •Строение кристалла объясняет его свойства
- •§ 8.3. Аморфные тела
- •Сходство аморфных тел с жидкостями
- •Переход аморфных тел в кристаллические
- •Ближний порядок
- •Объяснение свойств аморфных тел
- •§ 8.4. Жидкие кристаллы
- •Молекулы жидких кристаллов
- •Нематические жидкие кристаллы
- •Смектические жидкие кристаллы
- •Холестерические* жидкие кристаллы
- •Применение жидких кристаллов
- •§ 8.5. Дефекты в кристаллах
- •Точечные дефекты
- •Дислокации
- •Винтовая дислокация
- •Рост кристаллов
- •§ 8.6. Объяснение механических свойств твердых тел на основании молекулярно-кинетической теории
- •Механизм пластических деформаций
- •Дислокации и прочность твердых тел
- •§ 8.7. Плавление и отвердевание
- •Плавление кристаллических тел
- •Плавление аморфных тел
- •Отвердевание кристаллических и аморфных тел
- •Объяснение плавления и отвердевания на основании молекулярно-кинетической теории
- •Переохлаждение жидкости
- •§ 8.8. Теплота плавления
- •Удельная теплота плавления
- •Теплота кристаллизации
- •Роль теплоты плавления льда и кристаллизации воды в природе
- •Сопло космической ракеты
- •Фазовые переходы. Сублимация
- •§ 8.9. Изменение объема тела при плавлении и отвердевании. Тройная точка
- •Объяснение «странного» поведения льда и воды
- •Вода и лед в природе
- •Зависимость температуры плавления от давления
- •Тройная точка
- •§ 8.10. Примеры решения задач
- •На плавление льда пошло количество теплоты
- •Следовательно, согласно закону сохранения энергии
- •Упражнение 7
- •Глава 9. Тепловое расширение твердых и жидких тел
- •§ 9.1. Тепловое расширение тел
- •Молекулярная картина теплового расширения
- •§ 9.2. Тепловое линейное расширение
- •§ 9.3. Тепловое объемное расширение
- •Связь между коэффициентами линейного и объемного расширения
- •Зависимость плотности вещества от температуры
- •Пользуясь формулой (9.3.3), можно записать
- •Пренебрегая выражением (αΔt)2по сравнению с единицей, получим
- •Тепловое расширение жидкостей
- •Особенности расширения воды
- •§ 9.4. Учет и использование теплового расширения тел в технике
- •Учет теплового расширения тел
- •Использование теплового расширения в технике
- •Терморегулятор
- •§ 9.5. Примеры решения задач
- •Образовавшийся зазор между пробкой и горлышком составит
- •Подставляя числовые значения величин, найдем
- •Упражнение 8
- •Ответы к упражнениям
- •Содержание
§ 5.13. Примеры решения задач
При решении задач на применение материала этой главы используется формула (5.1.2) или (5.1.3) для вычисления работы при изобарном изменении объема газа, выражение (5.2.5) для количества теплоты, полученного телом при его нагревании или отданного им при охлаждении, а также уравнение теплового баланса (5.2.6).
Значительное количество задач решается с помощью первого закона термодинамики в форме ΔU = А + Q или Q = ΔU + А'. Надо иметь в виду, что величины A, Q и ΔU могут быть как положительными, так и отрицательными. В ряде случаев используются частные формулировки первого закона термодинамики для изотермического, изобарного, изохорного и адиабатного процессов.
При решении задач на тепловые двигатели применяются выражения для КПД (5.11.2) и (5.12.13).
Во многих случаях понадобится применять газовые законы и выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа: .
Задача 1
Вычислите работу идеального газа массой т при его изобарном нагревании на ΔT.
Решение. Обозначим постоянное давление газа через р, начальный и конечный объемы газа — соответственно через V1 и V2, а начальную и конечную температуры — через Т1 и T2. Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона имеем:
где М — молярная масса газа.
Вычитая почленно из второго уравнения первое, получим
Но p(V2 – V1) = А' — работа газа. Следовательно,
(5.13.1)
Полученную формулу полезно запомнить и применять при решении других задач.
Задача 2
В каком случае вода в бадье нагревается больше: при опускании в нее горячего камня или такого же по объему нагретого до той же температуры куска металла? Удельные теплоемкости камня и металла относятся как 2:1, плотности как 3:13.
Решение. Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнения теплового баланса для двух пар веществ: вода — камень и вода — металл:
(5.13.2)
где св, ск, см— удельные теплоемкости воды, камня и металла; тв — масса воды в бадье; ρк и ρм — плотности камня и металла; V — объем камня (металла); t1 — начальная температура воды в бадье; t2 — начальная температура камня (металла); t — температура, установившаяся в бадье после опускания в нее камня, a t' — после опускания металла. Перепишем уравнения (5.13.2) так:
(5.13.3)
Разделив почленно первое уравнение на второе, получим:
(5.13.4)
Так как , атo уравнение (5.13.4) принимает вид:
(5.13.5)
Относительно температур t и t' можно высказать три предположения: 1) t > t'\ 2) t = t' и 3) t < t'.
В первом случае в уравнении (5.13.3) левая часть больше единицы, а правая меньше. Значит, первое предположение несправедливо. Во втором случае (t = t') левая часть уравнения (5.13.5) равна единице, а правая равна . Следовательно, неверно и второе предположение.
Таким образом, правильным является третье утверждение: t < t', т. е. при опускании металла вода нагреется больше.
Задача 3
После опускания в воду, имеющую температуру t1 = 10 °С, тела, нагретого до температуры t2 = 100 °С, через некоторое время установилась общая температура t = 40 °С. Какой станет температура воды t', если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое тоже до температуры t2 = 100 °С?
Решение. Пренебрегая нагреванием сосуда и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса после опускания первого тела:
(5.13.6)
где св и ст — удельные теплоемкости воды и тела, а тв и тт — массы воды и тела.
После опускания еще одного такого же тела имеем:
(5.13.7)
Преобразуем уравнения (5.13.6) и (5.13.7) так:
После почленного деления второго уравнения на первое получим:
Отсюда
Задача 4
В цилиндре под тяжелым поршнем, перемещающимся без трения, находится углекислый газ массой m = 20 г. Газ нагревается от температуры t1 = 20 °С до температуры t2 = 108 °С.
Какое количество теплоты было при этом сообщено газу? Молярная теплоемкость углекислого газа (теплоемкость 1 моль) при постоянном объеме Cv — 28,8 Дж/(К · моль).
Решение. Молярная теплоемкость при постоянном давлении согласно формуле (5.6.7) равна:
Удельная теплоемкость
где М — молярная масса газа.
Следовательно, искомое количество теплоты
Задача 5
В двух цилиндрах, имеющих объемы V1 = 3 л и V2 = 5 л, находится одинаковый газ при давлениях р1 = 0,4 МПа и р2 = = 0,6 МПа и температурах t1 = 27 °С и t2 = 127 °С. Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определите, какая температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт.
Решение. Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в цилиндрах после смешивания соответственно равны: U1 = bv1T1, U2 = bv2T2 и U = b(v1 + v2)T. Здесь b — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы газа (для одноатомного газа ); v1 — число молей газа в первом цилиндре; v2 — число молей газа во втором цилиндре.
Согласно закону сохранения энергии
(5.13.11)
или
(5.13.12)
Отсюда
(5.13.13)
Из уравнений состояния до смешивания газов следует:
Выразим отсюда количества газов:
(5.13.14)
Подставив значения v1 и v2 в формулу (5.13.13), получим
Из уравнения состояния для смеси газов
используя найденные значения для v^ v2 и Т, получим
Задача 6
В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого меняется следующим образом: при переходе из состояния 1 в состояние 2 давление увеличивается при постоянном объеме V; при переходе 2—3 увеличивается объем при постоянном давлении р1; переход 3—4 происходит с увеличением объема при постоянной температуре; при переходе 4—1 газ возвращается к первоначальному состоянию при постоянном давлении р2. Изобразите в координатах р, V;p,T и V,T графики изменения состояния газа и определите, при каких процессах газ получает теплоту, при каких отдает; как при этом меняется температура и какая работа совершается газом.
Решение. График изменения состояния в координатах р, V приведен на рисунке 5.19. Процесс 1—2 — нагревание при постоянном объеме, температура увеличивается (Т2 > Т1), следовательно, к газу подводится некоторое количество теплоты (Q > 0); работы газ не совершает (V = const, = 0).
Рис. 5.19
Процесс 2—3 — изобарное расширение; температура увеличивается (Т3 > Т2); газ совершает положительную работу (> 0). Это видно из формулы = р1 (V3 - V2). Так как температура увеличивается, то внутренняя энергия тоже увеличивается, т. е. ΔU > 0. Поэтому из первого закона термодинамики в форме Q = ΔU + следует, что Q > 0, и при этом процессе к газу подводится некоторое количество теплоты.
Процесс 3—4 — изотермическое расширение; температура остается постоянной. Газ совершает положительную работу, так как он расширяется (>0). Для изотермического процесса первый закон термодинамики имеет вид Q = ,поэтому Q > 0, т. е. теплота поглощается газом.
Процесс 4—1 — изобарное сжатие (V1 < V4); температура уменьшается (Т1 < Т4). Газ совершает отрицательную работу: = p2(V1 –V4)- Так как газ охлаждается, то его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0). Следовательно, как видно из первого закона термодинамики: Q = ΔU + , газ отдает некоторое количество теплоты окружающим телам (Q < 0).
Графики изменения состояния в координатах р, Т и V, Т приведены на рисунках 5.20 и 5.21.
Рис. 5.20
Рис. 5.21
Задача 7
Одноатомный идеальный газ при давлении р1 = 3 · 105 Па и температуре t1 = 0 °С занимает объем V1 = 2 м3. Газ сжимают без теплообмена с окружающей средой, совершая при этом работу А = 35 кДж. Найдите конечную температуру газа Т2.
Решение. Согласно формуле (15.8.1) для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии
(5.13.15)
Из уравнения Менделеева—Клапейрона для начального состояния газа найдем
(5.13.16)
Подставляя выражение (5.13.16) в уравнение (5.13.15), получим
(5.13.17)
Так как газ сжимают без теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс), то в соответствии с первым законом термодинамики имеем
Следовательно, уравнение (5.13.17) можно записать так:
Откуда
Задача 8
Увеличится ли внутренняя энергия воздуха "в комнате, если в ней протопить печь?
Решение. Энергия единицы объема газа пропорциональна произведению абсолютной температуры газа на его плотность:
где с — постоянный коэффициент пропорциональности. Согласно уравнению состояния идеального газа
где В — постоянная величина.
Так как , то. Следовательно,U1 =, т. е. энергия определяется только давлением. Давление же в комнате равно атмосферному и не меняется при нагревании воздуха в комнате. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство энергии, несмотря на нагревание. Только в герметически закрытой комнате внутренняя энергия возрастала бы с нагреванием.
Задача 9
Тепловая машина совершает работу А = 2 · 103 Дж при затрате количества теплоты Q1 = 4 · 103 Дж. Известно, что КПД такой машины составляет 0,75 (75%) максимально возможного КПД (ηmax). Определите температуру нагревателя машины t1, если температура холодильника t2 = 0 °С.
Решение. Согласно условию задачи КПД тепловой машины равен:
По определению
Отсюда
или