Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕР 241
Отметим попутно, что решение бесконечномерного уравнение Лиувилля относительно мер является поточечным слабым пределом мерозначных
функций, являющихся решениями уравнений Лиувилля относительно мер
на конечномерных подпространствах исходного бесконечномерного фазового пространства.
Последующее изложение в отдельных местах носит формальный характер, и некоторые технические предположения опущены.
1. Предварительные сведения. Симплектическое локально выпуклое
пространство (ЛВП) — это пара (E, I),гдеE —ЛВП
линейное отображение, такое, что I
ных непрерывных функционалов на E, наделенное топологией, согласующейся с двойственностью между E
∗
= −I и E— пространство линей-
и E. Гамильтонова система — это
4
, I : E→ E —
набор (E,I, H), где (E,I) — симплектическое ЛВП, называемое (как и само E) фазовым пространством гамильтоновой системы, и H — это числовая
функция на E, называемая функцией Гамильтона. Уравнением Гамильтона
для этой гамильтоновой системы называется уравнение
(t)=IHf(t),
f
где H
— производная (Гато) функции H, причем предполагается, что f —
это функция вещественного аргумента, принимающая значения в фазовом
пространстве E. Уравнением Лиувилля относительно функций называется
уравнение
∂F
∂t
(t)=L
(F (t));
H
здесь F — функция вещественного аргумента, принимающая значения
в некотором пространстве F(E) функций на фазовом пространстве E
— линейный оператор в F(E), называемый оператором Лиувил-
и L
H
ля и определяемый так: (L
Пуассона, определяемая, для любых двух функций Φ и Ψ на E, равенством {Φ, Ψ}(x)=Φ
(x)(I(Ψ(x))). Таким образом, уравнение Лиувилля
Φ)(x)={Φ, H}(x),где{·, ·} —скобка
H
относительно функций — это уравнение для первых интегралов уравнения
Гамильтона.
2. Теоремы Лиувилля для бесконечномерных пространств и урав-
нения Лиувилля относительно мер. Если E —ЛВП,томножествоA ⊂ E
называется цилиндрическим, если оно является прообразом некоторого борелевского подмножества какого-либо конечномерного ЛВП G относитель-
но непрерывного линейного отображения E → G (при этом можно ограничиться фактор-пространствами пространства E и каноническими отоб-
4
Все локально выпуклые пространства считаются отделимыми (хаусдорфовыми).
242 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
ражениями E на эти фактор-пространства). Если G — конечномерное фактор-пространство пространства E,тоA
(E) — прообраз σ-алгебры его бо-
G
релевских подмножеств относительно канонического отображения E → G.
Пусть A(E) — алгебра подмножеств ЛВП E, порождающая его бо-
релевскую σ-алгебру, причем предполагается, что A(E)=
5
G∈G
AG(E),
где G — некоторое семейство конечномерных фактор-пространств пространства E,такое,что,еслиG
тор-пространствам которого естественно изоморфны G
,G2∈G,тосуществуетG3∈G,фак-
1
и G2(в частности,
1
A(E) может быть алгеброй всех цилиндрических подмножеств E). Цилин-
дрической мерой на ЛВП E называется ограниченная числовая функция ν
на A(E), обладающая следующим свойством: каково бы ни было G ∈G,
сужение ν на A
(E) счетно-аддитивно. Множество всех цилиндрических
G
мер на E обозначается символом M(E). Функция на E называется G-цилиндрической, если она измерима относительно σ-алгебры A
(E); цилин-
G
дрической называется функция, являющаяся G-цилиндрической для некоторого G ∈G. Стоит отметить, что всякая цилиндрическая мера становится
счетно-аддитивной после подходящего расширения пространства [4].
Мера ν ∈M(E) называется дифференцируемой вдоль направ-
ления h ∈ E, если существует функция β
логарифмической производной меры ν вдоль h, для которой равен-
ство
f(x)βν(h, x)ν(dx)=−
E
линдрической функции, один раз дифференцируемой вдоль h и ограниченнойвместесеепроизводнойf
дифференцируемость и логарифмическая производная β
векторного поля k : E → E;приэтомβ
Меры β
ры ν вдоль направления h и вдоль векторного поля k иобозначаютсясимволами ν
ν
(h, ·)ν и β
h и νk.
ν
(·)ν называются, соответственно, производными ме-
k
f(x)hν(dx)5справедливо для всякой ци-
E
(·)h вдоль h. Аналогично определяются
ν
(x)=βν(k(x),x)+trk(x) (см. [5]).
k
ν
(h, ·) на E, называемая
ν
(·) меры ν вдоль
k
Замечание 1. Если размерность пространства E конечна, то алгебра
множеств A(E) совпадает с σ-алгеброй борелевских множеств, а M(E) —
5
Одно из определений интеграла по цилиндрической мере состоит в следующем. Рассматривается расширение исходного пространства, на котором мера оказывается счетно-аддитивной; если функция, интеграл от которой требуется определить, допускает естественное продолжение на расширенное пространство, то интегралом от нее по исходной цилиндрической
мере объявляется обычный интеграл от продолженной функции по лебеговому продолжению
меры на расширенном пространстве, порожденной исходной цилиндрической мерой. Если
уже сама исходная цилиндрическая мера счетно-аддитивна, то интегралом по ней называется интеграл по ее лебеговому продолжению. Однако для цилиндрических функций интеграл
определяется непосредственно, так как G-цилиндрическая функция измерима относительно
σ-алгебры A
G
(E).
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕР 243
с множеством всех счетно-аддитивных конечных борелевских мер. Если
вэтомслучаемераν обладает гладкой плотностью g относительно меры
Лебега на E, то, каков бы ни был вектор h ∈ E,мераν дифференцируема
вдоль h и ν
h обладает плотностью f(·)h относительно меры Лебега; ло-
гарифмическая производная меры ν вдоль h совпадает c логарифмической
производной ее плотности. Однако в общем случае плотность производной такой меры вдоль векторного поля не совпадает с производной вдоль
этого поля ее плотности, и ее логарифмическая производная не совпадает
с логарифмической производной плотности.
Предложение 1. Если векторное поле k гамильтоново, то β
ν
(k(x),x) (при этом не предполагается существования следов k(x)).
= β
ν
(x)=
k
Следствие 1. В предположениях замечания 1 производная меры вдоль
векторного поля обладает плотностью, совпадающей с производной плотности вдоль этого поля, а ее логарифмическая производная — с логарифмической производной плотности.
Предложение 2. Если F — каноническое преобразование фазового
пространства, ν ∈M(E) и νF —образмерыν относительно отображе-
−1
ния F
,то
d(νF)
dν
(x)=exp
⎛
⎝
0
1
βν(F
(t, x), F(t, x))dt
1
⎞
⎠
,
где дифференцируемое по первому аргументу отображение F :[0, 1]×E →E
обладает следующими свойствами: F(0,x)=x; F(1,x)=F (x) (конечно,
d(νF)
производная Радона – Никодима
не зависит от выбора такого отобра-
dν
жения).
Это предложение вытекает из предложения 1 и результатов [5].
Замечание 2. Предложение 2 является не зависящей от размерности
пространства версией классической теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема; предложение 1 можно считать не зависящим от размерности
пространства дифференциальным вариантом той же теоремы Лиувилля.
Замечание 3. Производные и логарифмические производные можно
определить и для мер, не являющихся конечными; при этом будут справедливы и аналоги предложений 1 и 2.
Определение 1. Уравнением Лиувилля относительно мер на фазовом
пространстве E гамильтоновой системы называется уравнение
∂ν
(t)=L
∂t
∗
(ν(t))
H
244 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
относительно функций вещественного аргумента, принимающих значения
в некотором пространстве мер на E;здесьL
∗
— оператор в пространстве
H
мер, сопряженный к оператору Лиувилля в пространстве функций.
Теорема 1. Уравнение Лиувилля относительно мер на фазовом пространстве E имеет вид
∂ν
(t)=−(ν(t))
∂t
Правая часть уравнения — это производная меры ν(t) вдоль векторного
поля I H
(·), так что теорема вытекает из предложения 1 и определения
(IH) ≡−β
ν(t)
(I(H(·), ·)ν(t).
оператора Лиувилля в пространстве функций.
Замечание 4. Обычно гамильтониан H представляет собой сумму ря-
да, который может сходиться не всюду, тогда как для того, чтобы функция ν(·) была решением уравнения Лиувилля относительно мер, необходимо, чтобы векторное поле IH
(·) было определено почти всюду относительно каждой меры ν(t). Однако далее условия сходимости соответствующих
рядов не обсуждаются.
3. Системы уравнений относительно конечномерных вероятност-
ных распределений. В этом разделе рассматривается общая схема пе-
рехода от уравнения Лиувилля относительно мер на бесконечномерном
пространстве к равносильной ему бесконечной системе уравнений относительно функций на конечномерных пространствах. Мы предполагаем,
что в симплектическом пространстве E существует симплектический базис B = {e
: k =1, 2, ...}; кроме того, предполагается, что в нем введена
k
евклидова структура, относительно которой элементы B образует ортонормированный базис. Наконец, предполагается, что в каждом подпространстве пространства E, порождаемом конечным семейством элементов из B,
введена мера Лебега, порождаемая его евклидовой структурой (эта мера
зависит только от исходной симплектической структуры).
Пусть, для каждого конечного набора {e
F
k1, ..., k
— конечномерное (симплектическое) подпространство прост-
n
ранства E, порождаемое этим набором элементов, G
, ..., e
k
1
} элементов из B,
k
n
k1, ..., k
— симп-
n
лектическое фактор-пространство пространства E по его замкнутому
подпространству, порождаемому элементами из B,невошедшимивмножество {e
, ..., e
k
1
}. Множество всех фактор-пространств G
k
n
k1, ..., k
обозна-
n
чается символом G(B). Тогда уравнение Лиувилля относительно мер на E
равносильно системе уравнений относительно сужений этих мер на подалгебры A
заданы плотностями на пространствах G
(E), G ∈G(B). В предположении, что меры на них могут быть
G
k1, ..., k
, или, что все равно (в силу
n
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕР 245
естественного изоморфизма F
k1, ..., k
щаяся система уравнений относительно плотностей, как уже было сказано,
отличается от системы уравнений Боголюбова
и G
k1, ..., k
n
), на F
n
6
иявляетсяейравносильной
k1, ..., k
,получаю-
n
только в случае, когда пространство E конечномерно.
Для каждой меры μ ∈M(E) и для каждого конечного набо-
ра {e
, ..., e
k
1
} элементов из B пусть f
k
n
ность вероятностной меры на пространстве G
Теорема 2. Пусть ν ∈M(E) и {e
причем функция Гамильтона H является G
h
r1, ..., r
= I(H
=(f
= {e
f
где символ (·)
(равенства первого типа мы можем и будем считать частными случаями равенств второго типа).
ва {r
— порожденное ею гамильтоново векторное поле на E, h
m
(·)).Если{e
νh
k
k
r
1
, ..., k
1
ν
, ..., k
1
, ..., e
(x)=
n
)(x)h
n
r
m
}\{e
=(f
, ..., s
s
1
Пусть H =
, ..., rn} натуральных чисел H
1
, ..., e
r
1
r1, ..., r
m
, ..., e
k
1
ν
{r
, ..., rm}∪{k1, ..., kn}
1
обозначает производную по подпространству G
p
H
r1, ..., r
}⊂{e
r
m
(x), x ∈ G
} = ∅,то
k
n
h
r1, ..., r
, где для каждого конечного множест-
n
функция, причем суммирование производится по всем таким множествам
натуральных чисел. Пусть еще h
6
В неравновесной статистической механике системой, или цепочкой, уравнений Боголюбова (аналогичные по форме, но имеющие другой смысл уравнения Боголюбова, описывающие
равновесные состояния таких же наборов частиц [2], мы здесь не рассматриваем) называется бесконечная последовательность уравнений относительно зависящих от времени функций
на n-частичных фазовых пространствах. Сначала подобные, но конечные системы уравнений
выводятся из классических уравнений Лиувилля для конечных наборов частиц, после чего
осуществляется формальная операция, называемая переходом к термодинамическому пределу,
когда число частиц и занимаемый ими объем стремятся к бесконечности, причем плотность
частиц остается постоянной. Хотя функции на n-частичных фазовых пространствах, образующие решения конечных систем уравнений Боголюбова, пропорциональны плотностям соответствующих вероятностных распределений, при переходе к термодинамическому пределу (когда
число уравнений в системе стремится к бесконечности) коэффициенты пропорциональности
стремятся к бесконечности; это и является формальной причиной того, что решения бесконечных систем уравнений Боголюбова состоят из функций, не являющихся пропорциональными
плотностям каких бы то ни было конечномерных вероятностных распределений.
r1, ..., r
)
, ..., s
s
1
(...x
m
r1, ..., r
m
μ
, ..., k
k
1
, ..., e
k
1
r1, ..., r
, ..., e
k
1
k1, ..., k
(...x
p
s
1
n
= I(H
— соответствующая плот-
n
k1, ..., k
, ..., x
— G
.
n
}, {e
, ..., e
r
k
-цилиндрической, и пусть
m
k
;если{e
n
s
1
r1, ..., r
, ..., r
r
1
1
n
}, то f
n
, ..., x
...)dx
s
p
-цилиндрическая
n
(·)).
m
νh
, ..., k
k
1
, ..., e
s
1
...)
s
p
s
r1, ..., r
...dx
1
r
}⊂B,
m
m
(x)=
n
} =
s
p
s
p
s1, ..., s
,
=
p
246 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Теорема 3. Функция ν(·), принимающая значения в M(E),является решением уравнения Лиувилля относительно мер в точности тогда, когда функции t → g
= f
ν(t)
r
1
удовлетворяют следующей бесконечной системе дифференци-
, ..., r
n
r1, ..., r
альных уравнений: g
(...x
, ..., x
s
1
s
p
...)h
вание производится по всевозможным конечным множествам {r
натуральных чисел, {s
в соответствии со сказанным выше, если {s
(t), определяемые равенствами g
n
k
r1, ..., r
(t)(·)=
, ..., k
n
1
(...x
m
, ..., sp} = {r1, ..., rm}\{k1, ..., kn}, причем,
1
, ..., x
s
1
(g
{r1, ..., rm}∪{k1, ..., kn}
...)dx
s
p
, ..., sp} = ∅, то считается,
1
...dx
s
1
r1, ..., r
(t))
, где суммиро-
s
p
, ..., rm}
1
(t)=
n
, ..., s
s
1
что символ интегрирования отсутствует.
Это следствие предыдущей теоремы.
4. Дополнительные замечания. В этом разделе описывается связь
между решениями бесконечной системы уравнений, аналогичной системе уравнений Боголюбова, и уравнением Лиувилля относительно функций, принимающих значения в пространстве бесконечных мер. Кроме того, сформулирована теорема, согласно которой совместное распределение
системы невзаимодействующих частиц стремится к произведению равномерных.
∗
Итак, предположим, что оператор L
Лиувилля, определен на пространстве M
, сопряженный к оператору
H
(E) не обязательно конеч-
∞
ных мер на фазовом пространстве E. Такие меры можно определить
путем задания интегралов по ним от всевозможных борелевских функций с компактными носителями, сужения которых на каждое из подпространств {F
r1, ..., r
} непрерывны. Эти интегралы, в свою очередь, опре-
n
деляются как пределы последовательностей интегралов по подпространствам {F
r1, ..., r
}. Если меры на подпространствах {F
n
ся их плотностями ψ
{ψ
r1, ..., r
: {r1, ..., rn}⊂N} определяет меру ν на E. Семейство та-
n
r1, ..., r
, то мы говорим, что семейство функций
n
r1, ..., r
} задают-
n
ких функций называется согласованным, если, каковы бы ни были конечное множество {r
ψ
r1, ..., r
(x1, ..., xk) = lim
k
при vol(V ) →∞;здесьV — шар с центром в нуле в F
, ..., rn} и его собственное подмножество {r1, ..., rk},
1
1
vol(V )
V
ψ
r1, ..., r
(x1, ..., xn)dx
n
r
, ..., r
k+1
...dx
k+1
и vol(V ) —
n
его объем.
Теорема 4. Пусть, для каждого конечного множества {r
натуральных чисел, g
r1, ..., r
— функция вещественного аргумента, при-
n
, ..., rn}
1
нимающая значения в пространстве (ограниченных непрерывных неотрицательных) функций на F
ций g
r1, ..., r
(t) является согласованным и определяет единственную ме-
n
r1, ..., r
, причем для каждого t семейство функ-
n
p
n
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕР 247
ру ν(t) на E. Тогда функция ν(·) является решением уравнения Лиувилля
относительно мер, если семейство функций g
r1, ..., r
представляет собой
n
решение следующей системы уравнений:
∞
g
k
, ..., k
1
(t)(·)=
n
m=1
{r1, ..., rm}⊂{k1, ..., kn}
+
{j1, ..., jp}={r1, ..., rm}∩{k1, ..., kn}
(g
{r1, ..., rm}∪{k1, ..., kn}
h
r1, ..., r
(...x
m
(t))
, ..., x
s
1
N→∞
lim
s
, ..., s
1
s
N
m−p
(g
1
m−p
m−p
...)dx
k1, ..., k
(...x
(t))(·)h
n
r1, ..., r
{r1, ..., rm}\{k1, ..., kn}∩{1, ..., N}
, ..., x
s
s
1
1
...dx
s
m−p
s
m−p
.
...)
m
(·)+
Замечание 5. Конечно, из того, что ν(·) — решение уравнения Ли-
увилля, не вытекает, что семейство g
r1, ..., r
(·) — решение этой системы
n
уравнений.
Замечание 6. В предположении, что для каждого t все функ-
ции g
r1, ..., r
(t) симметричны, из системы уравнений теоремы 4 вытекает
n
система уравнений, аналогичная системе уравнений Боголюбова. Отметим
также, что отличие системы уравнений из теоремы 3 от системы уравнений
из теоремы 4 состоит в том, что в последней одна из сумм заменена обобщенным чезаровским средним [9] (которое может существовать и тогда,
когда соответствующий ряд расходится).
Предложение 3. Пусть E = Q × P и E
и, в естественных обозначениях, H(q, p)=
= P × Q, I(p, q)=(q, −p)
2
p
j
(эта гамильтонова систе-
2m
ма описывает невзаимодействующие частицы). Пусть ν(·) — решение уравнения Лиувилля для вероятностных мер, причем конечномерные проекции
меры ν(0) на E удовлетворяют условиям теоремы 4 из [8]. Если Q
—ко-
n
нечномерное подпространство пространства Q и, для каждого t, P (t, ·) —
плотность проекции меры ν(t) на Q
подмножества K
и K2пространства Qn,
1
, то, каковы бы ни были компактные
n
P (t, q)dq
K
1
P (t, q)dq
K
2
где mes — мера Лебега на Q
n
mes K
mes K
1
,t→∞,
2
→
(так что можно сказать, что распределение
вероятностей на конфигурационном пространстве стремится к равномерному).
248 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Это — следствие теоремы 4 из [8].
Это предложение является некоторым усилением восходящего к Пуанкаре результата работы [6]. В ней оно фактически доказано для частного
случая, когда начальная вероятностная мера ν(0) является произведением
одинаковых одномерных вероятностных мер. Аналог этого предложения
справедлив и для квантовых систем (ср. [8]).
Литература
[1] Пуанкаре А. Избранные труды: Т. 3. М., 1974.
[2] Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов: Т. 5. М., 2006.
[3] Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара.
Свертка и представления. М., 1970.
[4] Смолянов О. Г., Фомин С. В. УМН, 1976, т. 31, № 4, с. 3–56.
[5] Smolyanov O. G., von Weizsaecker H. C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t. 321,
s´er. I, pp. 103–108.
[6] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. – Ижевск,
2002.
[7] Kozlov V. V. Regul. Chaotic Dyn., 2004, no. 1, pp. 23–34.
[8] Козлов В. В., Смолянов О. Г. ТВП, 2006, т. 51, вып. 1, с. 109–125.
[9] Аккарди Л., Смолянов О. Г. Докл. РАН, 2009, т. 424, вып. 5, с. 583–587.
ПРИЛОЖЕНИЕ B
Основания статистической механики и работы
Пуанкаре, Эренфестов и фон Неймана
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
Статистической механика изучает объекты, обычно макроскопические, состоящие из большого числа — обычно микроскопических — (квази)частиц; при этом, как правило, предполагается, что существует небольшое число различных сортов этих частиц и что все частицы одного сорта
одинаковы. Существенную роль в таком исследовании играет то обстоятельство, что доступные измерению «макроскопические» параметры не
определяют полностью («микроскопическое») состояние исследуемого объекта, из-за чего для описания этого состояния приходится использовать вероятностные методы.
Конечно, можно было бы ожидать, что результаты статистической механики будут существенно зависеть от того, строится ли она на основе классической или на основе квантовой механики. В действительности в части,
касающейся связи с термодинамикой, эта зависимость состоит лишь в том,
что в случае квантовой механики связанные с термодинамикой результаты
технически легче доказать; например, доказательство закона возрастания
энтропии в квантовой статистической механике оказывается возможным
провести без дополнительных предположений, тогда как в классической
статистической механике при этом приходится пользоваться предположениями о том, что соответствующие динамические группы обладают свойством
перемешивания, — предположениями, которые пока имеют статус гипотез.
Однако некоторые специальные эффекты, непосредственно не связанные
с термодинамикой (такие, как сверхтекучесть и сверхпроводимость), можно описать лишь в рамках квантовой статистической механики.
Можно сказать, что классическая статистическая механика, сформировавшаяся к концу девятнадцатого века и представленная практически
в окончательной форме в книге Дж. Гиббса [4], является, пожалуй, наиболее
ярким примером успеха некоторое время лежавшей в основе естественных
250 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
наук идеологии редукционизма, согласно которой поведение сложных объектов определяется поведением их частей.
Конечно, в квантовой механике ситуация совершенно иная, так как
состояние сложной системы больше не определяется однозначно состояниями ее частей; фактически именно благодаря этому и возникают такие
явления, как сверхтекучесть, сверхпроводимость и бозе-конденсация. Тем
не менее в ряде моделей квантовой статистической механики это обстоятельство не играет значительной роли. В этих моделях среди всех тех состояний составных систем, которые соответствуют известным состояниям
их частей, выбирается одно привилегированное состояние, представляющее собой подходящим образом симметризованное произведение состояний частей, так что центральная парадигма редукционизма вновь оказывается справедливой.
Ричард Фейнман считал, что ответом на вопрос, какова та единственная короткая фраза о накопленных человечеством научных знаниях, которая
содержит наибольшее количество информации, является следующее предложение: все тела состоят из атомов — маленьких телец, которые находятся
в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но
отталкиваются, если одно из них плотно прижать к другому (стоит заметить, что сам Фейнман называет это утверждение атомной гипотезой,добавляя, что можно называть его не гипотезой, а фактом, причем это ничего
не меняет). Именно на основе признания того, что атомы действительно
существуют, и возникла статистическая механика.
При этом, как писал Гиббс, несмотря на то, что статистическая механика исторически обязана своим возникновением исследованиям в области
термодинамики, представляется, что она вполне заслуживает независимого
развития как в силу элегантности и простоты ее принципов, так и потому,
что она приводит к новым результатам и проливает новый свет на старые
истины в областях, совершенно чуждых термодинамике. Более чем сто лет,
прошедшие с тех пор, когда эти слова были написаны, полностью подтвердили их справедливость.
Статистическая механика занимает промежуточное положение между
фундаментальными областями теоретической физики — электродинамикой,
классической и квантовой механикой — и чисто феноменологическими теориями сплошных сред, вроде теории упругости и гидродинамики. В отличие от первых трех теорий (Пенроуз называл их фантастическими из-за
невероятно точного совпадения даваемых ими предсказаний с результатами
наблюдений), в основе которых лежат постулируемые уравнения, описывающие, как принято говорить, законы природы, в основе статистической
механики лежат гипотезы, которые, как предполагается, являются следстви-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]