Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 171
будет
8s ln S
Θ ·S
S
√
2πs
−4lnS
e
+
2
=
8s ln S
Θ ·S
1
+
√
2
2πsS
8s ln S
∼
2
Θ · S
.
2
2
Так что если предпосылки 1 s S выполнены достаточно сильно, то
указанное среднее будет заведомо
9s ln S
2
S
.
5. Остается еще обсудить распределение |e
ρ-й и σ-й столбцы {ξ
ипусть$ξ = {ξ
торов ζ = {ζ
S
=
τ =1
ζτχ
∗
τ
1/ρ
, ..., ζS}, χ = {χ1, ..., χS} также символами (ζ, χ)=
1
, |ζ| =(ζ, ζ)=
} через ξ = {ξ
τ/τ
, ..., ξ
S/ρ
1/ρ
, 0, ..., 0}. (Воспользуемся для таких век-
S
|ζτ|2.Будет: |e
τ =1
, ..., ξ
|2(ρ = σ). Обозначим
ρ, σ
}, η = {ξ
S/ρ
|2= |($ξ, η)|2,причем
ρ, σ
1/σ
, ..., ξ
S/σ
векторы ξ, η как столбцы унитарной матрицы подчиняются условиям |ξ| =
=1, |η| =1, (ξ, η)=0(т. е. оба лежат на единичной сфере и ортогональны
друг к другу).
Разложим$ξ на компоненты — параллельную ξ и ортогональную ξ:$ξ =
$
=($ξ, ξ) · ξ +
$
ξ. Тогда равным образом будет: |e
сированном ξ (и$ξ,
ные к ξ, а именно
$
$
ξ) мы имеем, таким образом, два вектора, ортогональ-
$
$
ξ и η, из которых первый фиксирован, а второй сво-
ρ, σ
$
$
|2= |(
ξ, η)|2.Прифик-
бодно меняется на поверхности (S −1)-мерной единичной сферы. Введем
какую-нибудь (S − 1)-мерную декартову систему координат, и пусть η =
=(y
, ..., y
1
него следует, что усреднение (при фиксированном ξ = {ξ
). Из унитарной инвариантности нашего построения сред-
S−1
1/ρ
, ..., ξ
S/ρ
})
надо проводить в точности так, как если бы η усреднялось в смысле п. 2
по (S − 1)-мерной единичной сфере. Дальше, в силу унитарной инвари-
$
$
антности, среднее зависит лишь от длины, |
$
$
$
заменить его на
ξ = {|
$
ξ|, 0, ..., 0} ((S − 1)-мерный!). В силу этого мы
хотим определить сначала распределение |(
S−1
=
|yπ|2=1. То, что эта величина u, u+du (0 u |
π=1
Saln S
sas
быть s
a
1, так что сначала верно
a
ln Sa,т.е.s ln S .
ν, a
S
a
1, saSa, ln sa
2
s
a
ξ|, вектора
$
$
ξ, η)|
2
$
$
ξ, поэтому можно
$
$
= |
ξ|2·|y1|2для |η|2=
$
$
ξ|2), означает,
1
ln Sa.Темсамымдолжно
2
},
172 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
что
u
2
|
ξ|
|y1|2
u
du
+
2
|
ξ|
и обладает вероятностью W
2
|
ξ|
du
u
|
ξ|
,где
2
2
|
ξ|
в W (u) из п. 2 надо s, S заменить на 1, S − 1. Итак, коэффициент при du
будет
S −1
$
$
|
ξ|
2(S−1)
$
$
(|
ξ|2− u)
S−2
.
Но до сих пор ξ было фиксировано, теперь надо усреднить его (конеч-
но, тоже в смысле п. 2) по (S-мерной) единичной сфере. В выражение для
$
распределения |e
|2при фиксированном ξ входит лишь |
ρ, σ
(так как$ξ ортогонально к ξ −$ξ ик
2
=($ξ,$ξ)=(ξ,$ξ),
|$ξ|
2
= |(ξ,$ξ) ·ξ|2+ |
|$ξ|
$
2
$
|
ξ|
= |$ξ|2(1 −|$ξ|2).
$
$
ξ =$ξ − (ξ,$ξ) ·$ξ)
$
$
ξ|2= |$ξ|4+ |
$
$
ξ|2,аэторавно
$
ξ|2,
Поскольку ξ = {ξ
2
|$ξ|
w + dw (0 w 1), т.е. w
вероятностью
, ..., ξ
1/ρ
(S −1)!
(s − 1)!(S − s −1)!
лучить полную плотность вероятности для |e
} изменяется на единичной сфере, то w
S/ρ
s−1
w
τ =1
(1 − w)
S
|ξ
|2 w + dw, обладает
τ/ρ
S−s−1
dw. Для того чтобы по-
|2вточкеu,мыдолжны
ρ, σ
поэтому проинтегрировать
(S −1)!
(s −1)!(S −s − 1)!
×
s−1
(1 − w)
w
S −1
(w(1 − w))
=
(s −1)!(S −s −1)!
S−s−1
×
(w(1 −w) − u)
S−1
(S −1)!(S − 1)
S−2
· dw =
(w(1 −w) − u)
·
S−s
w
(1 − w)
S−2
s
· dw
по всем w 0, 1 с u w(1 − w). Вследствие этого надо учитывать
1
для u вообще лишь значения
что |e
|2 a (согласно только что сказанному 0 a
ρ, σ
. Мы определим сейчас же вероятность,
4
1
,дляэтого
4
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 173
приведенное выражение надо проинтегрировать по всем u, w с a u
w(1 − w),т.е.по
'
1
1
−
2
− a w
4
'
1
1
+
2
− a, a u w(1 − w).
4
Мы можем провести интегрирование по u:
1
1
+
−a
4
1
−a
4
(S −1)!
w(1−w)
a
'
1
+
2
(w(1 − w) − u)
S−s
w
(1 −w)
1
1
+
−a
2
4
(w(1 − w) − a)
1
1
−
−a
2
4
1
1
+
−a
2
4
и
1
2
1
− x = w и
4
1
−
2
S−2
du dw =
s
S−s
w
(1 −w)
1
2
, и введем в них
1
−a
4
'
1
1
−
2
4
S−2
dw.
s
− x = w соот-
(S −1)!(S −1)
2
(s −1)!(S −s − 1)!
=
1
−
2
(s −1)!(S −s − 1)!
Разложим интеграл на две части,
новые переменные с помощью
ветственно. В обоих случаях x = w(1 − w), в обоих случаях x пробегает
1
значения от a до
. Складывая оба интеграла, получим
4
(S −1)!
(s −1)!(S −s − 1)!
1
4
×
(x − a)
a
S−1
+
×
⎡
'
1
⎣
+
2
'
1
1
−
2
− x
4
1
− x
4
−(S−s)
−(S−s)
'
1
−
2
'
1
1
+
2
− x
4
−s
1
− x
4
−s
+
⎤
dx
⎦
'
2
1
4
.
− x
174 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
Наконец, введем новую переменную y =
x − a
, которая пробегает зна-
1
− a
4
чения от 0 до 1.
Тогда написанное выражение будет
(1 −4a)
S−1
2
×
Разделим эту вероятность на (1 −4a)
S−1
(S −1)!
(s − 1)!(S −s − 1)!
1
S−1
y
[(1 +√1 −4a1 −y)
0
√
+(1−
1 −4a1 −y)
×
−(S−s)
(1 −√1 −4a1 −y)−s+
−(S−s)
(1 +√1 −4a1 −y)−s]
S−1
,тогдаотa будет еще зависеть
√
dy
1 −y
.
лишь выражение [...]. Как мы покажем, оно возрастает при a → 0,аследовательно, и введенная дробь. Но так как при a =0числитель (вероятность)
=1, а знаменатель ((1 − 4a)
всегда 1,т.е.чтовероятностьвсегда (1 −4a)
Если a → 0,то
√
S−1
) тоже, то тем самым доказано, что дробь
S−1
e
−4a(S−1)
.
1 −4a√1 − y, возрастая, стремится к√1 − y,поэто-
му достаточно показать, что
[(1 + t)
−(S−s)
(1 −t)−s+(1− t)
−(S−s)
(1 + t)−s]
при t>0 возрастает. Действительно, его производная
(1 + t)
−(S−s)
(1 −t)
−s
+(1− t)
s
1 −t
−
S −s
1+t
−(S−s)
+
(1 + t)
−s
S −s
1 −t
−
s
1+t
> 0,
если (мы полагаем z =
z
1+t
1 − t
s
(sz − (S −s)) + z
но это выражение, очевидно,
s
>z
(s −(S − s)) + z
S−s
> 1)
S−s
((S −s)z −s) > 0,
((S −s) − s)=(z
S−s
− zs)((S −s) − s) 0.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 175
Тем самым приведенная оценка вероятности |e
|2 a для фиксиро-
ρ, σ
ванной пары ρ = σ, ρ, σ =1, ..., S подтверждена. Вероятность того, что
это случится для каких-то ρ, σ (т.е. для M =Max
в крайнем случае в
точно рассмотреть ρ<σ), т.е.
S(S − 1)
2
раз больше (так как e
S(S − 1)
2
ρ=σ, ρ, σ=1, ..., S
−4a(S−1)
e
ρ, σ
. Среднее значение M
= e
(|e
|2) a),
ρ, σ
∗
,тодоста-
σ, ρ
оценим снова в двух областях: для значений 0, a вероятность во всяком случае 1, а для значений a,
1
имеет место приведенная оценка.
4
Итак,
M(M) a +
S(S − 1)
В качестве a можно взять любое число 0, 1, мы полагаем a =
8
−4a(S−1)
e
.
3
ln S
4
S
(Пригодное, так как S 1.) Тогда наша верхняя граница будет
−3lnS
S−1
S
ln S
3
∼
4
S
S
S(S − 1)
+
e
8
3
ln S
4
2
S
−3lnS
e
+
8
=
=
ln S
3
4
S
1
+
8S
ln S
3
∼
.
4
S
Таким образом, если предпосылка S 1 выполнена достаточно сильно, то
ln S
рассматриваемое среднее будет
.
S
Тем самым желаемые оценки полностью проведены.
.
Замечание о теории возрастания
энтропии в «Статистической механике»
У. Гиббса
Пауль Эренфест и Татьяна Эренфест
1. Первые десять глав «Статистической механики» У. Гиббса2по боль-
шей части посвящены своеобразной аналогии между механикой и обратимыми процессами термодинамики. В главах XI и XII возникает аналогия
с необратимыми процессами. Методы, которыми здесь пользуется Гиббс,
совершенно расходятся с методом H -теоремы Больцмана.Мыхотим,не
вдаваясь в обсуждение этого метода в целом, всего лишь доказать следующее утверждение.
Теорема, изложению которой посвящена глава XII и на которой осно-
вана теория необратимых явлений Гиббса, пока что не доказана, так как
приведенное Гиббсом доказательство содержит ошибку.
2. Изложение данного вопроса автор предваряет следующим замечанием. Пусть у нас есть замкнутый сосуд с несжимаемой неоднородной
жидкостью. Диффузия для этой жидкости исключена. Внутри сосуда она
все время находится в движении.
жидкости сохраняет свою первоначальную плотность (ρ).Нетрудноубедиться, что тогда каждое выражение вида
Φ=
f(ρ)dx dy dzгде
остается константой относительно времени.
1
Paul und Tatiana Ehrenfest, Bemerkung zur Theorie der Entropiezunahme in der «Statistischen
Mechanik» von W.Gibbs, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien. 1906. B. 115, Abt. IIa, S. 89–98.
Перевод с немецкого В. В. Шуликовской под ред. В. В. Веденяпина.
2
W. Gibbs, Elem. Princ. in Statistical Mechanics (London, 1902). Перевод на немецкий Э. Цермело (Лейпциг, 1905).
3
Для простоты можно ограничиться стационарным потоком, то есть считать, что u, v, w —
это функции от x, y, z, не зависящие от времени.
4
Пусть координаты частицы жидкости в момент времени t0равны x0, y0, z0,авмомент
времени t равны x, y, z; введем в выражение для функции Φ в качестве переменных интегри-
3
В силу несжимаемости каждая частица
1
взят по всей жидкости
4
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРИИ ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ В.ГИББСА 177
Так, например, «средний квадрат плотности»
ρ2=
2
ρ
dx dy dz
dx dy dz
где
взят по всей жидкости
не должен изменяться с течением времени.
С другой стороны, замечает автор, сразу понятно, что (если оставить
в стороне некоторые особые движения) жидкость при своем движении стремится ко все большему выравниванию плотности (даже в том случае, когда
диффузия исключена).
5
В то же время известно, что равномерное распределение массы в пространстве отличается от неравномерного распределения
той же самой массы в том же самом пространстве тем, что доставляет ми-
2
нимум значению ρ
плотностей значение
. Таким образом, в силу возрастающего выравнивания
ρ2должно убывать, а это противоречит упомянутому
выше результату.
3. Гиббс или, с еще большей точностью, Барбери
6
разрешают это
противоречие следующим образом: та плотность ρ, о которой говорилось,
dρ
что
=0, то есть что каждая частица сохраняет свое значение ρ, задава-
dt
лась через разделение пространства dx, dy, dz, при котором осуществляется
переход через границу. И тогда действительно, в силу того, что
dρ
=0,
dt
рования x0, y0, z0;тогдаунас
Φ=
но в силу несжимаемости
ρ = ρ
так что
что и требовалось доказать.
5
Чтобы убедиться в этом, можно представить себе, что частицы с разной плотностью распознаются по различной интенсивности цвета. В этом случае цвет жидкости в разных местах
сосуда будет становиться все более единообразным.
6
S. H. Burbury, On the variation of entropy astreated in W. Gibbs «Statistical Mechanics», Phil.
Mag., август 1902; июль 1904.
Φ=
∂(x, y, z)
f(ρ)
∂(x0,y0,z0)
∂(x, y, z)
и
0
∂(x0,y0,z0)
f(ρ0)dx0dy0dz0=Φ0,
dx
0dy0dz0
=1,
,
178 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
справедливо также
2
d
ρ
=0.
dt
Но то, что является плотностью с нашей точки зрения — то, что мы видим как интенсивность цвета, — эта плотность не устанавливается с помощью точного определения; более того, представить ее себе можно только
спомощьюприблизительного (в некоторой степени) определения. Чтобы
задать интересующую нас сейчас меру плотности — назовем ее P ,—мы
должны разделить весь сосуд на очень малые, но не бесконечно малые параллелепипеды, так, чтобы мы уже не могли различить два соседних параллелепипеда. Тогда мы дадим определение:
=
ρdxdydz
Ω
.
P =
ρdxdydz
dx dy dz
При этом интегрирование проводится именно по тому параллелепипеду Ω, про который мы хотим знать, чему равна плотность P «внутри
7
него».
Сторону параллелепипеда можно, например, считать равной 10−4мм.
В результате нам придется указывать на противоречия, существующие между утверждениями относительно P и ρ. В противоположность постоянству
2
величины ρ
, мы не можем утверждать о том, что величина
2
P2=
P
(N —количествоклетокΩ)
N
не изменяется с течением времени. Таким образом, из замечания Гиббса тут
же вытекает следующее: неоднородность величины P с течением времени
сглаживается, то есть
Аналогично можно утверждать, что
lg ρ =
7
Наше ρ соответствует гиббсовому D, а также, с точностью до постоянного множителя,
не играющего в дальнейшем никакой роли, — гиббсовому P (большое p), соответственно,
далее, — гиббсовому e
ответствует его величине η. И хотя Гиббс, как мы видим, противопоставляет ρ и P ,онне
вводит нового обозначения для величины, которую мы обозначили через P . Именно из-за
этого и возникает его ошибочное доказательство; ср. § 6.
8
Это среднее несколько отличается от того, с помощью которого определялось ρ2.Здесь
мы следуем изложению Гиббса. См. l. c. стр. 44 (а также стр. 42), уравнение 108, стр. 137,
уравнение 452 и т. д. (а также стр. 139).
P2убывает. Но это не противоречит постоянству ρ2.
ρ lg ρdxdydz
ρdxdydz
η
, из-за чего lg ρ у нас (с точностью до постоянного слагаемого) со-
где
8
взят по всей жидкости
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРИИ ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ В.ГИББСА 179
не изменяется с течением времени. Утверждать это же самое про среднее
lg P =
lg P · ρdxdydz
ρdxdydz
по всем Ω,
lg P · P · Ω
=
по какому-то Ω,
P · Ω
P · lg P
=
P
напротив, уже нельзя.
4. Теорема из главы XII, на которой Гиббс основывает теорию возрас-
тания энтропии, относится только к изменению
lg P с течением времени.
Доказательство Гиббса опирается на теорему IX из главы XI. Эта теорема
состоит в следующем.
Теорема A. Пусть одну и ту же массу M в одном и том же простран-
стве R делят на части
с постоянной плотностью ρ
, (α)
0
азатем
с переменной плостностью ρ, (β)
так что
ρdxdydz =
ρ
dx dy dz = M
0
взят по R, (γ)
тогда
ρ lg ρdxdydz >
ρ
lg ρ0dx dy dz
0
взят по R.
(Здесь
ρ lg ρdxdydz можно так же, при заданных заранее M и R,по-
нимать как меру неоднородности ρ-разбиения.)
Данная теорема доказывается с помощью элементарных вычислений
При переходе к P эта теорема выглядит так.
Теорема A
. Пусть одну и ту же массу M , занимающую одну и ту же
группу R ячеек Ω, делят на части
с постоянной P
9
См. l. c. главу XI, теорема IX, стр. 137. Обозначения см. сноску 6 к § 3.
, (α)
0
9
.
180 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
азатем
с переменной P, (β
так что
P · Ω=P
· Ω=M, (γ)
0
тогда
P lg P>P
0
lg P
0
берется по всем Ω, принадлежащим пространству R.
(ЗдесьP lg P при заранее заданных M и R можно понимать как меру
неоднородности такого P -разбиения.)
5. Чтобы понять, как выражается изменение
течения, Гиббс прибегает к следующему рассуждению.
Пусть в момент времени t
ние плотности (ρ и P) несжимаемой жидкости. Из-за течения в момент
времени t
времени t
распределение плотности будет другим. Измерим его в момент
, причем сначала мы перейдем к пределу с помощью разбие-
в сосуде имеется некоторое распределе-
lg P со временем из-за
ния dx, dy, dz (так определяется ρ), а затем поделим сосуд на малые, но
не бесконечно малые ячейки Ω. Возьмем какую-то определенную ячейку
иобозначимееΩ
. Мы придем к соотношению
ρ
P
=
dx dy dz
Ω
по Ω
)
и к значению
lg P
· ρdx dy dz =lgP· P· Ω.
Теперь зададимся вопросом: в каком параллелепипеде Ω содержались
вмоментвремениt
раллелепипеде Ω
области Φ
, которая в общем случае находилась в другом месте сосуда и которая получается из Ω
маемости каждый раз Φ
те частицы, которые в момент времени tлежат в па-
? В момент времени tвсе эти частицы лежали в малой
в результате некоторого искажения. Из-за несжи-
=Ω.
По этому поводу автор замечает, что в общем случае данная область Φ
входит в несколько ячеек Ω. (Хотя бы потому, что в общем случае она не
будет параллелепипедом, но все-таки имеет объем Ω.)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]