Столкновение молекулы со стенкой

Пусть скорость _i молекулы с номером i направлена под произвольным углом к стенке (рис. 4.4). При столкновении проекция скорости на ось X v_ix меняет знак, а проекции скорости на направления, совпадающие с осями Y и Z, v_iy и v_iz, остаются без изменения. После соударения

Рис. 4.4

Объясняется это тем, что при абсолютно упругом ударе отсутствуют силы, параллельные стенке. Изменение проекций импульса молекулы на ось X равно:

(4.4.1)

где т₀ — масса молекулы.

Согласно закону сохранения импульса стенке сосуда молекулой будет передан импульс 2m₀v_ix. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона на стенку за время удара подействует импульс силы 2m₀v_ix, направленный перпендикулярно стенке.

Число соударений со стенкой молекул, скорости которых близки к VIX

За время Δt стенки могут достичь лишь молекулы со скоростями v_ix > 0, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем v_ixΔt (рис. 4.5). Эти молекулы движутся слева направо. Молекулы, находящиеся на больших расстояниях, не успеют долететь до стенки*.

* Заметим, что столкновения молекул друг с другом не влияют на число их столкновений со стенкой. Если какая-либо молекула, у которой vix > 0, из-за столкновений не сможет достигнуть стенки, то ее место займет какая-то другая молекула. Давление определяется средним числом молекул с различными скоростями, которое не меняется в состоянии теплового равновесия при столкновениях.

Рис. 4.5

Не надо думать, что значения проекций скоростей v_iy и v_iz как-то влияют на достижение молекулами стенки CD. Если молекула столкнется со стенкой ВС или АВ (см. рис. 4.5), то проекция скорости v_ix при этом не изменится и молекула сместится вдоль оси X по-прежнему на отрезок v_ixΔt

Выделенный объем CC’DD’ равен v_ixΔtS. Число молекул в этом объеме со скоростями, близкими к v_ix, составляет

(4.4.2)

где n_i — число молекул со скоростями, близкими к v_ix > 0, в 1 см³.

Импульс, переданный стенке молекулами со скоростями vix > 0

Переданный молекулами (их число равно Δz_i) импульс равен произведению Δz_i на импульс, переданный одной молекулой (определяется по формуле (4.4.1)):

(4.4.3)

Импульс средней силы, действующий на стенку со стороны всех молекул

Молекулы со скоростями, близкими к v_ix, за время Δt меняют импульс стенки на Изменение импульса стенки за время Δt всеми молекулами, столкнувшимися со стенкой, равно сумме выражений (4.4.3) по скоростям v_ix > 0 всех молекул:

(4.4.4)

Согласно второму закону Ньютона импульс силы FΔt, действующей на стенку, равен изменению импульса стенки:

(4.4.5)

Выразим этот импульс силы через средний квадрат проекции скорости на ось X, который согласно формуле (4.3.3) определяется так:

(4.4.6)

где суммирование осуществляется по всем проекциям скоростей, как положительным, так и отрицательным. Но положительные значения проекций скоростей встречаются столь же часто, как и отрицательные. Поэтому

или, учитывая определение среднего квадрата (4.4.6), будем иметь:

(4.4.7)

Заменяя в уравнении (4.4.5) сумму по проекциям скоростей ее выражением (4.4.7), получим средний импульс силы:

(4.4.8)

Этот результат можно пояснить графически. На рисунке 4.6, а изображена зависимость от времени силы f, действующей на стенку при столкновении с нею различных молекул. Время соударения δt ‹‹ At. Сила меняется хаотически в зависимости от времени. Площадь под каждым пиком представляет собой импульс силы, действующей на стенку со стороны одной молекулы при соударении. Суммарная площадь под всеми пиками (ее численное значение) дает импульс силы, действующей на стенку за время At. Средний импульс силы Δt графически характеризуется площадью прямоугольника (рис. 4.6, б), равной суммарной площади импульсов сил от отдельных молекул.

Рис. 4.6