Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 121
например, с c1. Если затем объединить траектории в ∞
1
по ∞
траекторий каждый, то на двумерной поверхности, которую запол-
2n−2
ансамбли
няет каждый из этих ансамблей, будет наблюдаться то же самое «размешивание», что и раньше в двумерном Γ-пространстве, и в этом общем случае
будут применимы те же самые постулаты для поведения грубой плотности и величины Σ(t) при t =+∞, что и для системы с одной степенью
свободы.
Итак, анализ Кру действительно показывает, что при t =+∞ P лежит
ближе к эргодическому распределению (30),чемприt = t
к соответствующему значению Σ
этот результат, соответствующий утверждению (XV) в § 23d, с утверждением Гиббса (XV
) о том, что эргодическое распределение и значение Σ при-
209
; однако было бы ошибкой смешивать
,аΣ(t) —ближе
0
ближенно достигаются при t =+∞. В периодических системах, рассмат-
риваемых Кру, становится совершенно очевидно, что при переходе от (XV)
) необходима особая гипотеза наподобие эргодических гипотез.
к(XV
210
(См. замечания в § 23a, 23b.)
28. Дополнения к § 24 и § 25: аналогии к доступному для
наблюдения поведению термодинамических систем
и работы, примыкающие к сочинению Гиббса
Исследования П. Герца пытаются установить, есть ли физический
смысл в методе Гиббса, исходящего при рассмотрении термодинамического поведения системы из микроканонически или канонически распределенных ансамблей. Сначала Герц отклоняет канонический ансамбль как чисто формальную конструкцию, а вот за микроканоническим ансамблем, то
есть за введенным Больцманом и Максвеллом эргодическим распределением плотности на поверхности (см. (31)) он, напротив, признает физический смысл — на основании эргодической гипотезы. В соответствии с этим
он приходит к больцмановской теореме о тождестве средней кинетической
энергии для всех степеней свободы. Чтобы связать его с термодинамическим понятием теплового равновесия, Герц более подробно исследует, из
каких основных гипотез можно вывести оба следующих утверждения:
209
Расчет Кру даст, естественно, точно такие же результаты для t = −∞. Единственное
отличие t = t
интегрирование) предусматривает для пространственного колебания -распределения к моменту времени t = t
210
P. H e r t z ,¨Uber d. mechanischen Grundlagen der Thermodynamik. Ann. d. Phys. 33 (1910),
S. 225, 537.
от t = ±∞ состоит в том, что расчет (разложение в ряд Фурье и частичное
0
определенные ограничения, которые невыполнимы при t = ±∞.
0
122 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
A) «Теорема объединения»: если два тела перед соприкосновением обладали одинаковой кинетической энергией на каждую степень свободы, то
то же самое будет наблюдаться и после соприкосновения.
B) «Теорема разъединения»: если систему, состоящую из двух соприкасающихся тел, разложить на составные части, то у каждой части будет столько же кинетической энергии на каждую степень свободы, сколько
раньше приходилось на объединенную систему.
Доказательство второй теоремы требует очень глубоких предпосылок. Если мы воспользуемся методом Больцмана, то нам придется сделать,
прежде всего, следующую предпосылку: период времени, в течение которого в обеих частях связанной системы происходит распределение энергии
в соответствии с законом о равновесии живой силы, подавляюще велико
по сравнению с периодами времени, в которых такого распределения энергии нет.
211
В случае с идеальными газами можно вывести (естественно,
лишь при использовании эргодической гипотезы) подтверждение справедливости этой предпосылки, рассмотрев объемы соответствующих областей
Γ-пространства. Это ведет к расчетам, схожим с приведенными в § 12b вычислениями Больцмана. В иных случаях (например, с твердыми телами)
средств для соответствующих исследований не хватает. Вот на этой основе
Герц рассматривает затем более детально аналогии к термодинамике.
Во второй работе
212
П. Герц, ссылаясь на исследования Л. Орнштейна (Ornstein [1]) признает физический смысл и за распределенными кано-
нически ансамблями, а именно: 1) на основании соображений, вновь опирающихся на эргодические гипотезы и поэтому схожих с рассуждениями
Больцмана (1871), приведенными нами в § 25 к уравнению (78)
213
;2)на
основании аргументов, выдвинутых Гиббсом в главе XIV «Статистической
механики» (стр. 185–188 немецкого издания) в пользу предпочтения ка-
нонических ансамблей микроканоническим
214
: если нам дана эмпирически
некая система, например, тело определенной температуры, то его энергия
определена не точно, а лишь весьма приблизительно, и поэтому логичнее
сравнивать его поведение со средним поведением ансамбля систем, в котором представлены (с резко убывающей частотностью) и соседние значения
энергии.
211
Относительно точной формулировки предпосылок следует сослаться на §§ 5–8 оригиналь-
ного сочинения.
212
P. H e r t z ,¨Uber d. kanon. Gesamtheit. Versl. Amsterdam 24.XII.1910.
213
Boltzmann [4] гл. III. Аналитический аппарат Герца, однако, иной, чем у Больцмана. Особо следует отметить у Герца переход от «квазиканонического» к «каноническому» ансамблю:
замену выражения h(E
чений от (E − E
214
На них ссылается и Van der Waals jr. Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 185.
0
).
− E) на e
0
−h(E−E0)
для единственно возможных, очень малых зна-
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 123
Л. Орнштейн
215
рассматривает аналогичные вопросы. При этом следует подчеркнуть: 1) его критическое отношение к эргодической гипотезе и, соответственно этому, введение микроканонического ансамбля не как
единственно возможного, а лишь как наипростейшего стационарного ансамбля; 2) некоторые замечания о свойствах ансамбля систем, которые накапливаются по несколько иному закону, чем канонические ансамбли, около
поверхности наиболее вероятной полной энергии, например, с плотностью,
пропорциональной
−(E−E0)2k
e
216
А. Эйнштейн
«Статистической механики» Гиббса. В своей работе по электронной теории металлов П. Дебай
обсуждает взаимосвязь основ своего сочинения и основ
217
пользуется представлениями Гиббса. При опре-
вместо e
−(E−E0)k
.
делении меры энтропии он прибегает к комбинаторному методу и оперирует распределением большого конечного числа газовых изображающих точек в Γ-пространстве газа так же, как Больцман оперирует распределением
изображающих точек в μ-пространстве молекул.
зовой смеси он своеобразным способом приходит к перестановке однородных молекул
218
— с учетом критики Планка (§ 24d) гиббсовых постулатов
217a
При этом в случае га-
для энтропии.
Полного исследования логического соотношения между определением
энтропии по Больцману и различными постулатами Гиббса
219
в настоящее
время не существует. В системе с очень большим количеством степеней
свободы различные утверждения Гиббса об энтропии становятся эквивалентны
пии — в том, что энтропия состояния совпадает с логарифмом «вероятности» этого состояния.
стояние» лишь через общую энергию E и значения параметров r
220
друг другу и, к тому же, схожими с больцмановской мерой энтро-
221
Однако при этом Гиббс характеризует данное «со-
,...,rm.
1
Соответственно, относительная вероятность двух «состояний» измеряется
215
L. S. Ornstein, Some remarks on the mechan. foundation of thermodynamics, Proc. Amsterdam.
28.I.1911 и 25.II.1911.
216
A. Einstein, Ann. d. Phys. 34 (1911), p. 175.
217
P. D e b y e , Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 441.
217a
Об этом см. A. Einstein [2] § 7.
218
Об этом вопросе см. также Gibbs, Statist. Machanik, гл. XV.
219
Gibbs, Statist. Machanik, гл. XIV. В гиббсовом обозначении функции η, log V и Φ.Отно-
сительно
ны
меру энтропии, которую Гиббс обозначает как Φ. Функция Φ определена уравнением [Statist.
η см. прим. 161.
220
В случае идеального газа можно убедиться в этом, непосредственно определяя величи-
η, log V и Φ.
221
Для подтверждения справедливости этого и следующего замечаний рассмотрим сначала
124 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
через относительное количество фазовых точек, дающих при определенных значениях параметров r
,...,rmзаданную общую энергию E.Тоесть
1
кэтимточкампричисляютсябез различия не только фазовые точки, дающие тепловое равновесие, но и точки, дающие какое угодно неравновесие.
Больцман же характеризует данное «состояние» газа значительно подробнее, а именно: не только через значения r
,...,rm, но и через конкрет-
1
ное указание Z-распределения состояний (§ 12а), которым должны обладать молекулы. В соответствии с этим Больцман измеряет относительную
вероятность двух состояний с помощью относительного количества фазовых точек, удовлетворяющих этой узкой характеристике состояний. Теперь
становится понятным, почему в случае равновесия (при рассмотрении обратимых процессов) больцмановскую меру вероятности и, тем самым, меру
энтропии можно заменить на гиббсовы меры вероятности и энтропии.
Объяснение этому заключается в том, что, как показал Больцман (см. § 13),
подавляющее большинство всех Γ-точек соответствует тепловому равновесию. Эта замена наверняка сможет во многих случаях существенно упростить расчеты. С другой стороны, однако, очевидно, что гиббсовы меры
энтропии не в состоянии заменить больцмановскую меру энтропии при
рассмотрении необратимых процессов в изолированных системах, так как
они объединяют все без различия начальные состояния неравновесия с конечными равновесиями. Остается показать, как можно добиться соответствующей доработки гиббсовых представлений, например, путем введения
параметров распределения состояний в показатель степени канонического
распределения плотности — аналогично тому методу, с помощью которого Гиббс ввел в показатель степени плотности и другие дополнительные
условия «состояния».
222
Mechanik, уравнение 226]
Φ=log
где V (E) — см. там же уравнение 265 — обозначает объем тех областей Γ-пространства, для
которого полная энергия газа меньше или равна E. Теперь заметим, что
V (E + dE) − V (E)
измеряет объем бесконечно малой «оболочки энергии» и получим с помощью простого соображения (см. прим. 74 и 82) теорему: величина
приходится при эргодическом распределении поверхностной плотности (31) (§ 10b) на соответствующую значению энергии E поверхность энергии в Γ-пространстве. Для гиббсовой
меры энтропии Φ теорема, сформулированная в основном тексте, действительно, справедлива. Далее следует лишь обдумать, почему в системе с очень большим количеством степеней
свободы обе другие меры энтропии
222
(См. прим. 180.) В связи с этим следует упомянуть одну своеобразную статистико-механи-
ческую проблему, возникающую при вопросе (касающемся, к примеру, фотохимических или
η и log V почти совпадают с Φ.
dV
,
dE
dV
измеряет общую массу G-точек, которая
dE
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 125
29. Дополнение к § 26: заключительное замечание
Применение лишь эргодических распределений ансамблей ведет — как
мы уже упоминали — к серьезным противоречиям опыту, поскольку из него
прямо следует теорема о совпадении средней кинетической энергии для
всех степеней свободы, независимо от их природы. В последнее время эти
противоречия особенно резко бросаются в глаза в связи с проводимыми
В. Нернстом и его учениками исследованиями удельной теплоты твердых
тел при низких температурах
распределения излучения черного тела показал, что при сравнении светового резонатора высокой частоты со световым резонатором низкой частоты на второй резонатор в среднем приходится больше энергии и что световые резонаторы удовлетворяют теореме о равномерном распределении
энергии лишь при очень высоких температурах или очень низких часто-
224
тах.
С другой стороны, Эйнштейн
дого тела при понижении температуры начинает отклоняться от закона Дюлонга – Пти и стремится понизиться до нуля. Эйнштейн установил взаимосвязь между обеими областями, предположив, что распределение энергии
между включенными в тепловое колебание атомами различных твердых
тел происходит в точно такой же пропорции, что и распределение между
термоэлектрических процессов) о том, какие статистические и, следовательно, термодина-
мические особенности отличают стационарные необратимые процессы от нестационарных.
Больцман показал, что макроскопические дифференциальные уравнения распределения температуры, давления и т. д. можно вывести и в этом случае из H-теоремы, добавив к ней условие стационарности явно (см., например, Boltzmann, Gasthoerie I, S. 144, уравнение B
=0], и затем это замечание было использовано, по крайней мере, частично, в кинетической
теории термоэлектрики (см. H. A. Lorentz, Theory of Electrons, Leipzig 1909, p. 271]. И напротив, до сих пор остался нерассмотренным вопрос, неизбежно возникающий при следовании
идеям Больцмана: если рассматривать необратимый процесс, самопроизвольно переходящий
при постоянных внешних условиях от нестационарности к стационарности, то можно ли на-
звать возникающее в результате распределение состояний в каком-то смысле «наиболее вероятным» и обозначить его через минимум какой-либо функции, которая могла бы считаться
обобщением функции H? (Здесь, как и в случае равновесия, несомненно
рактеризовать стационарность при помощи какого-либо относительного минимума от H представляется затруднительным.) Похожая термохимическая проблема рассмотрена В. Нернстом
(W. Nernst, Das Dissioziationsgleichgewicht im Temperaturgef¨alle, Boltzmann-Festschrift, Leipzig
1904, S. 904.
223
W. Nernst, Berl. Ber., 1910, p. 262; 1911, p. 306; F. A. Lindemann, ibid.,p.316.
224
См. V23, § 6. При синусоидальных колебаниях среднее по времени значение потенциальной энергии равно среднему по времени значению кинетической энергии. Итак, теорема
о равномерном распределении кинетической энергии сразу же определяет для соответствующих колебаниям степеней свободы и полное содержание энергии.
225
A. Einstein, Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen W¨arme.
Ann. d. Phys. 22 (1907), p. 180, 800. См. также O. Sackur, Ann. d. Phys. 34 (1911), p. 455.
223
: еще теоретический анализ спектрального
225
указал, что удельная теплота твер-
dH
=0.Однакооха-
dt
(ϕ)=
1
126 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
системами световых резонаторов различной частоты. Атомы одного и того же тела колеблются при этом с определенной частотой вокруг своих
положений равновесия, обусловленных массой атомов и модулем упругости тела.
226
Измерения Нернста вплоть до 23◦абсолютной температуры
представили многочисленные доказательства, подтверждающие предположение Эйнштейна о параллелизме. Прежде всего, они доказали утверждение о том, что удельная теплота твердых тел при приближении к T =0
имеет ярко выраженную тенденцию понижаться до нуля.
Статистико-механическая теория теплового равновесия может объяснить этот факт, наверное, лишь при переходе от рассмотрения эргодических
распределенных ансамблей систем к рассмотрению таких распределений
в Γ-пространстве, при которых отчетливо наблюдается неравнозначность степеней свободы весьма различной природы. Единственная разрабо-
танная в этом направлении попытка перехода представлена в планковской
теории излучения черного тела
227
и затем без каких-либо изменений применена Эйнштейном к тепловым колебаниям в твердых телах. Однако потребуется еще не одно экспериментальное и теоретическое исследование,
чтобы выяснить, какие общие неэргодические ансамбли ведут к реализованным в природе распределениям энергии
няются аналогии ко второму началу термодинамики
226
Если вес атома незначителен, то в общем случае следует ожидать более высокую частоту,
а значит, уже при обычной температуре очень малую удельную теплоту; при большем весе
атома — лишь в области очень низких температур.
227
V23 (W. Wien), § 4. Предположение Планка о том, что резонатор с частотой ν может обнаруживать лишь количества энергии, кратные элементарному кванту hν (h здесь универсальная
постоянная), доказывает, что фазовая точка системы резонаторов различной частоты не может
попасть в любую точку соответствующего Γ-пространства, а только в точки определенных
дискретно лежащих областей из многообразия меньшей размерности, причем эти области лежат с неодинаковой плотностью по отношению к различным координатам Γ-пространства;
наименее плотно там, где координаты и импульсы резонаторов соответствуют наибольшему
числу колебаний. (Доказательство того, что равномерное -покрытие этих областей Γ-пространства остается стационарным — аналог теоремы в § 9d, — у Планка отсутствует, так как
он оставляет механизм, с помощью которого резонатор скачкообразно изменяет свое энергосодержание, нерассмотренным.)
228
В. Нернст и Ф. А. Линдеман (W.Nernst, F. A. Lindemann, Berl. Ber. 1911, p. 494) обсуж-
дают отклонения от постулата Эйнштейна. П. Эренфест (P. E h r e n f e s t , Welche Rolle spielt die
Lichtquantenhypothese in der Theorie der W¨armestrahlung? Ann. d. Phys. 36 (1911), p. 91) исследует возможность обобщения гипотезы Планка в области теплового излучения.
228a
Доказывая, что δQ : T является полным дифференциалом, Больцман и Гиббс всегда кладут в основу расчета эргодически распределенные ансамбли систем. Лишь в связи с критикой
теории моноциклических аналогий Гельмгольца (см. § 24e) Больцман приводит некоторые специальные примеры и неэргодически распределенных ансамблей систем, чтобы показать, что
для них аналогий с термодинамикой в общем случае не существует. С учетом проблемы теплового излучения П. Эренфест создает (Журн. русск. физ. общ-ва 43 (1911)) очень общий класс
228
и для каких из них сохра-
228a
и, в особенности,
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 127
связь энтропии и «вероятности». С этой точки зрения особого внимания
заслуживает прием, которым систематически пользуется Эйнштейн: придерживаясь в общем соотношения
энтропия = логарифм «вероятности»,
он рассчитывает, в противовес больцмановскому методу, относительную
«вероятность» двух состояний из экспериментально определенного течения энтропии. Таким образом, он рассчитывает — каждый раз истолковывая по-иному понятие «вероятность» — временн ´ые или иные средние значения параметров состояния. В тех случаях, где согласно опыту наблюдается
нарушение теоремы о равномерном распределении кинетической энергии,
этот метод существенно выходит за сферу действия метода Больцмана.
229
За последнее время значительно усовершенствовались экспериментальные предписания для измеряющего и, в особенности, прямо подсчитывающего(!) исследования физических эффектов средних значений.
реносом статистических методов наблюдения на постоянно расширяющийся круг физических явлений
231
возрастает методическое значение стати-
230
Спе-
стического эксперимента для общефизических исследований. Замечание
распределенных не эргодически ансамблей, для которых сохраняется соотношение δQ : T =
= δ log W .
229
A. Einstein, Zum gegenw ¨art. Stand des Strahlungsproblems, Phys. Ztschr. 10 (1909), p. 195, § 6.
230
Кроме цитируемых в § 26 работ Ж. Перрена, Э. Регенера, Э. Рутерфорда и Х. Гейгера сле-
дует отметить следующие, интересные с точки зрения методики, исследования: E. Rutherford,
H. Geiger, Probability variations in the Emission of α-particles. Phil. mag. 20 (1910), p. 698;
H. Geiger, E. Mardsen, Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 7; Th. Svedberg, Nachweis der von der kinetischen
Theorie geforderten Bewegung gel¨oster Molek ¨ule, Ztschr. f. physik. Chemie 74 (1910), p. 738; Neue
Methode z. Pr ¨ufung der G ¨ultigkeit des Boyle – Gay-Lussacschen Gesetzes f¨ur kolloide L ¨osungen, l.
c. 73 (1910), p. 547; 77 (1911), p. 145. Далее работы, названные в прим. 232, а кроме того, разработанный Миликаном (Milikan, Das Isolieren eines Ions. . . , Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 1097)
метод наблюдения дает совершенно новый инструмент для молекулярно-статистических подсчетов.
231
Кроме названных в § 26 (прим. 196, 201, 202) областей и явлений радиоактивного рас-
пада следует дополнительно указать:
Диффузное рассеивание света через молекулы. Оно наблюдается лишь при случайных
отклонениях пространственного распределения молекул от обычного решетчатого порядка.
L. Mandelstam, Phys. Ztschr. 8 (1907), p. 608; 9 (1908), p. 308, 641; M. Planck, ibid. 8 (1907),
p. 906; 9 (1908), p. 354; R. Gans, H. Happel, Ann. d. Phys. 29 (1909), p. 277; H. A. Lorentz, Proceed.
Amsterd. 25.VI.1910; A. Einstein, Ann. d. Phys. 34 (1911).
Магнитное и электрическое двойное преломление в жидкостях, что объясняется наличием в суспензии микроскопических кристаллов, параллельное ориентирование которых
затруднено из-за теплового движения. A. Cotton, H. Mouton, Bull. soc. de phys. (1910), p. 189;
P. Langevin, Le Radium 7 (1910), p. 249; O. M. Corbino, Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 756.
Гипотеза дискретной пространственной структуры полей излучения. A. Einstein, Ann.
d. Phys. 17 (1905), p. 132; 20 (1906), p. 199; Phys. Ztschr. 10 (1909), p. 185, 817; J. Stark,Phys.
Ztschr. 10 (1909), p. 902; 11 (1910), p. 25; A. Joffe, Ann. d. Phys. 36 (1911); E. v. Schweidler, Phys.
128 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
Э. фон Швейдлера (1905)
232
в значительной мере способствовало проявлению интереса физиков к экспериментальному определению относительной
частоты, с которой какой-либо параметр отклоняется от своего «наиболее
вероятного» значения. Именно фон Швейдлер указал на то, что из дис-
персии параметра можно заключить, складывается ли соответствующий
физический эффект из некоторого конечного числа однородных, независимых друг от друга отдельных эффектов, и если да, то каково их число.
Этот метод схож с методом демографической и биологической статистики,
который (как это сделали В. Лексис и К. Пирсон) использует дисперсионные величины как критерий «несвязанности» отдельных явлений.
233
Некоторые термины и формальные вспомогательные средства, разработанные
в этих областях, пока еще ждут своего переноса на область физической
статистики.
234
И наоборот, следует ожидать, что как раз физическая ста-
тистика покажет пример всем остальным областям статистики по причине
Ztschr. 11 (1910), p. 225, 614; N. Campbell, Cambr. Phil. Soc. Proc. 15 (1909), p. 310, 513. Критика
гипотезы у M. Planck, Ann. d. Phys. 31 (1910), p. 758.
Изменение направления движения α-частиц при прохождении через материю.
H. Geiger, Lond. Roy. Soc. Proc. A, 81 (1908), p. 174; 83 (1909), p. 492.
В этой связи следует назвать и более современные исследования о термомеханическом
поведении сильноразреженных газов. Ряд экспериментальных работ: M. Knudsen, Ann. d.
Phys. 28 (1909), p. 75, 999; 29 (1909), p. 179; 31 (1910), p. 205, 633; 32 (1910), p. 809; 33 (1910),
p. 1435; 34 (1911), p. 593, 823; 35 (1911), p. 389. Теоретические работы: M. v. Smoluchowski,
Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 1559; 34 (1911), p. 182; Phil. mag. 21 (1911), p. 11; P. D e b y e,Phys.
Ztschr. 11 (1910), p. 1115. Здесь речь идет о механических и термических особенностях, возникающих, когда газ разрежен настолько, что путь, который молекула проделывает, не встречая
препятствий, в среднем уже сопостав ´им с размерами сосуда.
232
E. v.Schweidler, Int. Congr. de Rad., Li`ege, 1905; K. W.F. Kohlrausch, Wien. Ber. 115 (1906),
p. 673. (Приложение к определению числа α-частиц, которые один грамм радия излучает за секунду; их прямой подсчет удалось осуществить позже, см. прим. 197.) Подробное обсуждение
всех относящихся к этой теме вопросов см. у N. Campbell, Cambr. Phil. Soc. Proc. 15 (1909),
p. 117, 310, 513 «The study of discontinuous phenomena». Также см. Phys. Ztschr. 11 (1910),
p. 826; E. v. Schweidler, Zur experimentellen Entscheidung d. Frage nach d. Natur d. γ-Strahlen.
Phys. Ztschr. 11 (1910), p. 225, 614; E. Meyer, Struktur der γ-Strahlen. Berl. Ber. Juni 1910.
233
W. Lexis, Einleit. in Theorie d. Bev¨olkerungs-Statistik (Strassburg 1875); Massenerschein. in der
menschl. Gesellschaft (Freiburg i. Br. 1877); Abhandlungen zur Theorie d. Bev ¨olker. u. Moral-Statistik (Jena 1903); L. Bortkiewicz, Das Gesetz d. kleinen Zahlen (Leipzig 1898);¨Uber den Pr¨azisionsgrad des Divergenzkoeffizienten (Mitteil. d. Verbandes d. ¨osterr. Versich.-Techniker, Heft V, Wien
1901); K. Pearson, On the criterion, that a given system of deviations . . . has arisen from random
sampling. Phil. mag. [5] 50 (1900). Далее работы Пирсона и его учеников в Zeitschrift Biometrica
(Cambridge). Ср. ID 4а: L. Bortkiewicz, Anwend. d. Wahrscheinlichkeitsrechn. auf Statistik.
234
Так, например, коэффициент корреляции Гальтона – Пирсона, см. G. F. Lipps, Bestimmung
d. Abh¨angigkeit zwischen den Merkmalen eines Gegenstandes (Ber. d. s¨achs. Ges. d. Wiss.
1905). Далее формальный аппарат для обработки многочисленных статистических систем, см.
H. Bruns, Wahrsch.-R. u. Kollektivmasslehre, Leipzig 1906. Ср. также расчеты H. Bateman,On
the probability-distribution of α-particles, Phil. mag. 20 (1910), p. 704 с расчетами L. Bortkiewicz,
Gesetz d. kleinen Zahlen, Leipzig 1898.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 129
относительной простоты отдельного явления, определенности условий эксперимента и, прежде всего, легкости, с которой она собирает огромные
объемы разнообразных массовых наблюдений.
235
30. Дополнение к § 19: Проблема аксиоматизации
кинетической статистики
Удовлетворительной характеристики сходства и различий между «вероятностными гипотезами», с одной стороны, и прочими естественнонаучными гипотезами, с другой стороны, видимо, до сих пор не существует.
Обычно естественнонаучные гипотезы состоят в утверждении, что определенная абстрактная система определяемых аксиом и теорем дает (достаточно точное) отображение конкретного явления. Почти так же дело обстоит
и с «вероятностными гипотезами»; и они противопоставляют конкретному
явлению определенную абстрактную схему (комбинаторные схемы игрального кубика, урны и т.д.). Однако характер отображения здесь существенно
иной: здесь одному конкретному явлению E
целое семейство S
различных событий в абстрактной схеме. Вчемтогда
I
должна состоять экспериментальная проверка «вероятностной гипотезы»? Можно проверить, совпадает ли действительно наблюдаемое E
статочно точное) с «наиболее вероятным» событием в семействе S
можно пронаблюдать явление E
верить, совпадает ли наступление E
,состоящееизnIповторений EI, и про-
II
(достаточно точное) с «наиболее ве-
II
роятным» типом в соответствующем комбинаторном семействе S
ящем из семейств S
из n
из семейств S
повторений EII, и соответствующему семейству S
II
II
. Также можно перейти к явлению E
I
, и т. д. Таким образом, к физическому явлению определен-
ного вида (например, испускание α-частиц радием) можно приступить
с «экспериментами и гипотезами первого, второго, третьего, ..., k-го
порядка».
235
H. Geiger, Phil. mag. 20 (1910), p. 698; Th. Svedberg, Ztschr. f. phys. Chemie 77 (1911), p. 145.
236
дает пример перехода от гипотезы определенного порядка к гипотезе более высокого порядка;
именно таков переход от «постулата о числе столкновений» к «гипотезе молекулярного хаоса»
(см. § 18). В связи с этим см. L. Bortkiewicz,¨Uber den Pr¨azisionsgrad des Divergenzkoeffizienten
(см. прим. 233), где исследуется дисперсия дисперсии. Сюда же относится и ироничное замечание Пуансо об исследованиях Пуассона «apres avoir calcule la probabilite de l‘erreur dans une
certaine chose, il faudrait calculer la probabilite de l‘erreur dans son calcul» («вычислив вероятность ошибки для какой-то величины, видим, что необходимо вычислять вероятность ошибки
нашего вычисления»).
236
В каком логическом соотношении находятся гипотезы k-го
Техника подобных физических массовых наблюдений обсуждается E. Rutherford,
Дальнейшее развитие H-теоремы, вызванное парадоксами обратимости и возврата (§ 14),
всегда противопоставляется
I
I
.Далее
I
,состо-
II
,состоящему
III
,состоящему
III
(до-
130 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
и (k +1)-го порядка (HKи H
дующее: какой-либо, с точки зрения гипотезы H
рительный исход эксперимента E
только допустим — гипотеза H
вторениях эксперимента E
бый исход наступал с определенной частотой. Если мы продолжим развивать эту мысль, то натолкнемся на сложности
)? Примечательно, во всяком случае, сле-
K+1
будет с точки зрения гипотезы H
K
, скорее, потребует,чтобыприnKпо-
K+1
, составляющих эксперимент E
K
, особенно неудовлетво-
K
237
, которые можно замаски-
,этотосо-
K+1
K+1
не
ровать многими способами и удовлетворительного анализа которых пока
еще нет. Пока речь идет о допустимости (весьма вероятных) малых отклонений от «наиболее вероятного», контраст между «вероятностными гипотезами» и прочими естественнонаучными гипотезами едва ощутим: оба
вида гипотез носят характер аппроксимации. Иначе дело обстоит, когда серьезно рассматривается вопрос о допустимости произвольно больших отклонений от «наиболее вероятного». Здесь становится видимым контраст:
физик спросит, следует ли ему учесть эти сильные отклонения от «наиболее вероятного» в создаваемой картине явления. В известном случае Больц-
238
решился на это безоговорочно: он недвусмысленно допускает случаи
ман
спонтанного убывания энтропии. Напротив, Планк
239
принимает в тех же
самых случаях прямо противоположное решение и обобщенно подчеркивает: физик имеет право исключить с помощью особой физической гипотезы
слишком сильные отклонения, которые способны нарушить общепринятую
однозначность макроскопического течения явления (см. § 15).
240
Как пра-
вило, физик постарается избежать определенного решения: он просто за-
237
Формулировку подобных сложностей с помощью термина «гипотеза первого, второго, . . . ,
k-го порядка» можно найти у Т.Эренфест, Применение теории вероятностей к закономерным
явлениям. Журн. русск. физ. общ-ва 43 (1911), стр. 256.
238
См. цитируемые в §17 высказывания Больцмана.
239
M. Planck, Acht Vorlesungen ¨uber theoret. Physik (Leipzig 1909): Третья лекция. «Особая
физическая гипотеза», которую вводит Планк для исключения спонтанного возникновения
видимого убывания энтропии — он называет ее гипотезой «элементарного хаоса» — состоит
в следующем утверждении: число происходящих в реальном газе столкновений никогда заметно не отклоняется от «постулата о числе столкновений» (см. § 18). Та же гипотеза, которую
мы обозначили в § 18 в как «гипотезу молекулярного хаоса», допускает подобные отклонения.
240
Ср. эту точку зрения Планка с точкой зрения D’Alembert, Doutes et question sur le calcul
des probabilit´es (M´elanges de lit´erature, d’histoire et de philosophie. Т. V, Amsterdam 1770) на
существование весьма невероятных последовательных выигрышей в лотереях. (Обсуждение
см. в J. v. Kries, Prinzip d. Wahrsch.-R. Freiburg i. Br. 1886, p. 278 и H. Bruns, Wahrsch.-R. u.
Kollektivemasslehre, Leipzig 1906, p. 217.) Этой точкой зрения впоследствии неоднократно
пользовались; в последний раз K. Marbe, Naturphilosophische Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitslehre (Leipzig 1899). Разработки Марбе критиковали W. Lexis, Abhandl. z. Theorie d.
Bev¨olk.-Statistik (Jena 1903), p. 222; L. Bortkiewicz, Wahrsch.-Theorie u. Erfahrung, Ztsch. f. Philos. u. Kritik. 121 (1902); G. F. Lipps, Theorie d. Kollektivgegenst¨ande, Philos. Studien (Wundt) 17
(1901), p. 116, 575. ibid., p. 462, ответ Марбе.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]