Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 111
Эта формула дает затем дальнейший толчок к экспериментальному сопоставлению энтропии и функции
−H = −ia
при любых распределениях состояний a
Гиббс: если на все элементы начального канонического ансамбля ока-
зать влияние, соответствующее обратимому влиянию на газ
lg a
i
i
.
i
184
(77)
,томожно
допустить (см. XVIII), что этот ансамбль последовательно обладает одними
лишь каноническими распределениями. Тогда средний ансамбль определенного выше δQ можно представить как
185
δQ = δE +(R1δr1+ ···Rmδrm) (74)
и с помощью соотношения (73) преобразовать в
δQ
Θ
= δ
E −Ψ
Θ
. (75)
Представление стоящих справа величин в форме
E −Ψ
Θ
= −
+∞
...lge
−∞
Ψ−E
Θ
Ψ−E
e
1
Θ
dq
···dp
1
N
r
(76)
и, соответственно, попытка Гиббса увидеть в величинах
+∞
−σ = −
... lg dq
−∞
1
···dp
1
N
r
(77)
или (−Σ) иприлюбых распределениях «энтропию» представляет собой
точную математическую аналогию к рассмотрению H-функции Больцманом.
2. Увеличение энтропии при необратимых процессах в изолированной
системе.
184
l. c.,p.158идалее.
185
Этой предпосылки достаточно для того, чтобы заменить δE на δE, что и происходит
в уравнении (74).Тождество(73) основывается на предположении, что изменяющееся распределение семейства также является каноническим.
112 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯН А ЭРЕНФЕСТ
Больцман: если в момент време-
A
ни t
заданное нам распределение
точек молекулярной фазы в μ-пространстве не является распределением Максвелла –Больцмана, то величина H , контролирующая a
i
пределение, принимает для подавляющего большинства примыкающих
движений в любой дальнейший момент времени t
чем в момент времени t
B
меньшее значение,
A
.
Гиббс: если заданное на момент
времени t
A
распределение точек газовой фазы в Γ-пространстве не
каноническое и вообще не типа
186
, то величина Σ, контролиру-
(52)
рас-
ющая их P
-распределение, прини-
λ
мает после бесконечно продолжительного периода времени меньшее
значение, чем в момент t
A
.
24d. Замечания к интерпретации энтропии с помощью гиббсовой
меры (−Σ)
1. М. Планк
187
отметил: при нахождении величины H Больцман задается вопросом об однородности молекул газа (см. § 12b, d), т.е. вопросом,
возможна их перестановка или нет, так как имеет место газовая смесь. При
определении величины Σ на это обстоятельство не обращено никакого внимания. По этой причине определение Гиббса «прежде всего не объясняет,
как скопления различных типов молекул входят в аддитивную постоянную
186
Любое ρ-распределение типа (52) стационарно и дает, таким образом, постоянную во
времени Σ. В связи с этим будет поучительно рассмотреть с точки зрения Больцмана необратимые процессы в следующей идеализированной системе: представим себе газ, состоящий
из N точечных молекул, которые не оказывают друг на друга никакого влияния и не подвержены воздействию каких-либо сил, помимо упругой силы отталкивания при их соударении
с абсолютно упругими стенками сосуда неправильной формы. ВэтомслучаеN молекуляр-
ных точек движутся в μ-пространстве независимо друг от друга, точно так же, как всегда
движется ∞ множество газовых точек в Γ-пространстве. Произвольно заданное a
ление в μ-пространстве будет в общем случае постепенно «размешиваться» (выравнивание
плотности в сосуде и исчезновение ярко выраженных направлений движения), и утверждение lim
предел точно или почти точно совпадает с H-значением, принадлежащим соответствующему
распределению Максвелла, здесь недопустимо: в общем случае не может быть и речи о приблизительном достижении распределения Максвелла, так как начальное распределение абсолютной скорости остается неизменным. Примечателен тот факт, что Больцман всегда пренебрегает изменением H, вызванным свободным от столкновения размешиванием a
ления, и рассматривает изменение, вызванное соударен ием молекул. См. Boltzmann (1872) [6],
гл. V и Gastheorie 1, § 18, сноска (2) и 2, § 75. Больцман и примыкающие к нему авторы получают в результате размешивания H, вточностиравную нулю, так как они аппроксимируют
разрывное распределение a
ей η, ведущей себя по отношению к H так же, как в прим. 175 ведет себя величина σ по
отношению к Σ.
H(t) <H(t0) можно считать тогда правдоподобным. Однако утверждение, что этот
t=∞
через непрерывное распределение и работают затем с функци-
i
187
Planck (1903) [1].
-распреде-
i
-распреде-
i
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 113
формулы энтропии». Планк указывает, как можно заполнить этот пробел
введением иной функции. У Л. С. Орнштейна
188
,напротив,(−Σ) для модели газа, содержащей несколько типов молекул, полностью соответствует определенной термодинамически энтропии газовой смеси, находящейся
в состоянии равновесия. Однако следует заметить, что здесь он отклоняется
от гиббсова представления и обращается вслед за Больцманом к перестановке однородных молекул, рассчитывая, насколько увеличивается энтропия при диффузии двух газов.
2. Х. А. Лоренц
189
объясняет, почему величину (−Σ) нельзя рассматривать в качестве подходящей интерпретации энтропии в нестационарных
случаях, и предлагает свою, кажущуюся ему более удовлетворительной,
интерпретацию.
3. Связь с парадоксом возврата. Доказательства, что величина Σ ведет
себя точно так же квазипериодически, как и величина H, не существует, так как парадокс возврата Пуанкаре связан, прежде всего, с условием
конечного числа степеней свободы, а величина Σ измеряет размешивание
континуума G-точек в Γ-пространстве. На первый взгляд может пока-
заться, что Гиббс преодолевает парадокс возврата, интерпретируя энтропию
газа, вводя вместо (−H ) функцию (−Σ). Однако очевидно, что привлече-
ние той или иной функции ничего не меняет в том обстоятельстве, что
отдельная G-точка семейства движется по кругу на своей E-поверхности
в Γ-пространстве, то есть что отдельная модель газа совершает цикл Пу-
анкаре– Цермело. Более того: согласно гл. XII — как мы уже упоминали
(замечание 1 к XV и XVI) — размешивание нестационарного начального
распределения P и, тем самым, снижение Σ до относительного минимума
и происходит-то главным образом потому, что отдельная G-точка неоднократно совершает полный оборот!
Как показывает более точное сравнение, преимущество теории Больцмана об увеличении энтропии состоит здесь втом,чтоонанадлежащим
образом учитывает способность молекул к перестановке.
При выполнении указаний Планка – Лоренца гиббсов разбор убывания Σ должен плавно перейти в исследование убывания среднего по ансамблю значения от H (см. § 14c).
24e. Моноциклические аналогии к термодинамике (см. V3)
После того как Гельмгольц (1884), Дж. Дж. Томсон и др. обнаружили
эти аналогии, Больцман попытался оценить их с точки зрения статисти-
188
Ornstein (1908) [1], p. 57, 58.
189
Lorentz [2] § 83.
114 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯН А ЭРЕНФЕСТ
ко-кинетической теории. И здесь следует отметить некоторые из его работ
(1884, Ges. Abh. III, §§ 73, 74, 75), содержащие методы и термодинамические аналогии, которыми 15 лет спустя воспользуется Гиббс при рассмотрении микроканонических ансамблей: в этих работах Больцман рассматривает эргодическое (т.е. микроканоническое) множество и бесконечно медленно изменяет его распределение, варьирируя определенные содержащиеся
в силовой функции параметры r
...rn. Этим путем Больцман приходит
1
к глубокой критике моноциклических аналогий, оставшейся неучтенной
во всех сочинениях, излагающих теорию моноциклических систем Гельмгольца.
25. Работы, примыкающие к сочинению Гиббса или
схожие с ним
Работы Л. С. Орнштейна (1908–1909) вносят, прежде всего, очень ценный вклад в прояснение основ теории Гиббса. Кроме этого, они показывают: 1. что оперирование с каноническими ансамблями иногда дает бо-
лееудобнуюсхемурасчетапри рассмотрении сложных проблем равновесия (например, равновесия в капиллярных переходных слоях), чем метод
Больцмана; 2. почему в большой группе проблем равновесия оба метода
дают одинаковый результат.
А. Васмут (1908) доказывает, что среди всех распределений вида =
= F(E) лишь каноническое распределение удовлетворяет следующему тре-
бованию: если выбрать из ансамбля точек G-точки, придающие молекулам
модели газа — при произвольных значениях скорости — определенную конфигурацию (q
среднее значение квадрата моментоида (см. сноску 168), то это среднее
значение не будет зависеть от заранее заданной конфигурации.
Чтобы отметить позиции некоторых других работ, целесообразно указать на следствие, которое вывел Больцман
потезы и уравнения (34) и которое является, так сказать, основой попытки
представить поведение тела в тепловом равновесии с помощью среднего
поведения канонического ансамбля: следует выбрать в эргодической системе, состоящей из N молекул, группу N
быть очень большим само по себе, но при этом очень малым по отношению к N . Затем Больцман получает для относительной продолжительно-
сти времени, в течение которого состояние этих N
1
1
...q
N
заданы), и если затем образовать для этих частиц
r
190
(1871) из эргодической ги-
молекул, где значение Nможет
молекул наблюдается
190
Boltzmann [4], гл. III.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 115
1
в пределах области dq
— полная энергия молекулярной группы в этом состоянии, Θ/2 —ки-
E
...dp
1
dW = Ce
N
, выражение вида
r
−E/Θdq1
1
...dp
N
, (78)
r
нетическая энергия, которая приходится в среднем по времени на каждую
степень свободы эргодической системы. Если теперь перейти к соответствующему стационарно распределенному эргодическому ансамблю (31a),
то (78) будет пропорционально количеству тех элементов ансамбля,
при которых состояние рассматриваемых N
1
N
лах dq
...dp
1
. Таким образом, мы придем к формулировке теоремы Макс-
r
молекул лежит в преде-
веллом (1878) (Maxwell [3]). У Гиббса эта теорема принимает следующий
вид (l. c., p. 188): «Если система с большим числом степеней свободы распределена микроканонически, то каждую ее часть можно рассматривать как
распределенную канонически». Система, составленная из частей по N
молекул, есть тело, поведение которого интересует нас: вместе с огромной
тепловой ванной оно составляет всю эргодическую систему. Этой формулировкой эргодической гипотезы о микроканонических и канонических ансамблях пользуется и Эйнштейн в своих двух работах по кинетической
теории теплового равновесия и второго начала термодинамики (1902,
1903) (Einstein [1, 2]). Для объяснения энтропии и второго начала он использует функцию семейства (−Σ).
Формула (78) не только объясняет среднее поведение группы N
молекул, но и отвечает на вопрос, с какой относительной частотой встречаются отклоняющиеся от среднего поведения состояния в течение продолжительного отрезка времени в заданной молекулярной группе или — при
привлечении соответствующего формуле (78) канонического ансамбля —
с какой относительной частотой встречаются подобные состояния в этом
ансамбле. Итак, если признать эргодическую гипотезу, уравнение (34) ипе-
реход к формуле (78) справедливыми, то таким каноническим ансамблем
можно пользоваться как формальным вспомогательным инструментом при
решении всех задач, в которых рассматривается «вероятность заданного
отклонения от наиболее вероятного состояния».
Мариан фон Смолуховский
191
заинтересовался упомянутым выше вопросом о «нерегулярности» (1903), рассматривая, как влияют отклонения,
которые молекулы находящегося в состоянии равновесия газа обнаруживают в каждый момент времени по сравнению с их «наиболее вероят-
ным» пространственным распределением, на уравнения состояния и значение функции H . Смолуховский указывает здесь и на отношения к пре-
191
Smoluchowski [1].
116 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯН А ЭРЕНФЕСТ
делу устойчивости при перегреве жидкости и переохлаждении пара, которые он более подробно рассматривает в одной из более поздних работ
192
(1907).
На период между появлением упомянутых выше сочинений приходятся две работы Эйнштейна
о броуновском движении. Здесь для нас особенно интересен ход мыслей
Эйнштейна в его второй работе. Пусть N
193
(1905) и две работы Смолуховского
молекулы, о которых шла речь
194
(1906)
вформуле(78), составляют микроскопически малое тело, взвешенное в находящейся в тепловом равновесии жидкости. Чтобы определить характер
движения этого тела, следует привлечь, кроме координат внутренней конфигурации и движения, еще и такие параметры, как высота центра тяжести или углы, характеризующие направление вращения тела. Обозначим
один из упомянутых выше параметров через α. Далее предположим, что
параметр α входит в потенциальную энергию лишь аддитивно через выражение χ(α). При интегрировании соотношения (78) по всем параметрам
кроме α, мы получим для относительной продолжительности времени,втечение которого α находится между α и α + dα, выражение следующего
вида:
dω(α)=c · e
где c не зависит от α.Пустьχ(α) обладает минимумом для α = α
−χ(α)/Θ
dα, (79)
.При
0
отсутствии теплового движения малое тело будет находиться в равновесии
при α = α
своего «наиболее вероятного» значения α
жения. Выделим два способа
. Таким образом, (79) описывает отклонения параметра α от
0
195
применения Эйнштейном выражения (79):
в результате теплового дви-
0
1) для распределения микроскопической суспензии в жидкости под воздействием силы тяжести; 2) для среднего квадратического изменений параметра α в каждом временном интервале τ в силу теплового движения (особо:
горизонтальное перемещение и вращение взвешенных частиц).
26. Заключение
Целью данного реферата было, прежде всего, изложение принципиальных основ статистико-механических исследований, поэтому нам важно от-
метить тот факт, что центральное положение в этих исследованиях занима-
192
Smoluchowski [4].
193
Einstein [3, 4].
194
Smoluchowski [2, 3].
195
Относительно их экспериментального подтверждения см. цитируемую в прим. 199 работу
Ж. Перрена.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 117
ет большое количество неточно сформулированных и, возможно, даже противоречащих друг другу утверждений. И действительно, здесь речь идет
о серьезном несовершенстве с логической точки зрения, встречающемся
в других областях механики значительно реже. Это несовершенство, однако, никоим образом не повлияло на оценку статистико-механических исследований физиками: в последние годы неожиданно нашли широкое признание идеи Больцмана (H-теорема, распределение Максвелла – Больцмана, равновесие живой силы, связь между энтропией и вероятностью и т.д.),
однако едва ли можно указать на соответствующий прогресс в объяснении
больцмановской теории, которым можно было бы объяснить такой переворот.
Скорее всего, решающими факторами здесь стали, с одной стороны,
исследование электронов, а с другой стороны, ультрамикроскопическое
изучение коллоидных растворов. Эти исследования способствовали ожив-
лению и углублению идеи о том, что каждое тело можно рассматривать
как агрегат конечного числа очень малых однородных элементов и что,
соответственно, наблюдаемый во всех физических и химических задачах
с помощью обычных вспомогательных средств процесс является совокупностью огромного числа отдельных процессов. Здесь представилась возможность перенесения методов кинетической теории газов с тех прикладных областей, для которых они были разработаны, на совершенно иные
физические области: прежде всего, на движение электронов в металлах
(V14, § 40, H. A. Lorentz)
лых суспензий (§ 25) и на теорию излучения абсолютно черного тела (V23,
W. Wi en ).
196
∗
, на броуновское движение микроскопически ма-
Однако прежде всего речь здесь идет об экспериментальном переносе наиболее существенных результатов без соответствующей разработки
основ. Так, например, закон распределения Максвелла– Больцмана и закон о равновесии живой силы запросто переносятся на тепловое движение электронов в металлах, хотя соединение с эфиром, от которого теория
Максвелла – Больцмана полностью абстрагируется, должно играть здесь
главную роль.
Вопрос о допустимости этих различных статистических формул
в новых прикладных областях облегчается тем, что здесь определенные эксперименты позволяют намного основательнее проверить формулы,
∗
M. Abraham, Geometrische Grundbegriffe, Enzyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften
mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd. 4-3, 1901, B.G. Treubner Verlag. — Прим. ред.
196
Дальнейшее применение в новых областях можно найти в работах P. Langevin:¨Uber die
Wiedervereinigung in elektrisch dissoziierten Gasen (Th`ese 1902, Paris) и¨Uber die magnetische
Permeabilit¨at von Gasen (J. d. Phys. 4 (1905), p. 678).
118 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯН А ЭРЕНФЕСТ
что было почти невозможно ранее.
(1908–1909)
198
удалось рассчитать прямым электрическим методом кривую
197
Так, например, О.В. Ричардсону
распределения скоростей и среднюю кинетическую энергию электронов,
выбрасываемых из нагретого металла в результате теплового движения.
Относительно результатов микроскопического исследования броуновско-
го движения можно сослаться на работы Смолуховского и Перрена.
199
В вышеназванных случаях измерения позволили получить результаты, которые можно рассматривать как прямое и далеко идущее подтверждение кинетических постулатов. Как следует объяснять остающиеся разногласия
200
, выяснится, конечно, при дальнейшем проведении экспери-
ментов.
Сложнее дело обстоит при переносе статистических формул кинетической теории на радиационные явления: некоторые из прежних формул пока
не дали явных результатов, как, например, связь предела интерференции
при высокой разности хода лучей со средним временем между соударениями, которые претерпевает центр эмиссии
201
, или утверждение о том, что
тепловое движение центров эмиссии обусловливает нижний предел для ши-
197
Здесь учитывается, прежде всего, то обстоятельство, что электроны и газовые ионы благодаря наличию у них своего электрического заряда поддаются контролю и влиянию намного
легче, чем электрически нейтральные молекулы. Кроме этого, в определенных обстоятельствах отдельный ион может обнаруживать доступное для наблюдения расщепление. Ответ на
вопрос, как можно отследить при помощи этого расщепления отдельный атом, дают две новейшие работы Э. Регенера (1908) (E. Regener, Verh. d. Berlin. phys. Ges. 10, p. 78) и Э. Рутерфорда
и Х. Гейгера (1908/9) (E. Rutherford, H. Geiger, Phys. Zeitsch. Jhrg. 10, p. 1): здесь пересчиты-
ваются при помощи оптических или электрических эффектов расщепления 3–5 α-частицы,
которые излучает некое количество радиоактивной субстанции вминутучерез маленькое ме-
таллическое окошко.
198
O. W. Richardson, Phil. mag. (6) 16 (1908), p. 353, 890; там же 18 (1909), p. 681. Первая
работа совместно с F. C . B r o w n .
199
M. v. Smoluchowski (1906) [3], J. Perrin (1909) [1], далее см. цитируемые в § 14d работы
А. Эйнштейна.
200
Например, у Перрена там же, конец § 28. У Ричардсона: зависимость эффектов от температур.
201
V23, § 11. Тот факт, что естественный свет является неполяризованным и что пучки света, исходящие из различных центров эмиссии, не могут взаимодействовать и некогерентны,
объясняет еще Френель: при каждом соударении фаза и направление колебаний центров эмиссий изменяются скачкообразно и равномерно исчерпывают всевозможные варианты. Здесь см.
также применение вероятностных соображений у Lord Rayleigh: On the Resultant of a large
Number of Vibrations of the same pitch and of arbitrary phase (1871), Scient. Pap. I, § 6 и (1880)
там же I, § 68. Схожие рассмотрения у van der Waals jr. (1900) [1] гл. IV и H. A. Lorentz:
Emission u. Absorption d. Metalle, Proc. Akad. Amsterdam (1903), p. 666, об обсуждении вопроса, какое количество излучения посылает в среднем группа электронов в силу своего
случайного отклонения от наиболее вероятного распределения (также у A. Einstein (1906) [4]
§2.)
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 119
рины спектральных линий в результате соответствующего эффекта Допп-
202
лера.
Закон о равновесии живой силы получил при распространении на теп-
ловое равновесие между материей и эфиром замечательное подтверждение,
когда речь идет об инфракрасной области излучения абсолютно черного тела. Однако перенос его на ультрафиолетовую область приводит к абсурду,
так что пока мы даже еще не в состоянии вывести закон Стефана – Больцмана и закон смещения Вина иначе, чем с привлечением термодинамических
следствий. Пока мы еще очень далеки от решения этих сложных вопро-
203
сов.
Они совпадают с аналогичными сложностями в пределах самой тео-
204
рии газов
: в то время как закон о равновесии живой силы отменно проявляет себя при поступательном и некоторых случаях вращательного движения молекул, он оказывается абсолютно непригодным для более сложных внутренних движений. С другой стороны, однако, этот закон является
практически прямым следствием некоей предпосылки, лежащей в основе
всех больцмановских исследований теплового равновесия, а именно: предпосылки о том, что при образовании средних значений в Γ-пространстве
следует использовать ансамбли, распределенные вдоль поверхностей постоянной энергии с постоянной плотностью.
205
По крайней мере, все это позволяет понять, насколько необходимо
дальнейшее развитие основ статистической механики.
202
См. O. Sch¨onrock: Breite der Spektrallinien nach dem Dopplerschen Prinzip, Ann. d. Phys. 20
(1906), стр. 995. Там же обсуждение сочинений F. Lippich (1870), Lord Rayleigh (1889, 1905),
Ch. Godfrey (1901) и A. Michelson (1902), относящихся к данному предмету.
203
См. V23 (W. Wi en), § 6.
204
V8, § 28.
205
В спорах о законе излучения Рэлея – Джинса неоднократно утверждалось, что теорема
о равновесии живой силы является прямым следствием канонических уравнений Гамильтона
(например, Х. А. Лоренц на Международном конгрессе в Риме и V23, § 7). В противовес этому
мнению следует заметить, что теорема справедлива лишь в случае комбинирования гамильтоновых уравнений с сомнительной эргодической гипотезой или сформулированной в тексте
предпосылкой. См. прим. 161.
IV. Дополнения
После завершения работы над этим рефератом, который был подготовлен к печати в данной редакции в январе 1910 г., появилось несколько
важных статей, авторы которых излагают свою позицию относительно рассматриваемых в реферате вопросов (в особенности в § 23–26). Здесь мы
приводим краткое содержание этих статей в виде дополнений к упомянутым параграфам.
27. Дополнения к § 23: нестационарное распределение
плотности в Γ-пространстве
Ян Кру
206
дает, исходя из ошибочности
207
соответствующего метода
Гиббса, более детальный анализ «размешивания» нестационарного распределения плотности в стационарном поле потока Γ-пространства. Сначала
он рассматривает периодическую систему с одной степенью свободы. Двухмерное Γ-пространство (хотя бы отдельные его области) можно затем представить так, что траекторные кривые станут концентрическими кругами.
Если период для различных траекторий неодинаков, то эти круги вращаются с различной угловой скоростью.
плотности (q, p) при t = t
208
Допустив, что точное распределение
достаточно постоянно, а условие стационар-
0
ности ( вдоль отдельной траекторной кривой остается константой) нарушено, Кру показывает, что на границе для t =+∞ грубая плотность P
становится постоянной вдоль траекторных кривых и, тем самым, во времени; одновременно с этим
lim
Σ(t) Σ(t0).
t=+∞
Далее Кру переходит к периодическим системам с n степенями свободы,
период которых варьируется, по меньшей мере, с одной из постоянных интегрирования c
206
Jan Kro`o,¨Uber den Fundamentalsatz d. statist. Mechanik, Ann. d. Phys. 34 (1911), S. 907.
207
T. и P. E h r e nf e s t [1].
208
Разбор этой «вырожденной» задачи у Пуанкаре (1906) (Poincar´e [4]) Кру считает небез-
упречным.
1
...c
,определяющихG-траекторию системы (см. § 9b),
2n−1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]