§ 6.9. Примеры решения задач

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что давление и плотность насыщенного пара не зависят от объема, а зависят только от температуры.

Давление насыщенного пара считается известной величиной (сообщается в условии задачи или находится в соответствующих таблицах).

Уравнение состояния идеального газа вдали от критической температуры приближенно применимо для описания насыщенного пара. Но при сжатии или нагревании насыщенного пара его масса изменяется.

Задача 1

В замкнутом сосуде объемом V = 1 м³ находится вода массой т = 12 г и насыщенный пар; плотность и давление пара при данной температуре равны соответственно ρ = 8 · 10^-3 кг/м и р = 1,1 кПа. Какое давление установится при увеличении объема в k = 5 раз? Считать, что температура при увеличении объема не изменяется.

Решение. В сосуде первоначально содержался насыщенный пар массой т₁ = ρV = 8 · 10^-3 кг (объемом, занимаемым водой, можно пренебречь).

Масса воды и пара была равна т + т₁ = 2 · 10^-2 кг. Для насыщения объема, равного W, необходим пар массой т₂ = ρkV = 4 · 10^-2 кг. Так как т + т₁ < т₂, то после увеличения объема пар станет ненасыщенным. Его плотность .

Давление пара при данной температуре прямо пропорционально плотности. Поэтому

Задача 2

В закрытом сосуде объемом V₁ = 0,5 м³ находится вода массой m = 0,5 кг. Сосуд нагрели до температуры t = 147 °С. На какую величину ΔV следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только насыщенный пар? Давление насыщенного пара при температуре t = 147 °С равное = 4,7 · 10⁵ Па.

Решение. Насыщенный пар при давлении р₀ занимает объем

где М = 0,018 кг/моль — молярная масса воды. Объем сосуда V₁ > V и пар не является насыщенным. Чтобы пар стал насыщенным, объем сосуда следует изменить на

Объем сосуда должен быть уменьшен на 0,3 м³.

Задача 3

Кусок алюминия массой т₁ = 537 г, нагретый до температуры t₁ = 200 °С, опустили в воду массой т₂ = 400 г при температуре t₂ = 16 °С. Вода нагрелась до температуры t = 50 °С и частично испарилась. Определите массу испарившейся воды. Удельная теплоемкость алюминия с₁ = 920 Дж/(кг·К). Удельная теплоемкость воды с₂ = 4200 Дж/(кг·К), а удельная теплота парообразования воды при температуре кипения (t_k = 100 °С) равна г = 2,26 МДж/кг. Тепловыми потерями пренебречь.

Решение. Количество теплоты, отданное куском алюминия:

Количество теплоты, полученное водой, складывается из количества теплоты, полученного всей водой при нагревании от t₂ до t:

и количества теплоты, израсходованного для нагревания части воды массой пг3 от t до tK и ее испарения при этой температуре:

Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса:

или

Откуда

Задача 4

Пористое тело было помещено для просушки под колокол вакуумного насоса. Давление под колоколом держалось на уровне 6,5 мм рт. ст. в течение 1 ч, после чего резко упало. Подача насоса 60 л/мин. Установившаяся под колоколом насоса температура t = 5 °С. Сколько воды содержало тело?

Решение. Давление р = 6,5 мм рт. ст. — это давление насыщенных водяных паров при t = 5 °С. Резкое падение давления свидетельствует о том, что вся вода превратилась в пар. Объем пара, откачанного насосом до полного испарения воды, V = 3600 л. Пользуясь уравнением состояния Менделеева— Клапейрона, находим искомую массу воды

Задача 5

В сосуде находится воздух, относительная влажность которого при температуре t₁ = 10 °С равна φ₁ = 60%. Какой будет относительная влажность φ₂ после уменьшения объема сосуда в п раз (n = 3) и нагревания газа до температуры t₂ = 100 °С? Плотность насыщенных водяных паров при температуре t₁ равна ρ = 9,4 · 10^-3 кг/м³.

Решение. При температуре t₁ абсолютная влажность (до сжатия) равна ρ₁ = φ₁ρ. После сжатия масса влаги, приходящаяся на единицу объема сосуда (не только в виде паров, но и в виде сконденсировавшейся жидкости, если возникли условия для конденсации), будет равна ρ₂ = nφ₁ρ = 1,69 · 10^-2кг/м³.

При температуре t₂ = 100 °С давление насыщенных водяных паров равно нормальному атмосферному давлению р₀ = = 105 Па, и их плотность

где М = 0,018 кг/моль.

Так как ρ₃ > ρ₂, то в сосуде будет ненасыщенный пар с относительной влажностью