Среднее значение квадрата скорости

Нас будет интересовать средний квадрат проекции скорости. Он находится так же, как квадрат модуля скорости (см. выражение (4.1.2)):

(4.3.2)

Скорости молекул принимают непрерывный ряд значений. Определить точные значения скоростей и вычислить среднее значение (статистическое среднее) с помощью формулы (4.3.2) практически невозможно. Определим несколько иначе, более реалистично. Обозначим черезп₁ число молекул в объеме 1 см³, имеющих проекции скоростей, близкие к v_1х; через п₂ — число молекул в том же объеме, но со скоростями, близкими к v_kx, и т. д.* Число молекул со скоростями, близкими к максимальной v_kx, обозначим через n_k (скорость v_kx может быть сколь угодно велика). При этом должно выполняться условие: п₁ + п₂ + ... + n_i + ... + n_k = п, где п — концентрация молекул. Тогда для среднего значения квадрата проекции скорости вместо формулы (4.3.2) можно написать следующую эквивалентную формулу:

* О том, как эти числа могут быть определены, будет рассказано в §4.6.

(4.3.3)

Так как направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (опять-таки из-за хаоса в движении молекул), справедливы равенства:

(4.3.4)

Для каждой молекулы квадрат скорости равен:

Значение среднего квадрата скорости, определяемое так же, как средний квадрат проекции скорости (см. формулы (4.3.2) и (4.3.3)), равно сумме средних квадратов ее проекций:

(4.3.5)

Из выражений (4.3.4) и (4.3.5) следует, что

(4.3.6)

т. е. средний квадрат проекции скорости равен среднего квадрата самой скорости. Множительпоявляется вследствие трехмерности пространства и, значит, существования трех проекций у любого вектора.

Скорости молекул беспорядочно меняются, но среднее значение проекций скорости на любое направление и средний квадрат скорости — вполне определенные величины.

§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Вычислим с помощью молекулярно-кинетической теории давление газа. На основе проделанных расчетов можно будет сделать очень важный вывод о связи температуры газа со средней кинетической энергией молекул.

Пусть газ находится в прямоугольном сосуде с твердыми стенками. Газ и сосуд имеют одинаковые температуры, т. е. находятся в состоянии теплового равновесия. Будем считать столкновения молекул со стенками абсолютно упругими. При этом условии кинетическая энергия молекул в результате столкновения не меняется.

Требование того, чтобы столкновения были абсолютно упругими, не является строго обязательным. В точности оно и не реализуется. Молекулы могут отражаться от стенки под разными углами и со скоростями, не равными по модулю скоростям до соударения. Но в среднем кинетическая энергия отраженных стенкой молекул будет равна кинетической энергии падающих молекул, если только существует тепловое равновесие. Результаты расчета не зависят от детальной картины столкновений молекул со стенкой. Поэтому вполне допустимо считать столкновения молекул подобными столкновениям упругих шаров с абсолютно гладкой твердой стенкой.

Вычислим давление газа на стенку сосуда CD, имеющую площадь S и расположенную перпендикулярно оси X (рис. 4.3).

Рис. 4.3