Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
Информационная энтропия в задачах
классической и квантовой
статистической механики
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
Так как информационная энтропия Больцмана – Гиббса – Шеннона не
меняется в ходе эволюции как классической, так и квантовой систем (см.,
например, [3, 6–8], а также обсуждение ниже), то для некоторых состояний
она может не совпадать с энтропией феноменологической термодинамики. Однако, согласно общепринятой точке зрения, информационная энтропия гиббсовского (канонического или микроканонического) состояния как
квантовой, так и классической системы совпадает с термодинамической энтропией равновесного состояния.
В этом сообщении рассматривается обобщение информационной энтропии — «информационная энтропия относительно множества F наблюдаемых», или, короче, F -энтропия; ее частными случаями являются так
называемая грубая энтропия (см. [3, 6]) и энтропия макроскопического состояния
Неймана (русский перевод этой работы помещен в качестве дополнения
в книге [4]). При этом F-энтропия произвольного состояния системы определяется как информационная энтропия порождаемого этим состоянием
некоторого не обязательно равновесного состояния (ансамбля), аналогичного микроканоническому. В техническом отношении определение такого
ансамбля похоже на определение аналогичного каноническому так называемого квазиравновесного состояния (порождаемого множеством значений
наблюдаемых из некоторого конечного их семейства F ), рассмотренного
в работах Д. И. Зубарева и его соавторов (см. [6] и имеющиеся там ссылки).
Тем не менее, в идейном отношении понятие F -энтропии существенно отличается от понятия энтропии квазиравновесного состояния, так как F -энтропия определяется для произвольного состояния системы, которое не
2
, использовавшаяся (со ссылкой на Ю. Вигнера) в работе [10] фон
1
Доклады РАН, 2006, т. 411, № 5, с. 587–590.
2
Фактически являющаяся специальным случаем грубой энтропии.
1
222 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
обязано быть квазиравновесным (определения всех встречающихся здесь
понятий приводятся ниже). В этой связи стоит отметить, что ни грубая энтропия, ни энтропия макроскопического состояния из работы [4] не являются частными случаями энтропии квазиравновесных состояний в смысле
работы [6].
Основной нашей целью является исследование (достаточных) условий стабилизации F -энтропии при возрастании времени. Так как при этом
предполагается, что эволюция системы описывается уравнением Лиувилля (классическим или квантовым), инвариантным относительно обращения
времени, то эти же условия являются условиями стабилизации F -энтропии при t →−∞. При этом пределы (далее они понимаются в смысле
Чезаро) F -энтропии при t →∞иприt →−∞совпадают. Стоит отме-
тить, что эти пределы могут быть как больше, так и меньше ее начальных
значений
3
; последнее возможно в случае, когда F -энтропия начального состояния больше F -энтропии равновесного микроканонического состояния
(это возможно, так как микроканоническое состояние зависит от выбранного гамильтониана).
1. Определения и предварительные сведения. Состояние классической гамильтоновой системы отождествляется с вероятностной борелевской мерой на ее фазовом пространстве; при этом предполагается, если
не оговорено противное, что эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, определяемой симплектической структурой фазового пространства. Ограниченная классическая наблюдаемая отождествляется с измеримой ограниченной функцией на фазовом пространстве системы. При
этом предполагается, что если ν и f — состояние и наблюдаемая гамильтоновой системы, тоf(x)ν(dx) — среднее значение результатов измерений наблюдаемой f, производимых на независимых копиях гамильтоновой
системы, каждая из которых находится в состоянии ν (т. е. принадлежит
соответствующему ансамблю).
Состояние квантовой системы отождествляется с (= задается) любой
вероятностной борелевской мерой на комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве системы, обладающей ковариационным оператором,
совпадающим с оператором плотности фон Неймана
4
. Ограниченная квантовая наблюдаемая отождествляется с ограниченным самосопряженным
оператором в том же гильбертовом пространстве. При этом предполагается,
что если ν — состояние квантовой системы и A — ограниченная квантовая
наблюдаемая, то(Ax, x)ν(dx) — среднее значение результатов измерений
3
При этом стремление к пределу может не быть монотонным.
4
Стоит отметить, хотя этот факт далее и не используется, что среди этих мер существует
в точности одна гауссова мера с нулевым средним.
ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ 223
наблюдаемой A, производимых на независимых копиях квантовой системы, каждая из которых находится в состоянии ν,такчто(Ax, x)ν(dx)=
=trAT , где T — корреляционный оператор меры ν,т.е.операторплотно-
сти фон Неймана (T =(x ⊗x)ν(dx)). Из сказанного, в частности, вытекает постулат фон Неймана о связи наблюдаемых и состояний с результатами
эксперимента.
Всякой вероятностной мере ν, задающей состояние квантовой си-
стемы, можно сопоставить вероятностную меру ν
на том же гильбер-
1
товом пространстве, описывающую ансамбль идентичных квантовых систем, находящихся в чистых состояниях, статистика результатов любых
экспериментов над которым совпадает со статистикой таких же экспериментов над исходной системой. Именно, пусть, для каждого борелевского подмножества B гильбертова пространства, ν
(Ax, x)
да(Ax, x)ν(dx)=
ν1(dx). Конечно, мера ν1также определяется
2
x
(B)=
1
x2ν(dx);тог-
B
отнюдь не единственным образом.
Множество всех состояний рассматриваемой классической или квантовой системы обозначается через R. Для каждого состояния r ∈Rсимвол S(r) обозначает его информационную энтропию. Напомним, что если μ и ν — (счетно-аддитивные неотрицательные) меры на измеримом пространстве (Ω, B),причемν(Ω) = 1 (т. е. ν — вероятность) и ν абсолютно
непрерывна относительно μ, то информационной энтропией меры ν относительно μ называется число S(ν, μ), определяемое равенством S(ν, μ)=
dν
dν
ln
= −
dμ
Ω
dμ. В частности, пусть множество Ω счетно, B —множество
dμ
всех его подмножеств и μ —считающаямеранаB; тогда информационная энтропия S(ν) меры ν — это информационная меры ν относительно μ,
т. е. S(ν)=S(ν, μ).
Для квантовой системы среди вероятностных мер, задающих состояние r,существуетмера
, носителем которой является множество {en}
r
нормированных собственных векторов оператора плотности T , задающего
состояние r; при этом информационная энтропия S(r) этого состояния —
это, по определению, информационная энтропия меры
= −tr T ln T = −
)lnr(en).
r(en
,такчтоS(r)=
r
Если рассматриваемая система является классической и вероятностная
мера ν на фазовом пространстве, задающая ее состояние, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега μ на фазовом пространстве, порождаемой его канонической симплектической структурой, причем ρ
— плотность
r
меры ν относительно μ, то информационная энтропия S(ν) этого состоя-
224 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
ния — это информационная энтропия меры ν относительно μ,т.е.S(ν)=
= −
ρr(x)lnρr(x)μ(dx).
Q×P
2. Определение энтропии. Пусть, для каждого состояния ν квантовой
или классической системы и каждого множества F ее ограниченных наблюдаемых, символ R
ляемое так: ρ ∈R
В классическом случае для каждого ε>0 и E>0 символ R
обозначает подмножество множества R
(F, ν) обозначает подмножество множества R,опреде-
1
(F, ν) ⇔∀f ∈ F f, ν = f,ρ.
1
(F, ν), состоящее из состояний,
1
Eε
(F, ν)
представляющих собой вероятностные меры, сосредоточенные на окрестности множества {(q, p): E −ε H(q, p) E + ε}.
В квантовом случае тот же символ R
ство множества R
(F, ν), состоящее из состояний, задаваемых операто-
1
Eε
(F, ν) обозначает подмноже-
рами плотности, области значений которых являются подпространствами
линейной оболочки множества собственных векторов оператора Гамильтона, соответствующих собственным значениям, содержащимся в отрезке
[E −ε, E + ε].
Далее предполагается, что ε>0 и E>0 выбраны и фиксированы
ивместосимволаR
Eε
(F, ν) используется символ R(F, ν).
Определение 1. Пусть F — подмножество множества всех ограничен-
ных наблюдаемых квантовой или классической системы. Тогда F -энтропией состояния ν ∈Rназывается число S
(ν)=sup{S(r): r ∈ R(F, ν)}.
S
F
(ν), определяемое равенством
F
Замечание 1. Верхняя грань в правой части последнего равенства достигается на некотором состоянии r
, являющемся аналогом квазиравно-
ν
весного состояния из [6]. Связь между квазиравновесным состоянием и состоянием r
каноническим состояниями, так что состояние r
аналогична связи между (гиббсовским) каноническим и микро-
ν
, на котором достигается
ν
верхняя грань в равенстве из определения 1, естественно называть F -квазиравновесным микроканоническим состоянием (порожденным состоянием r). Таким образом, согласно определению 1, F -энтропией произвольного состояния ν называется информационная энтропия порожденного им
F -квазиравновесного микроканонического состояния r
. В частности, если
ν
само состояние ν является F -квазиравновесным микроканоническим состоянием, то r
= ν иегоF -энтропия совпадает с его информационной
ν
энтропией. Отметим еще, что если множество F содержит один элемент G,
то S
(ν)=SF(μ), если величины G(ν) и G(μ) имеют одинаковый знак
F
или обе одновременно равны нулю; если G(ν) > 0 для всех допустимых ν,
то общее значение величин S
(ν) обозначается символом SF.
F
ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ 225
Замечание 2. В том случае, когда множество F состоит из попарно
ортогональных ортопроекторов, определение 1 эквивалентно (хотя и формулируется совсем по-другому) определению энтропии макроскопического состояния из работы фон Неймана [10], которое, как отмечает сам фон
Нейман, было предложено Ю. Вигнером (подчеркнем, что здесь речь идет
не о классическом определении энтропии квантового состояния, принадлежащем фон Нейману и введенном в его книге [4]).
Замечание 3. Как уже было сказано, понятие F -энтропии существенно
отличается от введенного в книге [6] понятия энтропии квазиравновесного состояния, порождаемого множеством значений наблюдаемых из семейства F (в предположении его конечности), или, как мы будем говорить для
краткости, порождаемого множеством F . В отличие от нашего определения 1 F -энтропии, в определении энтропии квазиравновесного состояния
(порождаемого множеством F ), приведенном в [6], не фиксируется значение энергии; кроме того, в определении из [6] предполагаются заранее заданными значения наблюдаемых, тогда как в нашем определении 1 задается состояние системы ν, которое и определяет допустимые значения f,ν
наблюдаемых; при этом состояние ν может быть как смешанным, так и чистым. Таким образом, квазиравновесное состояние системы является точным аналогом гиббсовского канонического состояния; однако операторы из
унитарной группы V (t), описывающей (в квантовом случае) эволюцию исследуемой системы, рассматриваемой как замкнутая
5
,длякаждогоt =0
переводят квазиравновесное состояние в состояние, таковым не являющееся (ср. [6], стр. 104).
Преимуществом подхода к определению энтропии, использованного
в определении 1, является то, что, как уже отмечалось во введении, рассматриваемые состояния могут быть совершенно произвольными (а не только
квазиравновесными), и их эволюция является гамильтоновой, т. е. в квантовом случае описывается уравнением Шрёдингера.
Предложение 1. Пусть F
блюдаемых классической или квантовой системы, причем F
S
гда S
F
2
.
F
1
и F2— множества ограниченных на-
1
⊃ F1.То-
2
Всюду далее H — гильбертово пространство квантовой системы, H —
ее гамильтониан, все собственные векторы которого невырожденны, причем в H существует базис из его собственных векторов, F, F
конечные множества наблюдаемых, H
подпространство пространства H,
1
и F2—
1
порожденное собственными векторами гамильтониана H, соответствующи-
5
Это, конечно, не вполне естественно для систем, находящихся в состояниях гиббсовского
типа.
226 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
ми собственным значениям, содержащимся в отрезке [E − ε, E + ε], E =
= {e
} — ортонормированный базис пространства H1, состоящий из соб-
n
ственных векторов гамильтониана H, P
подпространство H
пространстве H
Пример 1. Пусть состояние ν квантовой системы задается векто-
ром A =
αnen,где|αn| =1для всех n (такое состояние можно отожде-
n
и ν — вероятностная мера, сосредоточенная на под-
1
.
1
— ортогональный проектор на
1
ствить с вероятностной мерой, сосредоточенной на одноточечном множестве {A
},гдеA0= A−1A), F1= {P1}, и все элементы множества F
0
являются ортогональными проекторами с попарно ортогональными областями значений. В соответствии с определением 1, S
(ν)=lndimH1(это
F
1
равенство совпадает с формулой Больцмана) и
(ν)=
S
F
2
=
в частности, если A
P ∈F
2
P (A0)2(−ln P (A0)2+lndimP(H));
P ∈F
2
∈ P(H) для некоторого P ∈ F2, то снова получается
0
формула типа Больцмана: S
dim P (H)
(ν)=lndimP (H).
F
2
P (A
dim P (H)
2
)
0
P (A
ln
dim P (H)
2
)
0
=
3. Формулировки основных результатов. Далее используются введенные выше обозначения и предположения. Пусть еще A — подмножество
пространства H
если A =
, определяемое так: A ∈Aв том и только в том случае,
1
anen,где|an| = |ak| для всех n, k ∈ N,иνA—множествомер,
n
сосредоточенных на множестве A.
Теорема 1. Пусть множество наблюдаемых F обладает следующими
свойствами:
(1) его элементы являются ортогональными проекторами;
(2) если K, G ∈ F и K = G,тоK ⊥ G;
(3) каково бы ни было G ∈ F, нормы (в пространстве H) проекций
на G(H) элементов базиса E одинаковы;
(4) линейная оболочка образов наблюдаемых из F совпадает с H
Тогда, каково бы ни было начальное состояние ν ∈ ν
t
1
SF(ν(t))dt → ln dim H1,
t
0
,
A
.
1
2
если t →±∞,где,длякаждогоt 0,ν(t) — состояние квантовой системы
вмоментt (так что ν(0) = ν).
ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ 227
Замечание 4. Если F содержит только один элемент — проектор P1на
подпространство H
ет,что,каковобынибылоt ∈ R, F -энтропия S
—, то из сказанного в примере 1 и в замечании 1 следу-
1
(ν(t)) = SF=lndimH1,
F
т. е. совпадает с энтропией Больцмана –Гиббса микроканонического ансамбля. В общем случае F -энтропия того же состояния ν(t) совпадает с ин-
формационной энтропией порождаемого им квантового крупнозернистого
разбиения, определяемого семейством F (ср. [6]); такая энтропия называется грубой [3], так что определение 1 можно рассматривать как обобщение
понятия грубой энтропии.
Следствие 1. Пусть множества наблюдаемых F
и F2удовлетворяют
1
условиям, наложенным в теореме 1 на множество F. Тогда, каково бы ни
было начальное состояние ν ∈ ν
,
A
t
1
S
(ν(t))dt −
F
t
2
0
t
1
S
(ν(t))dt → 0,
F
t
1
0
если t →±∞.
Теорема 2. Пусть F — множество операторов с попарно ортогональ-
ными образами, содержащимися в H
, причем выполнено условие (3) тео-
1
ремы 1.
Тогда существует такая линейная комбинация G
ства F
ли F
является G
с положительными коэффициентами, G1=
2
— одноэлементное множество, единственным элементом которого
1
, то, каково бы ни было начальное состояние ν ∈ νA,
1
t
1
SF(ν(t))dt → S
t
0
,
F
1
элементов множе-
1
cgg,что,ес-
g∈F
2
при t →±∞,где,длякаждогоt 0,ν(t) — состояние квантовой системы
вмоментt (так что ν(0) = ν).
4. Схема доказательства. Мы приведем схему доказательства теоремы 1 в предположении, что в начальный момент состояние квантовой системы задается нормированным вектором A =
всех n, k ∈ N.ПустьF = {G
k
} — ортонормированный базис в пространстве Gk(H), причем e
{e
j
k
=
c
epдля всех допустимых k, j. Пусть, для каждого t 0,A(t) —
jp
p
, ..., Gn} и, для каждого k ∈{1, 2, ..., n} ,
1
anen,причем|an| = |ak| для
n
k
=
j
228 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
вектор, задающий состояние квантовой системы в момент t, так что
icpt
e
A(t)=a
— собственные значения гамильтониана, относящиеся к собственным
где c
p
векторам e
. Тогда для всех допустимых k, j справедливо равенство
p
(A(t),e
k
)=ape
j
ep,
p
icpt¯ck
,
jp
где символ (., .) обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве H, а черта над символом c — комплексное сопряжение. Поэтому
pr
Gk(H)
2=
j
p
k
|c
jp
|2|ap|2+
j
p1=p
i(c
−c
)tck
p
p
1
a
¯a
e
p
p
1
2
2
2
jp
k
¯c
.
jp
1
2
Из этого равенства вытекает заключение теоремы 1. Теорема 2 доказывается аналогично.
Литература
[1] Alicki R., Fannes M. Quantum dynamical systems. Oxford, 2001.
[2] Ohia M., Petz D. Quantum entropy and its use. Berlin, 1993.
[3] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные тру-
ды: Т. 3. М., 1974. С. 385–412.
[4] фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. М.,
1964.
[5] Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М.–Ижевск,
2002.
[6] Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Рёпке Г. Статистическая механика нерав-
новесных процессов: В 2-х тт. М., 2002.
[7] Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.) Введение в квантовую стати-
стическую механику. М., 1984.
[8] Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. М., 1946.
[9] Козлов В.В., Трещев Д. В. Тонкая и грубая энтропия в задачах стати-
стической механики (в печати).
[10] von Neumann J. Zs. f. Phys., 1929, vol. 57, pp. 30–70.
Релятивистская модель Пуанкаре
1
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
В модели Пуанкаре [1] (ее подробный анализ содержится в книге [2])
рассматривается идеальный газ в прямоугольном параллелепипеде, состоящий из одинаковых (точечных) невзаимодействующих классических свободных частиц. При этом плотность частиц в конфигурационнои пространстве, или, что то же самое, плотность идеального газа отождествляется
с плотностью вероятностного распределения положений свободной частицы в параллелепипеде конфигурационного пространства (в рамках изучаемой модели другие характеристики идеального газа не рассматриваются).
В [2] и [3] доказано, что при заданном начальном распределении на фазовом пространстве динамика этого вероятностного распределения на конфигурационном пространстве инвариантна относительно обращения времени
и что при стремлении времени к бесконечности это вероятностное распределение стремится к равномерному (в предположении, что в начальный
момент времени плотность распределения в фазовом пространстве является суммируемой функцией). Аналогичный результат в ситуации, когда роль
конфигурационного пространства играет R
квантовый аналог модели Пуанкаре. Это результаты означают, что плотность идеального газа стремится к равномерной при неограниченном возрастании времени, что соответствует необратимости эволюции такого газа;
конечно, то же самое происходит и при неограниченном убывании времени.
Фактически в работе [2] рассматривается движение частиц на торе, причем
отмечается, что эта ситуация является универсальной для невырожденных
вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Отметим еще, что уравнения, описывающие редуцированную динамику распределения вероятностей
на конфигурационном пространстве (т. е. эволюцию плотности идеального
газа), инвариантны относительно обращения времени, несмотря на то, что
эта эволюция оказывается необратимой как при t →∞,такиприt →−∞.
Сказанное объясняется явной зависимостью от времени одного из коэффициентов в этом уравнении.
1
Доклады РАН, 2009, т. 428, № 2, с. 171–176.
n
, получен в [4], где рассмотрен
230 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
В настоящем сообщении рассматривается модель Пуанкаре с учетом
релятивистских поправок; иначе говоря, мы рассматриваем классический
идеальный газ, состоящий из релятивистских частиц (такой газ иногда называют газом Юттнера [5]). Показано, что его плотность стремится к равномерной как при неограниченном возрастании, так и при неограниченном
убывании времени, и получены приближенные уравнения, описывающие
эволюцию модели.
1. Редуцированная релятивистская динамика функции распреде-
ления свободной частицы на конфигурационном пространстве. Так
как функция Гамильтона H (т.е. энергия) свободной релятивистской частицы определяется равенством
2
H(p)=mc
где p и m — ее импульс и масса, p
2
2
p
1+
, (1)
2
m2c
— скалярный квадрат импульса p,
а c — скорость света, то уравнение Лиувилля для гамильтоновой системы,
описывающей такую частицу, записывается так:
p
m1+
m1+
=0. (2)
2
p
2
m2c
(t, q, p) — это линейный
q
p
— его значение на
2
p
2
m2c
на P , являющемся элементом про-
Здесь f
(t, q, p) и f
t
f
(t, q, p)+f
t
(t, q, p) — производные по соответствующим подпро-
q
(t, q, p)
q
странствам в точке (t, q, p), так что, в частности, f
функционал на пространстве Q,аf
линейном функционале
m1+
(t, q, p)
q
p
2
p
2
m2c
странства Q. Аналогичные обозначения используются и далее.
Если g — решение задачи Коши для этого уравнения с начальными
условиями (0,g
),то
0
g(t, q, p)=g
⎡
q −
0
⎢
⎣
tp
m1+
m2c
⎤
,p
. (3)
⎥
2
p
⎦
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]