Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 251
ями этих законов, но которые пока не доказаны. В то же время статистическая механика может применяться для вывода уравнений, используемых
в феноменологических теориях.
Несколько замечаний о терминологии. Предисловие к недавно вышедшей книге [30] начинается следующей фразой: «Статистическая физика состоит из статистической механики и статистической термодинамики». При
этом под статистической механикой автор имеет в виду все ее применения, не связанные с термодинамикой. С другой стороны, в предисловии
к последнему изданию книги [16] написано, что статистическая механика
представляет собой лишь теорию равновесных явлений.
Наше понимание термина статистическая механика полностью совпадает с пониманием Гиббса, а также Пуанкаре и Пригожина, причем
этот термин мы считаем равносильным термину статистическая физика.
Статистическая механика — это теория, целью которой является изучение
динамики систем, состоящих из большого числа однотипных частей и находящихся в неточно описанных состояниях (которые могут быть как равновесными, так и неравновесными). Как и точная (т. е. нестатистическая) механика, статистическая механика может быть классической или квантовой.
Дальнейшее изложение организовано следующим образом. Первый
раздел содержит ряд общих замечаний об основаниях статистической механики; при этом, с одной стороны, мы явно формулируем предположения,
используемые в статистической механике с момента ее создания, и, с другой стороны, отмечаем то новое, что было введено в обиход фактически
лишь в последнее десятилетие. Важнейшим здесь является теория слабых
пределов.
В следующем разделе рассматриваются меры на бесконечномерных
пространствах и уравнения относительно них; важнейшим для статистической механики уравнением такого рода является уравнение Лиувилля,
описывающее эволюцию вероятностных мер как на (бесконечномерном)
классическом фазовом пространстве, так и — в квантовом случае — на бесконечномерном гильбертовом пространстве. Отметим, что введение именно
бесконечномерного фазового пространства позволяет избежать использования понятия термодинамического предела.
В третьем разделе мы, пользуясь введенными во втором разделе понятиями, приводим перечень основных предположений, используемых в статистической механике. В частности, в одном из этих постулатов речь идет
о применении в статистической механике слабой сходимости мер. Стоит
подчеркнуть, что именно включенные в настоящее издание работы Пуанкаре и Эренфестов (а отчасти и работа фон Неймана) явились исходной точкой исследований, которые привели к явной формулировке (см. [68], [69]
252 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
и имеющиеся там ссылки) связи между слабой сходимостью мер и законом
возрастания энтропии. По нашему мнению, осознание этой связи явилось
важнейшим за последние десятилетия достижением в основаниях статистической механики.
Последний, четвертый, раздел содержит ряд дополнительных замечаний, в частности, здесь кратко обсуждаются парадокс Гиббса и некоторые
задачи статистической механики релятивистских частиц.
Мы отказались от включения в издание подробных комментариев
к каждой из представленных здесь классических работ. Вместо этого мы дополнили издание пятью нашими статьями, содержащими развитие идей работ Пуанкаре и фон Неймана. Кроме того, подробные комментарии к включенной в это издание работе Пуанкаре можно найти в книге [69]; ряд комментариев к работе фон Неймана из настоящего издания, а также некоторые
критические замечания, в основном сводящиеся к тому, что в статье фон
Неймана содержатся некоторые избыточные предположения, можно найти
в книге [63].
Здесь мы отметим лишь, что помимо первой в литературе модели, демонстрирующей необратимое, но инвариантное относительно обращения
времени поведение, и первого (хотя и неявного) примера использования понятия слабого предела (см. [68, стр. 98]), в работе Пуанкаре содержится довольно подробный анализ совершенно конкретной модели, и доказывается,
что и в этом случае обычные законы термодинамики не нарушаются. В этой
части работы Пуанкаре весьма элегантно использует постоянство информационной энтропии (называемой им тонкой энтропией математиков).
1. Основания статистической механики. Общие замечания. В статистической механике обычно предполагается, что рассматриваемые состояния изучаемых систем — как классических, так и квантовых — заданы
менее детально, чем это теоретически возможно. Такие состояния определяются в классическом случае мерами на фазовом пространстве, а в квантовом случае — операторами плотности, или, эквивалентным образом, (вероятностными) мерами на гильбертовых пространствах чистых состояний,
корреляционными операторами которых являются операторы плотности.
Преимуществом операторов плотности является то, что они однозначно
определяются по состоянию, тогда как мера по заданному корреляционному оператору определяется отнюдь не однозначно (впрочем, среди таких
мер существует ровно одна гауссова мера с нулевым средним); в то же время использование мер на гильбертовых пространствах является интуитивно
очень наглядным.
Конечно, фундаментальное значение имеет вопрос о том, как связа-
ны эти описания состояния с результатами эксперимента. Для некоторых
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 253
специальных состояний, не зависящих от времени (они называются равновесными), постулируется их связь с температурой, энтропией и другими
макроскопическими наблюдаемыми. Кроме того, для вычисления временн´ых флуктуаций всех этих наблюдаемых необходимо постулировать, что
(в случае классической системы) распределения вероятностей (по крайней
мере, некоторых) наблюдаемых совпадают с теми, которые определяются
подходящими чезаровскими средними результатов наблюдений над индивидуальной системой. Пожалуй, большая статья Эренфестов, включенная
в настоящее издание, — это единственный монографический текст по статистической механике, где об этом сказано явно и четко (например, на стр. 83
с иронией говорится о том, что «вероятность» трактуется в зависимости от
необходимости то как соотношение отрезков времени, то как относительная
частота различных статистических ансамблей, и что таким образом одна
формулировка плавно переходит в другую). Разумеется, такое совпадение
имеет место (с вероятностью единица) для эргодических систем, но, как
хорошо известно, до сих пор не существует эффективных методов доказательства эргодичности систем классической механики. Здесь стоит заметить, что замечания о проблеме эргодичности, содержащиеся в некоторых
известных учебниках и монографиях по статистической механике, производят довольно странное впечатление. В частности, в предисловии к своей
книге [14] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц пишут, что проблема эргодичности
не имеет отношения к рассматриваемому в книге кругу вопросов, тогда как
в самом тексте этой книги постоянно отождествляются (без каких бы то ни
было объяснений или комментариев) те два определения вероятности, о которых писали Эренфесты, что можно сделать лишь при условии эргодичности. С другой стороны, во втором томе книги Р. Балеску [47] сказано, что,
по-видимому, эргодичность не слишком важна для статистической механики, так как бывают эргодические системы, состоящие из небольшого числа
частиц. Даже в замечательной книге [67] авторы, отмечая, что в литературе
существуют разные мнения насчет роли эргодичности в статистической механике, не присоединяются ни к одному из них. В действительности важна
не только эргодичность, но и более сильное свойство — перемешивание,
так как именно из этого свойства заведомо вытекает слабая сходимость вероятностных мер. Конечно, сразу же следует подчеркнуть, что играющую
важнейшую роль слабую сходимость в некоторых ситуациях можно доказать и непосредственно, не опираясь на свойство перемешивания, которое
при современном состоянии науки в большинстве реалистических ситуаций доказательству не поддается.
Эволюция состояний описывается уравнением Лиувилля; в класси-
ческом случае оно представляет собой уравнение относительно мер на
254 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
фазовом пространстве (которые не обязательно являются вероятностными), в квантовом — или уравнение относительно оператора плотности
(сопряженное к уравнению Гейзенберга, описывающему эволюцию наблюдаемых), или уравнение относительно мер на гильбертовом пространстве.
Если решение одного из таких уравнений не зависит от времени, то
оно описывает равновесную ситуацию, и считается, что в этом случае информационная энтропия соответствующего состояния (или ее усреднение
по пространственной переменной) совпадает с термодинамической энтропией. В неравновесной ситуации это совершенно не так, поскольку, в отличие от термодинамической энтропии, информационная энтропия является
динамическим инвариантом (как в квантовом, так и в классическом случае).
И именно введение понятия слабой сходимости [68,69] спасает положение.
Подробно это понятие обсуждается в книгах [68] и [69], а также во включенных в настоящее издание наших статьях «Информационная энтропия
в задачах классической и квантовой статистической механики» и «Слабая
сходимость состояний в квантовой статистической механике». Здесь мы отметим лишь, что скорость изменения энтропии, вычисляемая с помощью
такого подхода, зависит от размерности пространства, задающего слабую
топологию; если эта размерность конечна, то и скорость возрастания конечна; при бесконечной размерности энтропия возрастает лишь асимптотически. Такая зависимость от пространства, задающего слабую топологию,
представляется вполне естественной, так как она является математическим
отражением того, что при релаксации термодинамической системы к равновесному состоянию скорость релаксации различных параметров может
быть существенно различной. При этом если размерность пространства E,
задающего слабую топологию, конечна (в этом случае она нехаусдорфова),
то считается, что с термодинамической энтропией состояния ν совпадает
верхняя грань информационных энтропий состояний из пересечений всех
слабых окрестностей состояния ν.
Проблема определения энтропии неравновесных состояний является
только частным случаем проблемы о связи между обратимостью как квантовой, так и классической динамики, с одной стороны, и необратимостью
эволюции макроскопических систем, изучаемых термодинамикой, с другой.
Сразу же заметим, что при подходе, о котором только что шла речь, изменение энтропии (определяемой, как только что было сказано), оказывается
инвариантным относительно обращения времени, так что энтропия будет
возрастать как при неограниченном возрастании, так и при неограниченном убывании времени. Следует подчеркнуть, что при получении функции,
описывающей изменение энтропии, не используются никакие упрощающие
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 255
предположения, чем и объясняется ее симметрия относительно обращения
времени.
Отметим также, что уравнения, описывающие (необратимое) изменение плотности идеального газа в моделях типа тех, которые были введены
Пуанкаре в его работе, включенной в настоящее издание, также оказываются инвариантными относительно обращения времени, хотя само это изменение оказывается необратимым (как при неограниченном возрастании,
так и при неограниченном убывании времени).
2. Гладкие меры на бесконечномерных пространствах. Впервые
меры на бесконечномерных (векторных) пространствах стали появляться — начиная с двадцатых годов прошлого века — в связи с построением теории случайных процессов. В то время основной проблемой было
нахождение условий счетной аддитивности цилиндрических мер, что означало характеризацию свойств выборочных функций случайных процессов.
Первыми теоремами в этом направлении стали теорема Колмогорова о согласованных вероятностях (называемая также теоремой Даниэля– Колмогорова), согласно которой, если пользоваться современной терминологией, всякая (неотрицательная) цилиндрическая мера на счетном произведении вещественных прямых счетно-аддитивна, и теорема Винера о счетной
аддитивности меры Винера. Обобщением этой теоремы Колмогорова является появившаяся почти на тридцать лет позже и фактически также восходящая к Колмогорову теорема (обычно называемая теоремой Минлоса –
Сазонова), играющая в теории обобщенных случайных процессов примерно ту же роль, что и теорема Колмогорова о согласованных вероятностях
в теории классических случайных процессов. Первое усиление теоремы
Винера также было получено Колмогоровым в качестве критерия непрерывности траекторий (= выборочных функций) произвольного случайного процесса. Стоит подчеркнуть, что счетную аддитивность меры Винера
и тем более теорему Колмогорова о непрерывности выборочных функций
с помощью теоремы Минлоса – Сазонова доказать нельзя. Это объясняется тем, что преобразование Фурье меры Винера не является непрерывным
в естественной топологии Сазонова. Отметим еще теорему Гросса о мерах
на абстрактном винеровском пространстве, доказательство которой является аксиоматизацией доказательства теоремы Винера. При этом Гросс ввел
довольно полезное понятие измеримой нормы на пространстве с так называемой канонической гауссовой мерой; небольшая модификация этого
понятия позволила в дальнейшем [72] прояснить и еще больше упростить
принадлежащий опять-таки Колмогорову вариант доказательства теоремы
Минлоса – Сазонова, одновременно усилив и саму теорему. Наконец, стоит
отметить, что эта последняя теорема была распространена и на знакопере-
256 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
менные меры (большую часть перечисленных фактов можно найти в работах [70]– [73]).
В середине двадцатого века внимание специалистов привлекли также
условия компактности семейств мер на «произвольных» (т.е. не обязательно являющихся векторными пространствами или многообразиями) топологических пространствах. Основным достижением здесь явилась сразу же
ставшая классической теорема Прохорова; самим автором она была доказана для (счетно-аддитивных борелевских) мер на сепарабельных метрических пространствах, однако в дальнейшем она была распространена
и на меры на вполне регулярных пространствах (см. [70] и имеющиеся там
ссылки). С помощью этой теоремы были доказаны разнообразные теоремы
о сходимости случайных процессов.
Однако до середины шестидесятых годов речь отнюдь не шла о построении для мер анализа в традиционном смысле, т.е. дифференциального
и интегрального исчисления.
Необходимость построения такого анализа вызвана тем, что из-за отсутствия на бесконечномерных пространствах аналога меры Лебега
1
при
построении дифференциального и интегрального исчислений на бесконечномерных пространствах полезно (а фактически необходимо ) параллельно
рассматривать два класса объектов: дифференцируемые функции и дифференцируемые меры. Это связано со следующими обстоятельствами. С одной стороны, меры на бесконечномерных пространствах нельзя заменять их
плотностями относительно естественным образом выделенной меры. Кроме того, дополнительные сложности возникают из-за того, что никакие два
пространства гладких числовых функций, определенных на одном и том
же бесконечномерном ЛВП и различающие точки, нельзя привести в естественную двойственность (для которой был бы справедлив аналог формулы
интегрирования по частям), и в качестве двойственных пространств следует
рассматривать пространства функций и мер. Наконец, если все же использовать вместо меры Лебега какую-либо фиксированную меру, например,
гауссову (как это делается в так называемом White noise analysis), то при
построении анализа снова окажется необходимым, чтобы эту выделенную
меру можно было дифференцировать.
Построение анализа для мер началось лишь с середины шестидесятых годов, когда С. В. Фомин впервые явно сформулировал понятие дифференцируемой меры (вдоль вектора). Определения дифференцируемости
1
Как это следует из известной теоремы Андре Вейля, всякая счетно-аддитивная σ-конеч-
ная локально конечная борелевская мера на локально выпуклом пространстве (ЛВП), инвариантная относительно сдвигов, тождественно равна нулю (от локальной конечности здесь
отказаться нельзя).
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 257
меры вдоль вектора и вдоль векторного поля приводятся в нашей статье
«Бесконечномерные уравнения Лиувилля относительно мер», включенной
в настоящее издание.
Цилиндрическая мера ν на локально выпуклом пространстве E называется дифференцируемой вдоль вектора (= направления) h ∈ E,если существует функция β
изводной меры ν вдоль h, для которой равенство
f(x)hν(dx) справедливо для всякой цилиндрической функции, один
= −
E
раз дифференцируемой вдоль h и ограниченной вместе с ее производ-
ной f
(·)h вдоль h. Аналогично определяются дифференцируемость и лога-
рифмическая производная β
при этом β
ν
(x)=βν(k(x),x)+trk(x) (см. [75]). Отметим — и этот факт
k
ν
(h, ·) на E, называемая логарифмической про-
f(x)βν(h, x)ν(dx)=
E
ν
(·) меры ν вдоль векторного поля k: E → E;
k
существенно используется в нашей статье, — что если векторное поле k
гамильтоново, то второе слагаемое в выражении для производной вдоль k
отсутствует, причем это утверждение является бесконечномерным аналогом
теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема.
Это определение дифференцируемости вдоль вектора отличается от
предложенного С. В. Фоминым, но для счетно-аддитивных мер ему эквивалентно. Первое подробное изложение основ теории дифференцируемых
мер появилось в [74], где, среди прочего, было впервые введено понятие
логарифмической производной меры вдоль направления — важнейшее понятие всей теории. Отметим, хотя нам это дальше не потребуется, что
логарифмическая производная меры Винера вдоль векторного поля совпадает со стохастическим интегралом от функции, определяемой по нему
(см., например, [79]). Кроме того, логарифмическая производная меры ν
вдоль векторного поля k совпадает с −D
в пространство L
(ν, E0) квадратично ν-интегрируемых функций, прини-
2
мающих значения в (предполагаемом гильбертовым) пространстве E
∗
k,гдеD — отображение L2(ν)
диф-
0
ференцируемости меры ν, переводящее (достаточно хорошие) функции в их
градиенты.
Последующее развитие теории дифференцируемых мер обсуждается
в [75–79].
Отметим, что на бесконечномерном пространстве не бывает ненулевых мер, дифференцируемых вдоль всех векторов; однако для приложений
достаточно того, что на основных пространствах функционального анализа
существуют меры, дифференцируемые вдоль каждого вектора из некоторого плотного векторного подпространства. Именно систематическое использование, наряду с дифференцируемыми функциями, также дифферен-
258 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
цируемых мер является характерной чертой анализа на бесконечномерных
пространствах.
Такого рода анализ тесно связан с проблемами, возникающими в теории классических уравнений с частными производными. Вот типичный
пример. Если систему (нелинейных) уравнений Навье – Стокса интерпретировать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно
функций вещественного аргумента, принимающих значения в бесконечномерном пространстве E полей скорости жидкости, то сопряженное к (линейному) уравнению для его первых интегралов представляет собой бесконечномерное дифференциальное уравнение первого порядка относительно
(зависящих от времени) мер на бесконечномерном пространстве E; уравнение, которому удовлетворяют преобразования Фурье этих мер — это знаменитое уравнение Хопфа. По-видимому, только что сказанное представляет
собой наиболее простой способ вывода этого уравнения.
Если вместо классической системы Навье –Стокса рассматривать ее
стохастический аналог, интерпретируемый как бесконечномерное стохастическое дифференциальное уравнение, то аналогом уравнения для первых
интегралов будет обратное уравнение Колмогорова (являющееся бесконечномерным уравнением типа теплопроводности), а аналогом его сопряженного — прямое уравнение Колмогорова, представляющее собой бесконечномерное уравнение теплопроводности относительно мер. Преобразование
Фурье переводит это уравнение в стохастический аналог уравнения Хопфа.
Конечно, и в общем случае прямые уравнения Колмогорова для бесконечномерных стохастических дифференциальных уравнений являются
уравнениями относительно вероятностных мер на бесконечномерных пространствах.
Теорию дифференцируемых мер можно также использовать для доказательства гладкости решений уравнений с частными производными. Именно таким образом Маллявэн передоказал известную теорему Хермандера
о гипоэллиптических дифференциальных операторах (так называются дифференциальные операторы, порождающие уравнения с частными производными, все решения которых бесконечно дифференцируемы). Предложенный им метод оказался эффективным средством доказательства гладкости
плотностей мер на конечномерных пространствах, являющихся образами
гладких мер на бесконечномерных пространствах при нелинейных отображениях этих пространств в конечномерные. Этот метод, представляющий
собой фактически несколько теорем из теории дифференцируемых мер, по
предложению Струка стал называться исчислением Маллявэна.
Однако сейчас для нас самым важным является то, что дифференцируемые меры на бесконечномерных линейных пространствах возникают так-
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 259
же в трех типах математических моделей, связанных со статистической механикой.
Во-первых, в теории фазовых переходов, развиваемой в рамках равновесной статистической механики, центральной является задача восстановления меры по множеству ее конечномерных условных распределений
(называемому гиббсовской спецификацией), эквивалентная задаче восстановления меры по ее логарифмической производной или по ее обобщенной
плотности. Так называется функция, логарифмическая производная которой совпадает с логарифмической производной меры; хотя эта функция,
в отличие от логарифмической производной, определяется неоднозначно
и к тому же в случае, когда исходная мера счетно аддитивна, а пространство бесконечномерно, задается не на всем пространстве, а лишь на его
подмножестве меры нуль, она оказывается полезной при изучении преобразований меры, отчасти заменяя обычную плотность. Аналоги этих понятий
можно определить и для псевдомер типа псевдомеры Фейнмана; в частности, в самой первой статье Фейнмана фактически была введена обобщенная
плотность для псевдомеры Фейнмана (которая, конечно, там так не называлась).
Во-вторых, в неравновесной статистической механике — как классической, так и квантовой — оказывается полезным рассматривать эволюцию
вероятностных (и не только вероятностных) мер на бесконечномерных пространствах, описываемую бесконечномерным уравнением Лиувилля относительно мер, являющимся сопряженным к уравнению — также называемому уравнением Лиувилля — для первых интегралов соответствующего
бесконечномерного уравнения Гамильтона (соответствующие точные определения приводятся ниже). В конечномерном случае обычно бывает достаточно использовать одну-единственную меру — стандартную меру Лебега,
заменяя остальные меры плотностями относительно этой выделенной меры, быть может обобщенными. В классическом случае (зависящие от времени) меры, являющиеся решениями уравнения Лиувилля, определены на
фазовых пространствах гамильтоновых систем, а в квантовом — на гильбертовом пространстве состояний квантовой системы.
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве состояний естественно возникают также при решении стохастических уравнений Шрёдингера, описывающих непрерывные измерения (эти уравнения можно
рассматривать также как марковскую аппроксимацию эволюции открытой
квантовой системы, т.е. квантовой системы, взаимодействующей с другой
квантовой системой). Эти меры удовлетворяют уже не уравнениям Лиувилля, а уравнениям типа теплопроводности, правда, с вырожденным лапласианом.
260 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Однако и независимо от их применений к стохастическим уравнениям
Шрёдингера, вероятностные меры на гильбертовых пространствах состояний квантовых систем дают интуитивно привлекательный способ описания
смешанных состояний, равносильный описанию этих состояний с помощью операторов плотности.
Как известно, в квантовой механике постулируется, что каждой исследуемой (квантовой) системе можно сопоставить сепарабельное гильбертово
пространство H над полем комплексных чисел, каждой поддающейся измерению физической величине (они называются наблюдаемыми) — самосопряженный оператор A в H (который при этом также называется наблюдаемой) и каждому состоянию квантовой системы — положительно определенный ядерный оператор S в H с единичным следом (который при этом также
называется состоянием) таким образом, что среднее значение
A результатов
измерений наблюдаемой A в состоянии S равно следу произведения AS:
A =trAS. По-видимому, как последняя формула, так и фигурирующий
в ней оператор плотности были впервые предложены фон Нейманом; однако в координатном представлении оператор плотности и соответствующая
формула для среднего одновременно рассматривались Ландау. Состояния,
h ⊗ h
имеющие вид
, h ∈ H \0, называются чистыми; их можно отожде-
2
h
ствить с одномерными подпространствами пространства H, или, что то же
самое, с элементами проективного гильбертова пространства P (H ), порождаемого гильбертовым пространством H. Тем не менее, допуская вольность
речи, обычно говорят, что элемент h ∈ H задает чистое состояние (разумеется, такой элемент определяется лишь с точностью до умножения на
ненулевое комплексное число), а гильбертово пространство H называют
пространством (чистых) состояний.
Среднее значение результатов измерений наблюдаемой A вчистомсос-
тоянии, задаваемом элементом h, определяется равенством
(Ah, h)
=
. Если теперь ν — вероятностная мера на H,т.е.вероятностное
2
h
A =trA
h ⊗ h
h
2
распределение этих элементов, то среднее значение результатов измерений
равно
где μ =
h
1
2
H
ν.Таккак
(Ah, h)
2
h
ν(dh)=
(Ah, h)μ(dx),
H
(Ah, h)μ(dx)=trAB,
H
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]