Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 271
3◦. Возрастание грубой энтропии. Рассмотрим частный случай, когда ρ
= hg,гдеh — четная неотрицательная суммируемая функция в Rn=
0
= {p},причем
n
p =1,
hd
а g — интегрируемая функция, заданная в Π. Ясно, что в ходе эволюции
бесстолкновительного ансамбля распределение частиц по импульсам не меняется и по сути дела все сводится к задаче о выравнивании плотности в Π.
Особое значение имеет случай, когда h — плотность нормального распределения с дисперсией σ
частицы распределены по скоростям в соответствии с законом Максвелла;
здесь σ
2
= kT,гдеT — абсолютная температура, k — постоянная Больцма-
2
=0. Другими словами, мы предполагаем, что
на. Как показано в [69], плотность газа в конфигурационном пространстве
удовлетворяет обратимому по времени уравнению теплопроводности
u
= tσ2Δu (10)
t
с граничным условием Неймана
∂u
=0. (11)
∂n
∂Π
Смысл условия (11) вполне понятен: нет потока частиц через границу сосуда.
Покажем, что в этом случае грубая энтропия (3) возрастает (убывает)
при t 0 (t 0). Действительно, при t =0решение уравнения (10) будет
аналитическим. Далее,
˙s = −u
ln utdnx −u
t
dnx.
t
Ввиду уравнения (10) и граничного условия (11), второй интеграл спра-
ва, очевидно, равен нулю. С другой стороны, по формуле Грина с учетом
условия (11),
(Δu)lnud
n
x = −
1
n
∂u
∂x
2
dnx.
j
Следовательно, ˙s 0 ( 0)приt>0 (t<0).
Конечно, во всех случаях имеет место строгое неравенство, за исключением равновесного состояния, когда u ≡
u =const. Что и требовалось.
272 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Это наблюдение является частным случаем следующего общего результата. Пусть f(·) — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
заданная на неотрицательной вещественной полуоси. Если
f
> 0(< 0),
то
при t>0 (t<0). Если u
d
f(ut(x))dnx 0( 0)
dt
Π
≡ const, то эти неравенства строгие.
t
Действительно, эта производная равна
u
f(u)dnx = σ2t(Δu)f(u)dnx = −σ2tf(ut)
t
∂u
∂x
2
t
dnx.
j
В частности, грубая «энстрофия»
1
2
u
dnx
t
2
Π
убывает при t>0.
Как уже отмечалось, грубая энтропия не всегда монотонно возрастает.
В книге [69] приведен пример факторизуемого распределения с кусочно-постоянной функцией h, когда грубая энтропия стремится к своему максимальному значению, периодически его достигая.
◦
. Парадокс Гиббса. В заключение покажем, как в рамках теории
4
слабых пределов вероятностных распределений разрешается известный парадокс Гиббса об энтропии смешения двух одинаковых идеальных газов.
Вначале напомним суть парадокса. Рассмотрим бесстолкновительный
(идеальный) газ в сосуде с объемом V , разделенный перегородкой на две
части с объемами V
и V2(V = V1+ V2). Пусть температуры и давле-
1
ния газов с разных сторон от перегородки совпадают. Энтропии этих частей (с учетом их массы) равны N
ln V1и N2ln V2соответственно, где N
1
и N2— количества частиц в обеих частях сосуда. Далее, после быстрого
снятия перегородки энтропия смеси будет, очевидно, равна N lnV ,гдеN =
+ N2. Таким образом, получаем положительный скачок энтропии
= N
1
В частности, если V
N lnV −N
= V2и N1= N2, то этот скачок равен
1
ln V1− N2ln V2. (12)
1
N ln2.
1
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 273
С другой стороны, после снятия перегородки газ по-прежнему будет
в термодинамическом равновесии. Следовательно, ничего не изменилось
и энтропия смеси должна остаться прежней. Однако это противоречит формуле скачка (12).
Парадоксу Гиббса посвящено большое число работ. Их систематический анализ можно найти в двух монографиях на русском языке [87, 92].
Считается, что парадокс Гиббса можно объяснить только в рамках
квантовой статистики, вычисляя аддитивную постоянную, с точностью до
которой определяется энтропия. Наша точка зрения состоит в том, что энтропия смеси одинаковых газов, действительно, возрастает, а формула (12)
имеет простое и прозрачное объяснение с точки зрения слабой сходимости
решений уравнения Лиувилля.
При анализе парадокса Гиббса упускают из виду следующую ключе-
вую деталь. До снятия перегородки мы имеем две различные динамические
системы с конфигурационными пространствами Π
и Π2. То обстоятель-
1
ство, что они разделены непроницаемой перегородкой, не имеет никакого
значения: динамика бесстолкновительных газов в Π
и Π2не изменится,
1
если их разнести на существенное расстояние друг от друга. После снятия перегородки мы получаем уже одну динамическую систему со связным
конфигурационным пространством Π=Π
∪ Π2, и частицы могут дви-
1
гаться (и действительно движутся) во всем параллелепипеде Π.Сточки
зрения кинетики утверждение о неизменности состояния газа после снятия
перегородки совершенно некорректно.
В соответствии с формулой (4) при адиабатическом расширении (без
притока и оттока энергии) N
частиц бесстолкновительного газа из Π1в Π
1
его энтропия увеличивается на
ln V − N1ln V1= N1ln
N
1
При расширении другой части газа из Π
N
ln
2
в Π энтропия увеличивается на
2
V
.
V
2
V
.
V
1
Сумма этих чисел дает как раз (12).
При анализе статистического (теплового) равновесия полезно иметь
в виду следующую конструкцию. Пусть бесстолкновительный газ в параллелепипеде Π распределен с плотностью
1
h(p), (13)
V
274 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
где V =volΠ,аh — плотность нормального распределения с дисперси-
2
ей σ
= kT . Такой газ со всех точек зрения находится в состоянии тепло-
вого равновесия с температурой T .ВыделимвΠ измеримую подобласть D
положительной меры и рассмотрим динамику частиц газа, которые в момент времени t =0находятсявобластиD. Нормированная (удельная)
плотность распределения этих частиц в начальный момент равна
ϕh
,
vol D
где ϕ:Π→ R — характеристическая функция области D.Еслиvol D = V ,
то ϕ — существенно непостоянная функция. Следовательно, согласно п. 1
выделенная доля газа не находится в статистическом равновесии и его плотность как функция времени слабо сходится к функции (13). Таким образом,
частицы газа, первоначально находящиеся в области D, необратимо стремятся равномерно заполнить весь объем Π, а их грубая энтропия (3) монотонно возрастает до своего максимального значения. Полное изменение
грубой удельной энтропии, очевидно, равно
V
vol D
.
ln
Поскольку h — плотность нормального распределения, то (соглас-
но [69]) выравнивание плотности происходит сверхэкспоненциально быстро (как e
5
2
−λt
◦
, λ =const> 0).
. Релятивистские термодинамика и статистическая механика.
Релятивистская термодинамика исследует преобразования термодинамических величин при переходе от одной системы координат к другой, в случае,
когда нужно учесть релятивистские эффекты. Скорости частиц в сопутствующих системах координат при этом не предполагаются релятивистскими.
Таким образом, ее результаты в настоящее время представляют лишь академический интерес.
Релятивистская статистическая механика — это статистическая механика частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями, обычно в предположении, что центр их масс неподвижен. Примеры физических ситуаций,
где она может быть применена, можно найти в книге [65].
Релятивистская статистическая механика, понимаемая в этом смысле,
в настоящее время только начала развиваться (ср. [32]). Именно ей посвящена одна из наших работ, включенных в это издание. В ней построен
релятивистский аналог модели Пуанкаре.
◦
,
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 275
Среди задач, связанных с релятивистской (и не только релятивистской)
статистической механикой, можно назвать следующие.
1. Вывод распределения Гиббса для систем релятивистских частиц.
2. Вывод уравнений Боголюбова для них же.
3. Вывод распределения Гиббса и уравнений Боголюбова в ситуации,
когда одновременно учитываются релятивистские и квантовые эффекты.
4. Применение в релятивисткой ситуации теории слабых пределов.
5. Исследование предельных переходов от релятивистской к нереляти-
вистской статистической механике.
6. Исследование релятивистских аналогов диффузионных процессов
(по этому поводу уже существует ряд работ, первой из которых, повидимому, была статья [35].
7. Исследование и использование функций Вигнера и их аналогов для
релятивистских квантовых систем, а также для квантовых систем, получаемых при квантовании бесконечномерных гамильтоновых систем.
8. Связь между термодинамическими пределами и бесконечномерными
системами статистической механики.
Даже этот совсем короткий перечень показывает, что многие фунда-
ментальные вопросы пока остаются открытыми.
Литература
[1] Больцман Л. Избранные труды. М., 1984.
[2] Пуанкаре А. Механицизм и опыт. В кн.: Больцман Л. Избранные труды.
М., 1984. С. 434–437.
[3] Больцман Л. Лекции по кинетической теории газов. М., 1954.
[4] Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. М. – Л.,
1946.
[5] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. В кн.: Пуанкаре
А. Избранные труды: Т. 3. М., 1974. С. 385–412
[6] Планк М. Введение в теоретическую физику: Ч. 5. Теория теплоты. М. –
Л., 1935.
[7] Планк М. Избранные труды. М., 1975.
[8] Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической фи-
зике. М. – Л., 1946.
[9] Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов: Т. 5, 6. М., 2006. [В пятом
томе содержится, в частности, предыдущая книга.]
276 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
[10] Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.) Введение в квантовую стати-
стическую механику. М., 1984.
[11] Леонтович М. А. Введение в термодинамику: Статистическая физика.
М., 1973.
[12] Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Рёпке Г. Статистическая механика нерав-
новесных процессов: В 2-х тт. М., 2002.
[13] Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970.
[14] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика: Ч. 1. М., 1976;
Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика: Ч. 2. М., 1978.
[15] Фейнман Р. Статистическая механика. М., 1978.
[16] Хуанг К. Статистическая механика. М., 1966.
[17] Лавендра Б. Статистическая физика. М., 1999.
[18] Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики.
М., 1977.
[19] Исихара А. Статистическая физика. М., 1973.
[20] Кубо Р. Термодинамика. М., 1970.
[21] Кубо Р. Статистическая механика. М., 1967.
[22] Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика
и кинетика. М., 1972.
[23] Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М., 1971.
[24] Терлецкий Я. П. Статистическая физика. М., 1973.
[25] Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. М., 1981.
[26] Базаров И. П. Термодинамика. М., 1976.
[27] Рюэль Д. Статистическая механика. М., 1971.
[28] Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. М., 2002.
[29] Халмош П. Лекции по эргодической теории. М., 2001.
[30] M¨uller-Kirsten H. J. W. Basics of statistical physics. World Sci., 2010.
[31] Kondepudi D., Prigogine I. Modern thermodynamics: From heat engines
to dissipative structures. New York, 1998.
[32] Павлоцкий И. П. Начала слаборелятивистской статистической механи-
ки. М., 1983.
[33] Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М., 1965.
[34] Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.,
1967.
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 277
[35] Gaveau B., Jacobson T., Kac M., Schulman L. S. Relativistic extension
of the analogy between quantum mechanics and Brownian motion // Phys.
Rev. Lett., 1984, vol. 53, no. 5, pp.419–422.
[36] Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М., 1969.
[37] Арнольд В. И., Авец А. Эргодические проблемы классической меха-
ники. Ижевск, 1999.
[38] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. М., 2002.
[39] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.,
1980.
[40] Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М., 1964.
[41] Фаулер Р., Гуггенгейм Э. Статистическая термодинамика. М., 1949.
[42] Хилл Т. Статистическая механика. М., 1960.
[43] Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики.
М. –Л., 1943.
[44] Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики. М.,
1951.
[45] Гуров К. П. Основания кинетической теории. М., 1966.
[46] Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М., 1980.
[47] Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика:
В 2-х т. М., 1978.
[48] Tolman R. The principles of statistical mechanics. Oxford, 1938.
[49] Ma Sh.-K. Statistical mechanics. World Sci., 1993.
[50] Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической механики. М. –
Л., 1950.
[51] де Гроот С. Р. Термодинамика необратимых процессов. М., 1956.
[52] Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем: В 2-х т.
М., 1995, 1999.
[53] Gallavotti G. Statistical mechanics. Roma, 1999.
[54] Ingarden R. S., Kossakowski A., Ohya M. Information dynamics and open
systems: Classical and quantum approach. New York, 1997.
[55] Маслов В. П. Квантование термодинамики и ультравторичное кванто-
вание. М., 2001.
278 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
[56] Шрёдингер Э. Статистическая термодинамика. М., 1948. [Перевод до-
полнения ко второму изданию напечатан в книге: Шрёдингер Э. Из-
бранные труды по квантовой мехнике. М., 1976. С. 248–253.]
[57] Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика. М., 1955.
[58] Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977.
[59] Бриллюэн Л. Наука и теория информации. Москва, 1960.
[60] Киттель Ч. Статистичекая термодинамика. М., 1977.
[61] Лоренц Г. А. Лекции по термодинамике. Ижевск, 2001.
[62] Лоренц Г. А. Статистические теории в термодинамике. Ижевск, 2001.
[63] Farquahar I. E. Ergodic theory in statistical mechanics. London, 1964.
[64] Минлос Р. А. Введение в математическую статистическую физику. М.,
2002.
[65] Емельянов В. М., Тимошенко С. Л., Стриханов М. Н. Введение в реля-
тивистскую ядерную физику. М., 2004.
[66] Фано Р. Передача информации: Статистическая теория связи. М., 1965.
[67] Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М., 1965.
[68] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. – Ижевск,
2002.
[69] Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая меха-
ника. М. – Ижевск, 2008.
[70] Смолянов О. Г., Фомин С. В. Меры на топологических линейных про-
странствах // Успехи матем. наук, 1976, т. 31, № 4, с. 3–56.
[71] Смолянов О. Г., Угланов А. В. Всякое гильбертово подпространство ви-
неровского пространства имеет меру нуль // Матем. заметки, 1973, т. 14,
№ 3, с. 369–374.
[72] Смолянов О. Г. Теорема Гросса– Сазонова для знакопеременных ци-
линдрических мер // Вестн. МГУ. Сер. Матем. Мех., 1983, № 4, с. 4–12.
[73] Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Простое доказательство теоремы
Тариеладзе о достаточности положительно достаточных топологий //
ТВП, 1992, т. 37, № 2, с. 421–424.
[74] Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин С. В. Обобщенные функции
и дифференциальные уравнения в линейных пространствах: I. Диффе-
ренцируемые меры // Тр. Моск. матем. общ-ва, 1971, т. 24, с. 133–174.
[75] Smolyanov O. G., von Weizs¨acker H. Smooth probability measures and
associated differential operators // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab.
Relat. Top., 1999, vol. 2, no. 1, pp. 51–78.
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 279
[76] Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. М.–
Ижевск, 2008.
[77] Богачев В. И., Смолянов О. Г. Аналитические свойства бесконечномер-
ных распределений // Успехи матем. наук, 1990, т. 45, № 3, с. 3–83.
[78] Смолянов О. Г. Анализ на топологических линейных пространствах
и его приложения. М., 1979.
[79] Smolyanov O. G., von Weizs¨acker H. Change of measures and their loga-
rithmic derivatives under smooth transformations // C. R. Acad. Sci. Paris,
1995. t. 321, s´er. I, pp. 103–108.
[80] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Функция Вигнера и диффузия в бесстолк-
новительной среде, состоящей из квантовых частиц // ТВП, 2006, т. 51,
вып. 1, с. 1–18.
[81] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Информационная энтропия в задачах
классической и квантовой статистической механики // Докл. РАН, 2006,
т. 411, вып. 5, с. 587–590.
[82] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Слабая сходимость состояний в кван-
товой статистической механике // Докл. РАН, 2007, т. 417, вып. 2,
с. 180–185.
[83] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Релятивистская модель Пуанкаре // Докл.
РАН, 2009, т. 428, вып. 2, с. 171–176.
[84] Козлов В. В., Смолянов О.Г. Бесконечномерные уравнения Лиувилля
относительно мер // Докл. РАН, 2010, т. 432, вып. 1, с. 28–32.
[85] Френкель Я. И. Статистическая физика. М.– Л., 1948.
[86] Садовский М. В. Лекции по статистической физике. М. – Ижевск, 2003.
[87] Гельфер Я. М., Любошиц В. Л., Подгорецкий М. И. Парадокс Гиббса
и тождественность частиц в квантовой механике. М., 1975.
[88] Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы кванто-
вой теории поля в статистической физике. М., 1962.
[89] Власов А. А. Статистические функции распределения. М., 1966.
[90] Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. М., 1960.
[91] Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.,
2001.
[92] Хайтун С. Д. История парадокса Гиббса. М., 2009.
[93] Ивон Ж. Корреляции и энтропия в классической статистической меха-
нике. М., 2001.
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414,
тел.: (499) 135–54–37, (495) 641–69–38
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409–93–28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Анри Пуанкаре
Пауль и Татьяна Эренфесты
Джон фон Нейман
РАБОТЫ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
С ДОПОЛНЕНИЯМИ И ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В.В.КОЗЛОВА И О. Г. СМОЛЯНОВА
Дизайнер В. А. Толстолуцкая
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка С. В. Высоцкий
Корректор О. З. Логунова
Подписано в печать 13.01.2011. Формат 60 ×841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,39. Уч. изд. л. 17,6.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная № 1. Заказ № 11-1.
АНО «Ижевский институт компьютерных исследований»
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500–295
Переплет выполнен в ГУП УР «Ижевский полиграфический комбинат»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
426039, г. Ижевск, Воткинское шоссе, 180.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]