Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 211
стороны, функция Вигнера, описывающая поведение квантовых частиц на
окружности, представляет собой сумму, каждое из слагаемых которой или
само является δ-функцией (по p), или содержит ее к качестве сомножителя,
из-за чего условия теорем 3 и 4 не выполняются. С другой стороны, для
классических частиц (на окружности) вероятность на фазовом пространстве может обладать даже гладкой плотностью, что и позволяет применить
для исследования предельного поведения соответствующей ей плотности
вероятности на конфигурационном пространстве методы, аналогичные описанным в предыдущем разделе, как это и было впервые сделано в книге [3].
Литература
[1] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные тру-
ды: Т. 3. М., 1974. С. 385–412.
[2] Wigner E. On the quantum сorrection for thermodynamic equilibrium //
Phys. Rev., 1932, vol. 40, pp. 749–759.
[3] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. – Ижевск,
2002.
[4] Kozlov V. V. Notes on diffusion in collisionless medium // Regul. Chaotic
Dyn., 2004, no. 1, pp. 23–34.
[5] Walls D.F., Milburn G. J. Quantum optics. Berlin, 1994.
[6] Folland G. B. Harmonic analysis in phase space. Princeton,NJ, 1989.
[7] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика: Ч. 1. М., 1976.
[8] Kim Y. S., Noz M. E. Phase space picture of quantum mechanics: Group
thеoretical approach. World Sci., 1991.
[9] Lee H.-W. Spreading of a free wave packet // Amer. J. Phys., 1982, no. 5,
pp. 438–440.
[10] Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory// Proc. Cambridge
Phil. Soc., 1949, vol. 5, pp. 99–124.
[11] Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.) Введение в квантовую стати-
стическую механику. М., 1984.
[12] Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М., 1979.
Слабая сходимость состояний
в квантовой статистической механике
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
В сообщении обсуждается сходимость (в определяемом далее смысле)
начального состояния квантовой системы к микроканоническому распределению. Полученные результаты имеют ряд точек соприкосновения с результатами работы [1] фон Неймана, однако постановки задачи в работе
фон Неймана и в нашей работе (содержащей, в частности, квантовую версию некоторых результатов главы 2 книги [2]) существенно различны.
Помимо ставшего классическим определения энтропии квантовой системы как информационной энтропии ее оператора плотности [3] (см. также [4] и обсуждение ниже), фон Нейман рассматривал еще одно определение квантовомеханической энтропии (принадлежащее, как отмечается в его
работе [1], Ю. Вигнеру), являющееся в действительности одной из квантовых версий определения грубой энтропии [7]. При этом фон Нейман доказал, что среднее по времени энтропии Вигнера возрастает (см. [1, 3, 4]);
обсуждение этого результата фон Неймана и некоторые критические замечания о его интерпретации можно найти в [11] и в цитированных там
работах. С другой стороны, хорошо известно, что информационная энтропия фон Неймана, подобно энтропии Гиббса в классическом случае [10],
является интегралом движения (см., например, [9]), так что она заведомо
не может всегда совпадать с возрастающей термодинамической энтропией неравновесного состояния (считается, что информационные энтропии
канонического и микроканонического состояний совпадают с термодинамической энтропией равновесного состояния).
Энтропия Вигнера определяется как информационная энтропия некоторого (фиктивного) состояния рассматриваемой квантовой системы, в котором все названные в работе [1] макроскопическими наблюдаемые обладают теми же средними значениями, что и в существующем на самом деле
состоянии квантовой системы (аналогичное определение энтропии приведено в примечании Д. В. Зубарева на стр. 178–179 книги [8]; применения
1
Доклады РАН, 2007, т. 417, № 2, с. 180–184.
1
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ 213
информационной энтропии в квантовой механике обсуждаются в книгах [5]
и [6]). Энтропия Вигнера является специальным случаем введенной в нашей работе [4] F -энтропии (F — множество наблюдаемых); при этом F -энтропия состояния ν квантовой системы определяется как верхняя грань информационных энтропий всех тех состояний, в которых наблюдаемые из
множества F обладают теми же средними значениями, что и в рассматриваемом состоянии. Если эта верхняя грань конечна, то она достигается
на некотором аналогичном микроканоническому состоянии Q
(ν), которое
F
естественно называть квазимикроканоническим состоянием, порождаемым
множеством F и состоянием ν. Если при этом множество F содержит только один элемент — проектор на подпространство гильбертова пространства
рассматриваемой квантовой системы, порожденное собственными векторами гамильтониана, содержащимися в отрезке [E − ε, E + ε],—то,каково
бы ни было состояние ν, Q
диционном смысле (соответствующее этому отрезку).
состоит из всех макроскопических наблюдаемых [1], то Q
(ν) — это микроканоническое состояние в тра-
F
2
Если множество F
(ν) — это то со-
F
стояние, информационная энтропия которого считается энтропией Вигнера
исходного состояния ν.
В предлагаемом сообщении показано, что если ν (t) — состояние си-
стемы в любой момент t 0, то при подходящем выборе начального состояния ν(0) разность состояний ν(t) и Q
(ν(t)) при возрастании времени
F
стремится к нулю в слабой топологии пространства состояний, задаваемой описываемым в сообщении множеством наблюдаемых. Так как эволюция квантовой системы определяется уравнениями, инвариантными относительно обращения времени, то эта разность стремится к нулю в той же
топологии и при t →−∞(при этом как здесь, так и далее пределы пони-
маются в смысле Чезаро). В частности, в той же топологии состояние ν(t)
(а значит, и Q
следнее утверждение можно считать «слабой версией» эргодической тео-
4
ремы.
(ν(t))) стремится при t →±∞к микроканоническому3;по-
F
2
В работе фон Неймана [1] микроканоническим называется квазимикроканоническое состояние Q
рующих с гамильтонианом.
3
правдоподобным, что при увеличении множества F скорость стремления разности состояний ν(t) и Q
символ A
мент t
= Q
4
обязана стремиться к нулю, так как информационная энтропия состояния ν(t) не зависит от
(ν), порождаемое множеством F всех макроскопических наблюдаемых, коммути-
F
Мы не рассматриваем здесь скорость сходимости к пределу; тем не менее представляется
(ν(t)) к нулю также возрастает. Отметим еще, что если, для t2 t1 0,
F
t
2
обозначает эволюционный оператор, переводящий состояние системы в мо-
t
1
в состояние системы в момент t2, то, вообще говоря, A
1
t
(A
ν(0)).
F
0
Разумеется, разность информационных энтропий состояний ν(t) и QF(ν(t)) отнюдь не
t
(QF(ν(0))) = QF(ν(t)) =
0
214 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Кроме того, мы рассматриваем две интерпретации квантовой системы
как бесконечномерной гамильтоновой системы. При одной из них фазовым пространством является гильбертово пространство квантовой системы, наделенное симплектической структурой, порожденной его комплексной структурой. При другой — соответствующее проективное гильбертово
пространство. В обоих случаях оказывается, что как при возрастании, так
и при убывании времени разность классических состояний, сопоставленных только что обсуждавшимся квантовым состояниям, стремится к нулю в слабой топологии на множестве классических состояний (т.е. мер на
фазовом пространстве), задаваемой некоторыми квадратичными формами.
Конечно, ни в одном из этих случаев разность информационных энтропий
сравниваемых состояний не может стремиться к нулю, так как информационная энтропия как состояния S, так и его классического образа являются
интегралами движения.
1. Предварительные сведения. Мы применяем терминологию из [4];
сейчас мы напомним некоторые из использовавшихся там определений. Если μ и ν — (счетно-аддитивные неотрицательные) меры на измеримом пространстве (Ω, B),причемν(Ω) = 1 (т. е. ν — вероятность) и ν абсолютно
непрерывна относительно μ, то информационной энтропией меры ν относительно μ называется число S(ν, μ), определяемое равенством
dν
dν
ln
S(ν, μ)=−
dμ
Ω
dμ
dμ.
Если мера ν сосредоточена на счетном подмножестве O множества Ω и μ —
считающая мера на O, то информационная энтропия S(ν) меры ν —это
информационная энтропия меры ν относительно μ,т.е.S(ν)=S(ν, μ).
Состояние квантовой системы может быть задано любой вероятностной борелевской мерой ν на комплексном сепарабельном гильбертовом
пространстве системы
дающим с оператором плотности фон Неймана
5
, обладающей ковариационным оператором, совпа-
6
. Ограниченная квантовая
наблюдаемая отождествляется с ограниченным самосопряженным оператором в том же гильбертовом пространстве. При этом предполагается, что
времени, а информационная энтропия состояния QF(ν(t)) (она и называется F -энтропией
состояния ν(t)) возрастает. С другой стороны, именно то обстоятельство, что асимптотически
(при t →±∞) состояния ν(t) и Q
ей), делает естественным введенное в [4] определение F -энтропии.
5
Оно является фазовым пространством бесконечномерной классической гамильтоновой си-
стемы, сопоставляемой рассматриваемой квантовой системе при первой интерпретации.
6
Среди них существует в точности одна гауссова мера с нулевым средним.
(ν(t)) неразличимы (если пользоваться слабой топологи-
F
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ 215
если ν — вероятностная борелевская мера, задающая состояние r квантовой
системы, и A — ограниченная квантовая наблюдаемая, то(Ax, x)ν(dx) —
среднее значение результатов измерений наблюдаемой A, производимых на
копиях квантовой системы, каждая из которых находится в состоянии r.
Таким образом,
(Ax, x)ν(dx)=trAT,
где T — корреляционный оператор меры ν,т.е.операторплотностифон
Неймана (T =(x ⊗ x)ν(dx)). Сказанное содержит постулат фон Неймана
о связи наблюдаемых и состояний с результатами эксперимента.
Состояние классической гамильтоновой системы отождествляется с вероятностной борелевской мерой на ее фазовом пространстве. Ограниченная классическая наблюдаемая отождествляется с измеримой ограниченной функцией на фазовом пространстве системы. Если ν и f — состояние
и наблюдаемая гамильтоновой системы, тоf(x)ν(dx) — среднее значение
результатов измерений наблюдаемой f , производимых на копиях гамильтоновой системы, каждая из которых находится в состоянии ν.
Множество всех состояний рассматриваемой классической или квантовой системы обозначается через R. Для каждого состояния r ∈Rсимвол S(r) обозначает (определяемую ниже) его информационную энтропию.
Если состояние r классической системы задается мерой, сосредоточенной на счетном подмножестве фазового пространства, то информационной
энтропией состояния r называется информационная энтропия этой меры.
Для квантовой системы среди вероятностных мер на гильбертовом
пространстве, задающих состояние r
рой является множество {e
} нормированных собственных векторов опе-
n
,существуетмераr, носителем кото-
ратора плотности T , соответствующего состоянию r. При этом информационная энтропия S(r) этого состояния — это, по определению, информационная энтропия меры
,такчто
r
S(r)=−tr T ln T = −
)lnr(en).
r(en
Информационная энтропия любой другой меры со счетным носителем, задающей то же самое квантовое состояние, не меньше, чем S(r). Если гильбертово пространство квантовой системы конечномерно, то информационную энтропию можно определить также для всякой вероятностной меры ν,
абсолютно непрерывной относительно меры μ на гильбертовом пространстве, задаваемой его скалярным произведением, как информационную энтропию относительно μ. Если мера ν задает состояние квантовой системы, то его информационная энтропия будет меньше, чем информацион-
216 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
ная энтропия такой меры. Таким образом, при исследовании энтропийных
свойств таких квантовых систем задание их состояний мерами, абсолютно
непрерывными относительно меры μ, в частности, гауссовыми мерами, не
является естественным.
2. Определение квазимикроканонического состояния. Для каждого состояния ν квантовой системы и каждого множества F ее ограниченных наблюдаемых символ R
определяемое соотношением: ρ ∈ R
вол R(F, ν) обозначает подмножество множества R
(F, ν) обозначает подмножество множества R,
1
1
(F, ν),состоящееиз
1
состояний, задаваемых операторами плотности, области значений которых
являются подпространствами линейной оболочки H
множества собствен-
1
ных векторов оператора Гамильтона, соответствующих собственным значениям, содержащимся в отрезке [E −ε, E + ε],гдеε>0 и E>0 считаются
далее фиксированными.
Для каждого подмножества F множества всех ограниченных наблюдаемых квантовой или классической системы F-энтропией состояния ν ∈Rэтой системы называется [4] число S
ством S
(ν)=sup{S(r): r ∈ R(F, ν)}.ЕслиSF(ν) < ∞,тосуществует
F
(ν), определяемое равен-
F
единственное состояние r ∈ R(F, ν), на котором верхняя грань достигается; это состояние обозначается символом Q
= S(Q
(ν)).
F
Определение 1. Пусть S
(ν) < ∞. Тогда квазимикроканоническим
F
(ν). Таким образом, SF(ν)=
F
состоянием, порождаемым множеством F и состоянием ν, называется состояние Q
(ν) ∈ R(F, ν).
F
Замечание 1. Если F содержит только один элемент — ортогональный
проектор P
на некоторое векторное подпространство K пространства H1,
K
а состояние ν задается оператором плотности, образ которого содержится
в образе проектора P
,тоQF(ν)=PK.
K
Замечание 2. Пользуясь техникой оснащенных гильбертовых пространств, можно было бы ввести определение квазимикроканонического
состояния, не предполагая, что S
(ν) < ∞. Однако такое состояние не
F
может принадлежать исходному гильбертову пространству.
3. Классические модели. Отображение, переводящее квантовые системы в классические, мы будем называть деквантованием (нашей целью
здесь не является формализация этого понятия). В этом разделе описаны
два деквантования. Хотя они достаточно хорошо известны, ряд их свойств
явно не отмечался. В частности, подобно операции квантования, рассматриваемые деквантования могут не коммутировать с некоторыми преобразованиями (эти явления, как и в квантовом случае, естественно называть
аномалиями).
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ 217
Симплектическое локально выпуклое пространство (ЛВП) — это пара (E,I),гдеE — вещественное ЛВП и I — (определяющее симплектическую структуру) линейное отображение сопряженного к E пространства E
такое, что I
, наделенного подходящей локально выпуклой топологией, в E,
∗
= −I . Гамильтонова система (с линейным фазовым про-
странством) — это набор (E,I, H),где(E,I)) — симплектическое ЛВП
и H — числовая функция на E, называемая функцией Гамильтона. Уравнение f
(t)=I(H(f(t)), относительно функции f : R → E называется
уравнением Гамильтона для гамильтоновой системы (E,I, H).
Пусть H — комплексное гильбертово пространство квантовой системы,
H — ее гамильтониан, H
: HR→ H, h → ih, i =√−1. Тогда пара (HR,IH) представляет собой
I
H
— овеществление гильбертова пространства H ,
R
симплектическое ЛВП.
Пусть еще b
(x)=
H
1
(Hx, x) для x ∈ H. Тогда набор (HR,IH,bH)
2
представляет собой гамильтонову систему, уравнение Гамильтона для которой совпадает с уравнением Шрёдингера для исходной квантовой системы.
Вероятностная мера ν на H , задающая состояние квантовой системы,
задает также состояние бесконечномерной классической гамильтоновой
системы (H
R,IH,bH
сопоставить классическую наблюдаемую b
); если при этом каждой квантовой наблюдаемой A
(x)=(Ax, x),товсоот-
A,bA
ветствии со сказанным выше средние значения результатов измерений
квантовой наблюдаемой и сопоставленной ей классической наблюдаемой
будут одинаковы. Описанный переход от квантовой системы к классической и представляет собой одну из операций деквантования, о которых
шла речь. Чтобы описать второй вариант деквантования, следует перейти
от гильбертова фазового пространства гамильтоновой системы, получающегося в результате только что описанного деквантования, к соответствующему проективному гильбертову пространству. Следует однако подчеркнуть, что вероятностные распределения результатов измерений соответствующих друг другу квантовой и классической наблюдаемых в обоих
случаях могут быть совершенно различны. Еще одна аномалия этих деквантований состоит в том, что на квантовом уровне переход к составным системам реализуется с помощью тензорного умножения соответствующих пространств, тогда как на классическом уровне — с помощью
декартова умножения. Эта аномалия означает невозможность интерпретации элементов фазовых пространств гамильтоновых систем, получаемых
в результате таких деквантований, как так называемых «скрытых параметров», определяющих результаты экспериментов над квантовыми системами.
218 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
4. Основные результаты. Далее предполагается, что оператор Гамильтона имеет чисто дискретный простой спектр, F, F
множества наблюдаемых, E = {e
ства H
, состоящий из собственных векторов гамильтониана H, η0—рав-
1
} — ортонормированный базис простран-
n
и F2—конечные
1
номерная мера на H.СимволомA обозначается подмножество пространства H
=
, определяемое так: A ∈Aв том и только в том случае, если A =
1
anen,где|an| = |ak| для всех n, k ∈ N;символνAобозначает множе-
n
ство состояний квантовой системы, задаваемых мерами, сосредоточенными на множестве A.ПустьP — (какое-нибудь) множество попарно ортогональных подпространств пространства H
которых совпадает с H
, F1— векторное пространство конечных линей-
1
, линейная оболочка объединения
1
ных комбинаций ортогональных проекторов на подпространства, являющиеся элементами множества P,иF — подпространство пространства F
состоящее из операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Пусть τ
q
слабая топология в пространстве состояний квантовой системы, задаваемая элементами из F
фовой), и τ
темы (H
— топология в пространстве состояний гамильтоновой сис-
c
R,IH,bH
(конечно, эта топология может не быть хаусдор-
1
), задаваемая множеством функций {bA: A ∈ F1} (она
нехаусдорфова).
Теорема 1. Если функция ν :[0, ∞)→R описывает эволюцию кванто-
вой системы с гамильтонианом H и начальным состоянием ν(0) ∈ ν
t
1
t
0
ν(t) → P
H
1
A
,то
при t →±∞в топологии τq.
Доказательство аналогично доказательству основного результата рабо-
ты [4]. Пусть ν(0) =
Пусть F = {P
T
1
ные векторные подпространства пространства H
единения которых совпадает с H
через {e
чем e
k
} обозначим ортонормированный базис в пространстве Tk, при-
j
k
j
k
=
c
jp
p
тор, задающий чистое состояние квантовой системы в момент t, где c
собственные значения гамильтониана, относящиеся к собственным векторам e
. Тогда для всех допустимых k, j справедливо равенство (ν(t),e
p
=a
k
icpt
e
c
p
,гдесимвол(·, ·) обозначает скалярное произведение в гиль-
jp
, ..., P
anen,причем|an| =
n
},гдеTj,j =1, ..., n — попарно ортогональ-
T
n
. Далее, для каждого k ∈{1, 2, ..., n}
1
1
dim H
, линейная оболочка объ-
1
для всех n ∈ N.
1
ep. Для каждого t 0 пусть ν(t)=ape
icpt
ep—век-
p
k
j
)=
бертовом пространстве H , а черта над символом c — комплексное сопряже-
,
1
—
—
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ 219
ние. Поэтому
P
j
2=
H
k
1
dim H
dim H
=
dim H
1
|c
p
k
+
1
j
k
jp
p1=p
|2+
a
a
p
p
j
p1=p
a
a
p
p
1
2
1
2
i(c
−c
p
p
1
e
2
Из этого равенства и вытекает заключение теоремы.
Теорема 2. В предположениях предыдущей теоремы
t
1
(QF(ν(t)) −ν(t)) → 0
t
0
2
2
i(c
e
)tck
jp
−c
)tck
p
p
1
2
k
c
jp
1
2
k
c
jp
=
jp
1
2
.
при t →±∞в топологии τ
.
q
Эта теорема является усилением предыдущей и ее доказательство со-
вершенно аналогично.
Замечание 3. Можно доказать справедливость заключения теоремы 1
и без предположения ν(0) ∈ ν
на множества F и F
и воспользоваться рассуждениями, похожими на ис-
1
, если наложить дополнительные условия
A
пользованные в работах [1] и [11].
Из теоремы 2 вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и пусть η(t),
t ∈ (0, ∞) —этомеранаH
, задающая состояние QF(ν(t)).Тогда
на H
R
при t →±∞в топологии τ
, задающая состояние ν(t), а ηF(t) —мера
R
t
1
(ηF(t) −η(t)dt → 0
t
0
.
c
Следствие 1. Если выполнены предположения теоремы 2, то
t
1
t
0
η(t) → η
0
при t →±∞в топологии τc.
Аналог теоремы 3 справедлив и для второго варианта деквантования.
220 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
О. Г. Смолянов благодарит за поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (грант 06-01-00761-а) и Министерство образования
и науки Испании (грант SAB2005-0200).
Литература
[1] von Neumann J. Zs. f. Phys., 1929, vol. 57, pp. 30–70.
[2] Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М.–Ижевск,
2002.
[3] фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. М.,
1964.
[4] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Докл. РАН, 2006, т. 411, вып. 5, с. 587–590.
[5] Alicki R., Fannes M. Quantum dynamical systems. Oxford, 2001.
[6] Ohia M., Petz D. Quantum entropy and its use. Berlin, 1993.
[7] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные тру-
ды: Т. 3. М., 1974. С. 385–412.
[8] Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М., 1980.
[9] Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.) Введение в квантовую стати-
стическую механику. М., 1984.
[10] Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. М., 1946.
[11] Farquahar I. E. Ergodic theory in statistical mechanics. London, 1964.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]