Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 131
кроет глаза на сильные отклонения от наиболее вероятного (учитывая их
огромную невероятность) или, в более общем случае, вообще отклонит рассмотрение такого рода отдаленных следствий физической теории. Вплоть
до недавнего времени эти вопросы возникали лишь на горизонте физического исследования: в теории погрешностей наблюдения
241
и в дискуссии
о H-теореме. Иначе обстоит дело сейчас: увеличивающееся проникновение
статистических элементов практически во все физические термины и возрастающее значение «статистического эксперимента» как одного из физических средств исследования заставили и физиков понять неотложность
тех вопросов, которыми уже длительное время занимаются теоретики демографической статистики, биологической статистики и т.д.
242
Уже сейчас
каждое исследование структуры физической теории неизбежно приводит
к вопросу о природе «вероятностных гипотез».
241
При вопросе, следует ли учитывать при образовании средних значений значения, полно-
стью выпадающие из ряда других значений.
242
Обобщенные критические обсуждения относящейся к этой теме литературы: E. Czuber,
Die Entwickl. d. Wahrsch.-Theorie u. ihrer Anwend. (Bericht deutsch. Mathem.-Verein. Leipzig
1899); J. Kries, Prinzip d. Wahrsch.-R., Freiburg i. Br. 1886; А. Чупров, Очерки по теории статистики, Петербург 1909.
Доказательство эргодической теоремы
и H-теоремы в новой механике
Джон фон Нейман
Показывается, каким образом должно разрешаться кажущееся противоречие между макроскопическим понятием фазового пространства и существованием соотношений неопределенности. Затем дается квантовомеханическое истолкование самых основных представлений статистической
механики, формулируются и доказываются (без «допущения о беспорядке») эргодическая теорема и H-теорема. После этого следует обсуждение
физического смысла математических условий, ограничивающих области их
применения.
Введение
1. Темой настоящей работы является выяснение связи между макро-
скопическим и микроскопическим рассмотрениями сложной системы, т.е.
обсуждение вопроса, почему дело обстоит так, что обычные термодинамические методы статистической механики дают возможность делать в подавляющем большинстве правильные утверждения относительно систем,
известных неполным образом (т. е. только макроскопически). В частности:
каким образом, во-первых, возникает своеобразное, казалось бы, необратимое поведение энтропии и почему, во-вторых, для известной неполным образом (реальной) системы позволительно подставлять статистические свойства (фиктивного) микроканонического ансамбля
должны ответить, пользуясь средствами квантовой механики.
1
J. v. Neumann, Zs. f. Phys. 57, 30–70 (1929). Фон Нейман Дж. Математические основы
квантовой механики. М.: Наука, 1964, с. 325–367.
2
Здесь имеются в виду замкнутые н изолированные системы. Известно, что для системы,
сообщающейся с большим тепловым резервуаром, характеристичным является так называемый канонический ансамбль. Но методы статистической механики позволяют без труда свести
этот случай к предыдущему, если только тепловой резервуар присоединить к системе.
2
. И на эти вопросы мы
1
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 133
Как известно, в классической механике эти вопросы привели к построению двух детально разработанных теоретических систем: больцмановой и гиббсовой статистических механик. Первая теория не смогла дать
окончательного и удовлетворительного решения, потому что в ней приходится существенно пользоваться так называемым предположением о «беспорядке», — а понимание природы этого «беспорядка» и представляет как
раз основную задачу
3
. Вторая теория по своему подходу была бы вполне
пригодна для этого: однако она привела к математической проблеме, так
называемой проблеме квазиэргодичности, оказавшейся абсолютно непреодолимой ни при тогдашнем состоянии науки, ни при нынешнем. Поэтому
теория Гиббса приведет к цели, только если предположить правильность
соответствующей математической теоремы.
Далее, в общих принципиальных вопросах новая квантовая механи-
ка отличается от классической механики совершенно необычайной просто-
4
И именно благодаря этому обстоятельству в квантовой механике цель
той.
может быть достигнута с помощью сравнительно простых математических
средств, если только следовать гиббсову пути. Так, в дальнейшем окажется
возможным доказать эргодическую теорему и H -теорему (которые являются двумя указанными выше постановками вопроса) независимо от каких бы
то ни было предположений о беспорядке. Однако прежде чем переходить
к подробному разговору об этом, нелишне сказать несколько слов о понятии макроскопического в квантовой механике.
2. Принципиальной трудностью квантовомеханического воссоздания гиббсовой теории является то, что здесь нельзя избегнуть обращения к понятию «фазового пространства», т. е. — для системы с f степенями свободы — к 2f-мерному пространству, описываемому f координатами q
, ..., qfиихf импульсами p1, ..., pf,—всеважныедляэтойцели
1
понятия (энергетическая поверхность, фазовые ячейки, микроканонические
и канонические ансамбли и т. д.) определяются в нем. В квантовой механике
никак нельзя построить такое фазовое пространство, так как координата q
k
иееимпульсpkне могут быть измерены одновременно, напротив, между их вероятными ошибками (разбросами) Δq
соотношение неопределенности Δq
· Δpk
k
и Δpkвсегда имеет место
k
h
.5Более того, невозможно
4π
даже указать для какого-либо состояния системы два интервала I, J,та-
3
Ср. (также и для дальнейшего) критическое обсуждение этих условий в работе
P. и T. E h r e n f e s t , Enzykl. d. Math. Wiss., Bd. IV, 4. D. (Art. 32) и далее Phys. Zs. 8 (1907).
4
Правда, в случае многих специальных проблем дело обстоит как раз наоборот.
5
Ср. W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 43, Heft 3/4 (1927), а также N. Bohr, Naturwissenschaften
16, Heft 15 (1928). Относительно границы
Quantenmechanik, Leipzig, 1928, S. 272.
h
см., например, H. Weyl, Gruppentheorie und
4π
134 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
ких, что qkс достоверностью лежит в I ,аpkс достоверностью лежит в J
(этого нельзя сделать и тогда, когда произведение их длин намного больше, чем
h
!,6— так что не только непрерывное фазовое пространство,
4π
но и его дискретные разбиения на ячейки лишены смысла! Несмотря на
это, в действительности совершенно очевидно и то, что при макроскопических измерениях координаты и импульсы измеряются одновременно, —
здесь возникает даже представление, что это возможно благодаря неточности макроскопических измерений, которая намного больше неточности,
при которой еще можно было бы опасаться коллизии с соотношениями
неопределенности. Как же согласовать эти два противоречащих друг другу
обстоятельства?
Мы считаем, что правильной является следующая интерпретация: при
макроскопическом одновременном измерении координаты и импульса (или
двух других величин, квантовомеханически одновременно не измеримых)
в действительности одновременно и точно измеряются две физические величины, только эти величины не являются в точности координатой и импульсом. Пусть, скажем, это будут положения двух стрелок или места двух
почернений фотографических пластинок,
7
— ничто не мешает нам измерить
их одновременно и с достаточной точностью, но связь этих величин с реальными интересующими нас физическими величинами (q
и pk)довольно
k
неопределенна, причем мерилом этой необходимой по законам природы
неточности связи как раз и является соотношение неопределенностей (ср.
прим. 5 на стр. 133).
Математическая формулировка: квантовая механика сопоставляет ве-
h
∂
личинам q
6
Это означает, что если волновая функция ϕ(q1, ..., qf) обращается в нуль для всех
значений q
рье c(p
должны всегда =0при произвольно больших p
7
Координату и импульс частицы можно представлять себе измеренными в смысле цитированных в прим. 5 на стр. 133 работ, скажем, следующим образом: с одной стороны, частица освещается пучком света, сфокусированным в приблизительном месте ее нахождения,
и рассеянный свет фотографируется (координата) и, с другой стороны, частица освещается
достаточно монохроматичным и плоскопараллельным пучком света, причем отраженный свет
фотографируется после прохождения через призму (для констатации длины волны) (импульс).
Естественно, что должна соблюдаться связь между точностями, обусловленная соотношением
неопределенностей. Таким образом получаем на двух пластинках два почернения, устанавливающие с известными точностями координату и импульс.
8
Ср. Schr¨odinger, Ann. d. Phys. 79, 8 (1926).
и pkизвестные операторы Qk= qk...и Pk=
k
, лежащих вне какого-нибудь конечного интервала I , то ее коэффициенты Фу-
k
,...,pf) (мы разлагаем
1
ϕ(q
1
,...,qf)=
−∞
∞
∞
...
−∞
c(p1, ..., pf)e
2πi
(p
+...+pfqf)
1q1
h
.
k
2πi
∂q
dp1...dpf)
k
...,
8
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 135
неперестановочность которых (QkPk= PkQk, разность же равна, как известно,
Предположим теперь, что существуют два других перестановочных опера-
тора Q
h
1) соответствует одновременной неизмеримости этих величин9.
2πi
и P
, которые лишь мало отличаются от Qk, Pk, причем настолько
k
k
мало, что для их соответственных отклонений мерой являются два числа ΔQ
соотношения неопределенностей. (Естественно, что в силу P
=
ная, но, как легко убедиться, по существу, та же формулировка получается,
если заметить следующее: перестановочные операторы Q
и ΔPk, произведение которых не превосходит существенно
k
h
4πi
1, Q
P
k
k
−P
Q
=0оно не может быть меньше
k
k
4π
kQk−QkPk
h
!) Немного отлич-
, P
k
k
ладать полной ортогональной системой общих собственных функций,
зовем их ϕ
состоянии ϕ
(и при этом ΔQ
после которого должно наступать некоторое состояние ϕ
дает нам одновременную информацию относительно Q
достаточно отыскать полную ортогональную систему ϕ
ными выше свойствами; тогда Q
, ...Потребуем тогда от этой системы следующее: в любом
1,ϕ2
дисперсии Qkи Pkменьше, чем ΔQkи ΔPkсоответственно
n
· ΔPk∼
k
h
. Тогда одновременное измерение Q
4π
n
и Pk.Впрочем,
k
, P
могут быть сейчас же установле-
k
k
1,ϕ2
, действительно
, ... суказан-
h
из
4π
должны об-
10
на-
, P
k
=
ны — для этого достаточно лишь задать их собственные значения в состояниях ϕ
выбрать равными математическим ожиданиям Q
(n =1, 2, ...), каковые собственные значения целесообразно
n
, Pkв состояниях ϕn.
k
11
Это, по существу, убедительное допущение мы можем теперь подтвер-
дить математически: каковы бы ни были два положительных числа ε, η
с εη = C ·
существует полная ортогональная система ϕ
9
Ср. P. D i r a c , Proc. Roy. Soc. 113 (1927) и W. Heisenberg, l. c., прим. 5 на стр. 133.
10
Будем считать ради простоты, что реально измеренные величины Q
дискретный спектр, что бывает на самом деле, если мы имеем дело с конечным объемом.
Тогда существование общей системы собственных функций доказывается в точности так же,
как в случае обычных (конечномерных) матриц. Ср. по этому поводу Frobenius,J.f.Math.84
(1877), Hellinger u. Toeplitz, Enzykl. d. Math. Wiss., Bd. II, C. 13 (Art. 41).
11
То е сть
и
h
(C — константа, ср. по этому поводу прим. 12, стр. 136),
4π
h
2πi
∞
qk|ϕn(q1,...,qf)|2dq1...dq
−∞
∞
ϕ
(q1,...,qf)ϕ∗(q1,...,qf)dq1...dqf.
q
k
−∞
, ..., такая, что в любом
1,ϕ2
, P
k
k
f
имеют только
,
k
136 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
состоянии ϕnдисперсии Qkи Pkбудут меньше, чем ε, η соответственно.
Задание ϕnи доказательство их свойств приводит к довольно затруднительным выкладкам
13
приводить которые мы здесь не станем, тем более
12
что сказанное до сих пор достаточно проясняет принципиально наиболее
важное.
Таким образом мы делаем следующее допущение о сущности макроскопических измерений: они являются исключительно измерениями одновременно измеримых величин (с взаимно перестановочными операторами),
которые связаны с простыми и не измеримыми одновременно физическими
величинами (координаты, импульсы и т. д.) лишь настолько, насколько это
допускается соотношениями неопределенности. В дальнейшем изложении
работы должно быть показано, как это осуществляется в деталях.
3. Относительно общего формального аппарата квантовой механики надо иметь в виду следующее. Состояния системы будут характеризоваться известным образом комплексными функциями ϕ = ϕ(q
, ..., qf)
1
(так называемыми волновыми функциями), определенными в «пространстве состояний» системы, т.е. в f -мерном пространстве, описываемом f координатами q
рами A, B , ...
12
Как видно, C ≈ 1 было бы идеальной оценкой (использующей все возможности, до-
пускаемые соотношением неопределенности). Автору удалось лишь достичь C<3,600,но
поскольку
венно.
13
Нужно воспользоваться введенными Гейзенбергом [l. c. прим. 5 на стр. 133] волновыми
пакетами
— мы пишем q вместо qkи опускаем остальные из q1,...,qf, в указанном выше состоянии Q = q... и P =
2
h
соответственно, — где
4πθ
Получающиеся таким образом функции записываются в каком-нибудь порядке в виде последовательности и затем, согласно Шмидту (E. Schmidt, Math. Ann. 63 (1907)), «ортогонализируются». Это дает желаемую систему ϕ
14
В способе обозначений и методах, используемых ниже, мы придерживаемся работы автора
вG¨ott. Nachr. 11 Nov. 1927, S. 245–272. Однако все необходимое для поставленной цели будет
резюмировано здесь.
, ..., qf, физические же величины — эрмитовыми операто-
1
14
Важнейшими операциями с этими объектами являются:
h
в макроскопических (CGS)-единицах составляет ≈ 10
4π
a =
2
q2+
a
2θ
,...
1
−
4θ
e
h
... имеют средние значения a, b и квадраты дисперсий θ2,
2πi∂∂q
4π
ε · i; b =
C
1
θ =
ε и i, j =0, ±1, ±2,...
√
C
1,ϕ2
2
4π
C
2πi
+
h
η ·j =
b
q
4π
−28
,тоэтонесущест-
h
C
· j;
ε
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 137
«внутреннее произведение»
(ϕ, ψ)=···ϕ(q
, ..., qf)ψ(q1, ..., qf)∗dq1...dq
1
f
(* мы обозначаем комплексное сопряжение) и «абсолютная величина»
···|ϕ(q
, ..., qf)|2dq1...dqf.
1
15
|ϕ| =
(ϕ, ϕ)=
Простейшее описание состояний с помощью волновой функции ϕ делается так: математическое ожидание величины A в состоянии ϕ равняется (Aϕ, ϕ). Задание всех математических ожиданий означает, поскольку
одновременно с этим становятся известными математические ожидания
всех степеней (т. е. так называемые высшие моменты распределения вероятностей), знание всего распределения вероятностей любой величины, т.е.
полную статистическую характеристику системы.
16
Нам нужна также статистика величин в системе, в которой имеется
не одно состояние ϕ, а много состояний ϕ
вероятностями w
видно,
wn(Aϕn,ϕn), что удобнее записать по-другому. Именно, будем
n
, ... Тогда математическое ожидание A равно, оче-
1,w2
описывать оператор A в некоторой полной ортогональной системе функций
матрицей a
n
, а функции ϕn— векторами x
μν
wn(Aϕn,ϕn)=
w
n
n
μ, ν
aμνx
n∗
μ
т. е. если обозначить через U оператор с матрицей
сматриваемое выражение будет равно шпуру от AU .
, ... с соответствующими
1,ϕ2
n
(μ, ν =1, 2, ...).17Тогда
μ
n
x
=
ν
μ, ν
a
μν
wnx
n
n
wnx
μ
n
18
Тем самым стати-
n
x
ν
n∗
x
, то рас-
ν
n∗
μ
,
стическое поведение введенных смесей многих состояний характеризуется
оператором U на основании правила: математическое ожидание A равняется Spur(AU ). Мы называем U статистическим оператором смеси. Как
15
Вычисления с этими объектами описываются вкратце, например, в работе автора в G ¨ott.
Nachr., 20 Mai 1927, S. 1–57.
16
Ср. Dirac, l. c., прим. 10 на стр. 135 и работу автора, l. c., прим. 14, стр. 136.
17
Ср. l. c., прим. 15, стр. 137.
18
Ср. l. c., прим. 14, стр. 136 и далее Dirac, Proc. Combr. Phil. Soc., 29 Oct. 1928. Шпур —
это сумма диагональных элементов матрицы; так как эта сумма инвариантна по отношению
к унитарным преобразованиям, то можно просто говорить о шпуре оператора безотносительно
к определенной полной ортогональной системе функций.
138 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
видно, знания его достаточно для описания смесей, причем нет нужды задавать отдельные состояния, из которых состоит смесь.
Кроме того, удобно ввести особое обозначение для оператора с матрицей x
и другое определение: P
ция). Тогда будет U =
оператором самого состояния ϕ.
∗
x
(xμ— вектор волновой функции ϕ): Pϕ. Легко верифицировать
μ
ν
f =(f, ϕ) ·ϕ (f — любая другая волновая функ-
ϕ
wnP
n
, в частности Pϕявляется статистическим
ϕ
n
4. Теперь мы можем непосредственно перейти к (квантовомеханической) формулировке эргодической теоремы. А именно, мы обсудим сначала
два подхода, которые хоть и не решают саму проблему, но, как нам кажется, проясняют и делают более прозрачными существующие здесь соотношения.
Классическая формулировка эргодической теоремы (точнее, квазиэргодической теоремы) звучит так: точка фазового пространства, изображающая систему, в своем движении (определяемом из дифференциальных
уравнений механики) сколь угодно близко приближается к любой точке
энергетической поверхности системы, при этом время, проводимое изображающей точкой в среднем за большой промежуток времени в какой-нибудь области энергетической поверхности, пропорционально объему этой
области.
19
Тем самым в случае заданного состояния статистические свойства временн´ого ансамбля (который получается усреднением каждой величины по всем временам) оказываются тождественными статистическим
свойствам его микроканонического ансамбля. Этот последний представляет собой смесь всех точек, изображающих систему, лежащих на энергетической поверхности, причем кускам поверхности равной площади (ср.
прим. 19, стр. 138) приписываются равные веса.
Пусть теперь в квантовомеханической формулировке H будет оператором энергии, ϕ
соответствующими собственными значениями. Состояние ψ =
, ...— его собственными функциями,20а W1,W2, ...—
1,ϕ2
n
an· ϕ
эволюционирует с течением времени t 0в смысле временн´ого диффе-
n
19
В качестве объема, как известно, здесь берется не (2f − 1)-мерная площадь энергети-
ческой поверхности, а 2f -мерный объем прилегающего к энергетической поверхности слоя,
т.е. интеграл от обратного градиента энергии по указанному куску поверхности. — На существенную (и часто недооцениваемую) разницу между двумя половинами приведенной в тексте формулировки квазиэргодической теоремы указывали П. и Т. Эренфесты (l. c.,прим.3на
стр. 133): вторая половина неизбежно необходима для обоснования статистической механики
Гиббса.
20
Точнее, некоторая полная ортогональная система, образованная из них, — система координат, в которой H — диагонален. (Мы предполагаем, что сплошной спектр отсутствует.)
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 139
ренциального уравнения Шрёдингера следующим образом:
=
ψ
t
2πi
t
W
n
h
ane
n
· ϕn=
an(t)ϕn.
n
Прежде всего, здесь надо теперь проанализировать несколько подробнее
понятие энергетической поверхности. Именно, с течением времени постоянными остаются все |a
дание энергии (H ψ
теризуют всю энергетическую статистику,
(t)|2= |an|2, а не только математическое ожи-
n
t,ψt
)=
|an(t)|2Wn.Посколькуэти|an(t)|2харак-
n
21
мы можем сказать так: закон
сохранения энергии классической механики переносится в квантовую механику не просто в форме сохранения только средних значений, но в форме сохранения распределения вероятностей энергии. Если бы мы определили квантовомеханическую «энергетическую поверхность», казалось бы,
естественным образом с помощью
|an|2Wn=const,тоосправедли-
n
вости эргодической теоремы не могло бы быть и речи — ведь существует
бесконечно много «интегралов движения» |a
лить, скорее, посредством |a
кает вопрос: будь a
= rn· e
n
|2=const1, |a2|2=const2, . . . Так возни-
1
iα
n
(rn 0, 0 αn< 2π), тогда энерге-
тическая поверхность состоит из всех ψ
(0 α
близко ко всем a
для всех n =1, 2, ...), и как велики будут «относительные времена пре-
бывания» в заданных α
ли
системе
< 2π). Подходят ли тогда an(t)=rn· e
n
W
n
t сколь угодно близко подходить для надлежащего t к произвольной
h
α
n
n
− α
n
(mod 1 для всех n =1, 2, ...), и каковы будут относитель-
2π
,т.е.
2π
Wnt + αn—кα
h
-интервалах? Мы можем спросить и так: будет
n
|2, |a2|2, ... Ее надо опреде-
1
=
a
· ϕnс a
n
n
2π
W
i
h
(конечно по mod 2π,причем
n
n
t+α
n
= rn· e
n
произвольно
iα
ные времена пребывания? Согласно теоремам Кронекера для выполнения
первой половины требования необходимой и достаточной является цело-
W
численно-линейная независимость
W
существует соотношения x
21
Например потому, что они, согласно (Hkψt,ψt)=
тические ожидания всех степеней энергии, т.е. все моменты ее статистики.
1
1
h
n
h
+ ...+ x
между собой, т. е. условие, что не
W
n
=0(n произвольно велико,
n
h
|an(t)|2W
n
k
, определяют матема-
n
n
140 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
но конечно; x1, ..., xnцелочисленны), если только не имеет места равенство x
случае времена пребывания также оказываются правильными, а именно,
они пропорциональны произведениям длин интервалов.
мулировке эргодическая теорема вытекает из того, что между термами
системы не имеется резонансов.
= ...= xn=0.22Из дальнейших теорем Вейля следует, что в этом
1
23
Итак, в этой фор-
24
W
h
Собственно, мы здесь потребовали даже слишком многого: действительно истинным, существенным для всех приложений, ядром эргодической теоремы является, как уже упоминалось выше, соответствие между
временн ´ым ансамблем и микроканоническим ансамблем, а вовсе не вопрос
о том, какой именно путь проделывает на энергетической поверхности точка, изображающая систему. Как мы знаем из п. 3, для этого необходимо
лишь соответствие между статистическими операторами этих двух ансамблей (их «настоящий» состав в отношении волновых функций здесь заведомо не может быть установлен).
Пусть теперь ψ
о том, что он один раз усредняется (при фиксированных α
(временн´ой ансамбль), а другой раз — при t =0по всем α
шем α
тор P
го, что ψ
на r
при m = n и r
вместо α
n
в виде матрицы в системе координат ϕ1,ϕ2, ... В силу то-
ψ
t
=
t
2π
i
(W
h
e
mrn
2
m
нении по t,должнобыть
имеет статистический оператор P
t
, т.е. микроканонический ансамбль). Запишем опера-
n
n
m−Wn
i
rne
)t+(αm−αn)
2π
W
h
t+α
n
n
· ϕn,егоm, n-компонента будет рав-
.Усредняяееповсемαl, получаем 0
, тогда речь идет
ψ
t
)повсемt
n
(мы пи-
n
при m = n. Чтобы тот же результат получился при усред-
2π
(Wm− Wn) =0,т.е.Wm= Wn,приm = n.
h
Это означает: вырождение должно полностью отсутствовать (условие намного более слабое, чем предыдущее!).
n
22
Ср. Kronecker,Ber.d.Preuß. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1884, S. 1071–1080, 1179–1193,
1271–1299.
23
Ср. Weyl, Math. Ann. 77 (1915).
24
Может показаться странным, что здесь фигурируют
с некоторой неточностью нашего рассмотрения. А именно, постоянный множитель (с моду-
W
n
h
,ане
Wm−W
h
n
, но это связано
лем 1) не имеет смысла для волновой функции ψ (например, он выпадает из статистического
оператора P
требования не на сами фазы
− W
1
относящиеся к собственным частотам
), поэтому мы должны были бы, собственно говоря, налагать указанные выше
ψ
)t +(αn− α1) (n =2, 3,...). Тогда мы снова получаем требования из текста, но уже
2π
Wnt + αn, но лишь на их разности, скажем, на
h
Wn−W
1
(n =2, 3,...).
h
2π
h
(Wn−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]