Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебник для углубленного изучения физики.doc
Скачиваний:
3625
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
6.5 Mб
Скачать

§ 5.13. Примеры решения задач

При решении задач на применение материала этой главы используется формула (5.1.2) или (5.1.3) для вычисления работы при изобарном изменении объема газа, выражение (5.2.5) для количества теплоты, полученного телом при его нагревании или отданного им при охлаждении, а также уравнение теплового баланса (5.2.6).

Значительное количество задач решается с помощью первого закона термодинамики в форме ΔU = А + Q или Q = ΔU + А'. Надо иметь в виду, что величины A, Q и ΔU могут быть как положительными, так и отрицательными. В ряде случаев используются частные формулировки первого закона термодинамики для изотермического, изобарного, изохорного и адиабатного процессов.

При решении задач на тепловые двигатели применяются выражения для КПД (5.11.2) и (5.12.13).

Во многих случаях понадобится применять газовые законы и выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа: .

Задача 1

Вычислите работу идеального газа массой т при его изобарном нагревании на ΔT.

Решение. Обозначим постоянное давление газа через р, начальный и конечный объемы газа — соответственно через V1 и V2, а начальную и конечную температуры — через Т1 и T2. Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона имеем:

где М — молярная масса газа.

Вычитая почленно из второго уравнения первое, получим

Но p(V2 V1) = А' — работа газа. Следовательно,

(5.13.1)

Полученную формулу полезно запомнить и применять при решении других задач.

Задача 2

В каком случае вода в бадье нагревается больше: при опускании в нее горячего камня или такого же по объему нагретого до той же температуры куска металла? Удельные теплоемкости камня и металла относятся как 2:1, плотности как 3:13.

Решение. Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнения теплового баланса для двух пар веществ: вода — камень и вода — металл:

(5.13.2)

где св, ск, см— удельные теплоемкости воды, камня и металла; тв — масса воды в бадье; ρк и ρм — плотности камня и металла; V — объем камня (металла); t1 — начальная температура воды в бадье; t2 — начальная температура камня (металла); t — температура, установившаяся в бадье после опускания в нее камня, a t' — после опускания металла. Перепишем уравнения (5.13.2) так:

(5.13.3)

Разделив почленно первое уравнение на второе, получим:

(5.13.4)

Так как , атo уравнение (5.13.4) принимает вид:

(5.13.5)

Относительно температур t и t' можно высказать три предположения: 1) t > t'\ 2) t = t' и 3) t < t'.

В первом случае в уравнении (5.13.3) левая часть больше единицы, а правая меньше. Значит, первое предположение несправедливо. Во втором случае (t = t') левая часть уравнения (5.13.5) равна единице, а правая равна . Следовательно, неверно и второе предположение.

Таким образом, правильным является третье утверждение: t < t', т. е. при опускании металла вода нагреется больше.

Задача 3

После опускания в воду, имеющую температуру t1 = 10 °С, тела, нагретого до температуры t2 = 100 °С, через некоторое время установилась общая температура t = 40 °С. Какой станет температура воды t', если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое тоже до температуры t2 = 100 °С?

Решение. Пренебрегая нагреванием сосуда и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса после опускания первого тела:

(5.13.6)

где св и ст — удельные теплоемкости воды и тела, а тв и тт — массы воды и тела.

После опускания еще одного такого же тела имеем:

(5.13.7)

Преобразуем уравнения (5.13.6) и (5.13.7) так:

После почленного деления второго уравнения на первое получим:

Отсюда

Задача 4

В цилиндре под тяжелым поршнем, перемещающимся без трения, находится углекислый газ массой m = 20 г. Газ нагревается от температуры t1 = 20 °С до температуры t2 = 108 °С.

Какое количество теплоты было при этом сообщено газу? Молярная теплоемкость углекислого газа (теплоемкость 1 моль) при постоянном объеме Cv28,8 Дж/(К · моль).

Решение. Молярная теплоемкость при постоянном давлении согласно формуле (5.6.7) равна:

Удельная теплоемкость

где М — молярная масса газа.

Следовательно, искомое количество теплоты

Задача 5

В двух цилиндрах, имеющих объемы V1 = 3 л и V2 = 5 л, находится одинаковый газ при давлениях р1 = 0,4 МПа и р2 = = 0,6 МПа и температурах t1 = 27 °С и t2 = 127 °С. Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определите, какая температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт.

Решение. Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в цилиндрах после смешивания соответственно равны: U1 = bv1T1, U2 = bv2T2 и U = b(v1 + v2)T. Здесь b — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы газа (для одноатомного газа ); v1 — число молей газа в первом цилиндре; v2 — число молей газа во втором цилиндре.

Согласно закону сохранения энергии

(5.13.11)

или

(5.13.12)

Отсюда

(5.13.13)

Из уравнений состояния до смешивания газов следует:

Выразим отсюда количества газов:

(5.13.14)

Подставив значения v1 и v2 в формулу (5.13.13), получим

Из уравнения состояния для смеси газов

используя найденные значения для v^ v2 и Т, получим

Задача 6

В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого меняется следующим образом: при переходе из состояния 1 в состояние 2 давление увеличивается при постоянном объеме V; при переходе 23 увеличивается объем при постоянном давлении р1; переход 3—4 происходит с увеличением объема при постоянной температуре; при переходе 4—1 газ возвращается к первоначальному состоянию при постоянном давлении р2. Изобразите в координатах р, V;p,T и V,T графики изменения состояния газа и определите, при каких процессах газ получает теплоту, при каких отдает; как при этом меняется температура и какая работа совершается газом.

Решение. График изменения состояния в координатах р, V приведен на рисунке 5.19. Процесс 12 — нагревание при постоянном объеме, температура увеличивается (Т2 > Т1), следовательно, к газу подводится некоторое количество теплоты (Q > 0); работы газ не совершает (V = const, = 0).

Рис. 5.19

Процесс 23 — изобарное расширение; температура увеличивается 3 > Т2); газ совершает положительную работу (> 0). Это видно из формулы = р1 (V3 - V2). Так как температура увеличивается, то внутренняя энергия тоже увеличивается, т. е. ΔU > 0. Поэтому из первого закона термодинамики в форме Q = ΔU + следует, что Q > 0, и при этом процессе к газу подводится некоторое количество теплоты.

Процесс 34 — изотермическое расширение; температура остается постоянной. Газ совершает положительную работу, так как он расширяется (>0). Для изотермического процесса первый закон термодинамики имеет вид Q = ,поэтому Q > 0, т. е. теплота поглощается газом.

Процесс 41 — изобарное сжатие (V1 < V4); температура уменьшается 1 < Т4). Газ совершает отрицательную работу: = p2(V1 V4)- Так как газ охлаждается, то его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0). Следовательно, как видно из первого закона термодинамики: Q = ΔU + , газ отдает некоторое количество теплоты окружающим телам (Q < 0).

Графики изменения состояния в координатах р, Т и V, Т приведены на рисунках 5.20 и 5.21.

Рис. 5.20

Рис. 5.21

Задача 7

Одноатомный идеальный газ при давлении р1 = 3 · 105 Па и температуре t1 = 0 °С занимает объем V1 = 2 м3. Газ сжимают без теплообмена с окружающей средой, совершая при этом работу А = 35 кДж. Найдите конечную температуру газа Т2.

Решение. Согласно формуле (15.8.1) для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии

(5.13.15)

Из уравнения Менделеева—Клапейрона для начального состояния газа найдем

(5.13.16)

Подставляя выражение (5.13.16) в уравнение (5.13.15), получим

(5.13.17)

Так как газ сжимают без теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс), то в соответствии с первым законом термодинамики имеем

Следовательно, уравнение (5.13.17) можно записать так:

Откуда

Задача 8

Увеличится ли внутренняя энергия воздуха "в комнате, если в ней протопить печь?

Решение. Энергия единицы объема газа пропорциональна произведению абсолютной температуры газа на его плотность:

где с — постоянный коэффициент пропорциональности. Согласно уравнению состояния идеального газа

где В — постоянная величина.

Так как , то. Следовательно,U1 =, т. е. энергия определяется только давлением. Давление же в комнате равно атмосферному и не меняется при нагревании воздуха в комнате. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство энергии, несмотря на нагревание. Только в герметически закрытой комнате внутренняя энергия возрастала бы с нагреванием.

Задача 9

Тепловая машина совершает работу А = 2 · 103 Дж при затрате количества теплоты Q1 = 4 · 103 Дж. Известно, что КПД такой машины составляет 0,75 (75%) максимально возможного КПД (ηmax). Определите температуру нагревателя машины t1, если температура холодильника t2 = 0 °С.

Решение. Согласно условию задачи КПД тепловой машины равен:

По определению

Отсюда

или