Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРИИ ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ В.ГИББСА 181
Рассматриваемым частицам соответствует
вмоментвремениt
Однако в момент t
онибылираспределеныпоi различным Ω,такчто
...одно и то же P.
отдельным частицам соответствуют
вмоментвремениt
Теперь мы можем рассматривать частицы, которые в момент време-
ни t
собраны в ячейке Ω,причемможно
них значение P
или же
... P
, или P
1
b) каждой отдельной частице сопоставить значение P
которое соответствовало ей в момент времени t
, или ... P
2
сопоставить общее для
.
или P
1
.
i
Отсюда легко понять, чему равен интеграл
lg P · ρdxdydz
для выбранных нами частиц в момент времени t
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
:
t
...
t...
lg P· ρdx dy dz (или, в силу ρ= ρ, также)=
=
· ρdx dy dz,
lg P
10
lg P· ρdx dy dz =lgP· P· Ω
мени t
и чему — в момент вре-
по Ω
,...,P
2
.
(B)
,
i
При этом мы хотим вкратце заметить, что ρ
интегрирования — переменные, и только P
тегрирования Ω
.
, ρи Pвнутри областей
постоянно внутри области ин-
6. Теперь, не выписывая выражение B в явном виде и не выражая
величины ρ и P различными способами друг через друга, Гиббс, достигнув
10
Это выражение, причем и во второй его форме, можно получить, проинтегрировав ρlg P
по Φ, и только после этого вводя в качестве переменных интегрирования координаты частицы в момент времени t
в тексте, соответствует рассуждениям Гиббса в главе XII.
. Определитель преобразования равен 1. Представление, описанное
182 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
этого пункта, ссылается непосредственно11на теорему IX главы XI (см.
теорему A из § 4) и продолжает:
частицы, которые в момент времени t
вмоментвремениt
вмоментвремениt
интегралу
.
lg P ·ρdxdydz значение меньшее, чем
лежат в Ω,доставляют
И поскольку данное рассуждение можно провести для каждой Ω,то
отсюда следует такое утверждение (см. определение
среднее значение lg P , вычисленное для всей находящейся в сосуде
жидкости в момент времени t
численное в момент времени t
, меньше, чем среднее значение lg P ,вы-
.
lg P в§3):
Если, как это было сделано здесь, выразить величины ρ и P друг через
друга и записать формулы B, которые Гиббс определил только словесно,
с помощью математических символов, то тут же становится понятно, что
теорема IX из главы XI верна не для величин B, но только для величин,
построенных похожим способом.
12
В результате мы видим, что теорема
главы XII не доказана, так как из теоремы IX главы XI она не следует,
хотя это и утверждается в доказательстве Гиббса.
7. Чтобы ответить на вопрос, нельзя ли доказать эту теорему как-то
иначе, возможно, при каких-то дополнительных ограничениях, надо увидеть в вышеизложенных рассуждениях некоторый намек, о чем Гиббс,
11
См. l. c. стр. 149, 150 (а также стр. 152, 153). Ср. с примечанием к § 3.
12
Не зная, каким образом ρ и P выражаются друг через друга, можно заменить выраже-
ние B
a) на
b) на
ρlg ρdx dy dz, соответственно
Plg Pdx dy dz, соответственно
ρlg ρdx dy dz,
Plg Pdx dy dz
по Ω
.
Но и к этим выражениям теорема IX главы XI отношения не имеет. А именно, в случае a) не
выполняется условие (α) данной теоремы (см. § 4), так как ρ
не будет константой внутри Ω;
однако условие (γ) выполняется. Действительно, здесь
ρdx dy dz =
В то же время в случае b) (см. теорему A
внутри Ωпостоянно.
Условие (γ
), наоборот, не выполняется, поскольку в общем случае
Pdx dy dz =
так как интеграл
области Φ
, в чем легко убедиться, рассмотрев правильное значение
Pdx dy dz не представляет собой массу в ячейке Ω, соответствующей
ρdx dy dz
) справедливо условие (α). Действительно, P
Pdx dy dz
по Ω
Ω
.
,
ρdx dy dz.
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕОРИИ ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ В.ГИББСА 183
в связи с данной теоремой, писал еще в седьмой главе. Для этого постараемся понять, что должна означать эта теорема, если она верна.
Как мы уже видели в § 4 (A
ности P внутри жидкости, так что ее минимальное значение lg P
гается, когда во всем сосуде P = P
выше теорема о
lg P означает, что неоднородность жидкости (измеренная
через P ) в момент времени t
Иеслибыещеt
находилось перед t, эта теорема звучала бы так:
), величина lg P служит мерой неоднород-
. Таким образом, сформулированная
0
меньше, чем в момент времени t.
дости-
0
P -неоднородность жидкости убывает при возрастании времени из-за те-
чения. В итоге то, о чем говорит Гиббс, в точности согласуется с тем, что
мы видим.
8. Однако теперь следует отметить одно обстоятельство, а именно: во
всем доказательстве Гиббса ни разу не упоминался и не использовался тот
факт, что t
что с самого начала t
времени, и мы могли бы во всем доказательстве заменить t
должно предшествовать tво времени. Более того, очевидно,
и tбыли совершенно равноправными моментами
на tинаобо-
рот, так что мы имеем полное право заявить следующее.
Частицы, которые в момент времени t
доставляют интегралу
значение, нежели в момент времени t
ной ячейке Ω
.
И далее, среднее значение lg P для всей заключенной в сосуд жидкости
вмоментвремениt
жидкости в момент времени t
lg P · ρdxdydz вмоментвремениt
будет меньше, чем среднее значение lg P для этой
.13
вместе попадают в ячейку Ω,
меньшее
, когда они рассеяны по более круп-
Итак, очевидно, что и доказательство, и все утверждение в целом —
абсурдны.
9. Гиббс чувствовал парадоксальность своего результата и пытался
преодолеть ее с помощью некоторых своеобразных рассуждений; сейчас
мы расскажем о них, по возможности так, чтобы не вдаваться в подробности. Он утверждает следующее.
Хотя доказано, что
времени t
Дело в том, что ни в одном пункте доказательства не предполагалось,
что t
ствует неоднородное распределение, и рассматривать распределение в момент времени t
сохраняя t
13
, это еще не означает, что lg P убывает с течением времени.
предшествует t. И если считать, что моменту времени tсоответ-
, причем теперь tможет предшествовать t, если, далее,
,придаватьtвсе более ранние значения, то и при движении
Ср. Burbury, l. c.
lg P вмоментвремениtменьше, чем в момент
184 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
в этом направлении мы в общем случае придем к однородному P -распределению.
«В таких случаях решающее значение имеет разница между определенным распределением в определенное время и пределом переменного распределения, когда рассматриваемый момент времени неограниченно
возрастает или убывает».
Далее идет примечание: «Это можно сравнить с известным из кинематики фактом, а именно: если две точки двигаются с постоянной скоростью
(исключая тот единственный случай, когда их относительная скорость равна нулю), то расстояние между ними в каждый «определенный» момент
времени будет меньше, чем при t =+∞ и t = −∞».
Далее в тексте: «Но если за счет математических фикций различие
между «раньше» и «позже» можно сделать совершенно несущественным,
дело обстоит совсем иначе с событиями реального мира».
Подобные замечания опираются на представления, объясняя которые,
мы можем зайти слишком далеко.
10. Мы считаем, что можно подвести следующие итоги.
Для
lg P ,вотличиеотlg ρ, утверждение о том, что эта величина долж-
на оставаться постоянной, не выполняется. Но это ни в коем случае не означает, что с возрастанием времени данная величина в общем случае убывает,
то есть что с возрастанием времени неоднородность жидкости (относительно P) сглаживается.
Тогда возникает вопрос: может быть, это утверждение, которое Гиббс
прежде всего основывает непосредственно на наглядном опыте, — в несколько меньшем объеме и при дополнительных ограничениях на начальное
состояние жидкости — можно доказать другим способом?
Во всяком случае, данная теорема из главы XII (сформулированная
для многомерного пространства) стала для Гиббса основанием его теории
возрастания энтропии, которой посвящена «Статистическая механика». На
нее опираются все следующие главы, а
−lg P играет роль энтропии. Но
до тех пор, пока теорема не доказана, развитой в книге механистической
теории недостает такого необратимого явления, как исходная точка.
О двух известных возражениях против
H-теоремы Больцмана
Пауль Эренфест и Татьяна Эренфест
1. Обычная формулировка H-теоремы выглядит так: пусть предостав-
ленная себе самой кинетическая газовая система в ходе своего движения
пробегает состояния
..., Z
в моменты времени T
, ..., Tn, ...; тогда для последовательных зна-
1,T2
чений величины H справедливы неравенства
...H
H2 H3 ... Hn... (1)
1
Величина H ведет себя как энтропия, взятая с противоположным знаком.
2. Парадокс обратимости Лошмидта
ние: в двух состояниях Z
и Z
z
положения; 2) напротив, иметь одинаковые скорости. Тогда
В кинетической модели газа газ представляет собой консервативную
механическую систему. И если возможно движение, при котором возникает
последовательность состояний (A), то точно так же возможно и движение
...Z
Но в силу (2) и (1) при таком движении
...H
H
n
, ..., Zn, ... (A)
1,Z2
2
все молекулы могут 1) занимать одинаковые
z
H
= Hz. (2)
z
,Z
n−1
n−1
, ..., Z
... H
n
. Предварительное замеча-
... (B)
1
... (3)
1
1
1
Paul u. Tatiana Ehrenfest,¨Uber zwei bekannte Eniw¨ande gegen das Boltzmannsche H-Theorem,
Physikalische Zeitschrift, 8. Jahrgang, № 9, S. 311–314. Перевод с немецкого В. В. Шуликовской
под редакцией В.В. Веденяпина.
2
Loschmidt, Wien. Sitzungsber. II, 73, 139, 1876. Далее письма: Culverwell, Burbury, Watson,
Larmor, Bryan, Fitzgerald, Boltzmann в журнале Nature, 51, 31, 78, 152, 175, 221, 293, 319, 413,
1894/95.
186 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
Каждому движению системы, при котором величина H убывает
от H
личина H, наоборот, возрастает от H
до Hn, можно сопоставить обратное движение, при котором ве-
1
3. Парадокс возврата Цермело
до H1.
n
3
. Воспользовавшись одной из теорем механики, доказанных Пуанкаре, г-н Цермело, как известно, утверждает, что обычная кинетическая модель полностью и постоянно изолирован-
ного газа ведет себя квазипериодически.
Если модель при своем движении проходит последовательность состояний (A) от Z
ния H
до меньшего значения Hn. Тогда через некоторое конечное4(даже
1
до Zn,тоH убывает от относительно большого значе-
1
если и очень большое) время при движении, продолжающемся в тех же
условиях, возникнет последовательность состояний
), (Z2), ..., (Zn) ..., (C)
...(Z
1
которые во все моменты времени сколь угодно близки к состояниям (A).
Тогда H будет пробегать последовательность значений
...(H
), (H2), ..., (Hn) ..., (4)
1
где (H
) очень близко к Hz.ПосколькуH1>Hn,а(H1) почти равно H1,
z
отсюда следует
(H
) >Hn. (5)
1
Итак, во время движения от Z
к (Z1), в противоречии со сформулиро-
n
ванной выше H-теоремой, функция H принимала возрастающие значения.
Квазипериодическое поведение изолированной газовой системы означает,
что
H-теорема в приведенной выше форме выполняться не может.
4. Позиция Больцмана в отношении парадоксов г. Лошмидта
иЦермело
5
. Вычисления, приводящие к H -теореме, заведомо основа-
ны на определенном вероятностном подходе. В соответствии с этим получающиеся у нас неравенства (1) надо понимать следующим образом: мы
объединяем все множество движений, возможных с механической точки
зрения; каждое движение берется в его неограниченной протяженности.
Выделяем все фазы движения P
3
Zermelo, Wied. Ann. 57, 485, 1896; 59, 793, 1896; Physikalishe Zeitschrift 1, 317, 1900; Jahres-
Ber. d. Math. Vereini, S. 232, 1906.
4
Относительно ограничений на это утверждение см. работы, упомянутые в предыдущем
примечании.
5
Boltzmann, Gastheorie II, §88 и § 89.
, при которых H принимает значение HA,
A
О ДВУХ ИЗВЕСТНЫХ ВОЗРАЖЕНИЯХ ПРОТИВ H -ТЕОРЕМЫ БОЛЬЦМАНА 187
существенно отличающееся от минимального. Теперь рассматриваем последовательность состояний, соседних с P
. После промежутка времени τ,
A
который можно выбрать сколь угодно большим, но по меньшей мере настолько большим, чтобы он охватывал множество происходящих в системе столкновений, мы придем к очень разным конечным значениям H,
которые во всей их совокупности можно обозначить через H
.Возможны
B
три случая:
<HA, II. HB= HA, III. HB>HA.
I. H
B
A. H-теорема еще не позволяет нам утверждать, что случай III невоз-
можен.
B. В то же время из H-теоремы следует: если значение H
но отличается от минимального, то относительная частота
чений P
сравнению с относительной частотой тех значений P
, которые соответствуют случаям II и III, бесконечно мала по
A
A
существен-
A
6
тех зна-
, которые приво-
дят к случаю I.
C. Вероятностный подход, лежащий в основе H-теоремы, вовсе не
противоречит квазипериодическому поведению изолированной системы;
более того, вынужденно влечет его за собой,
7
так как за достаточно долгое
время H обязательно снова достигнет больших значений, в том числе и тех,
которые превосходят начальное.
Итак, рассуждение Цермело не вскрывает каких-либо противоречий
между уравнениями механики и вероятностным подходом, использованным
в вычислениях Больцмана.
8
Более того, обнаруживается, что здесь они по-
разительно согласуются друг с другом.
5. Если вслед за Больцманом безоговорочно признать квазипериодичность, то тут же нельзя не спросить вместе с г-м Цермело: возможно
ли тогда, чтобы одновременно выполнялись утверждения B и C, и это не
вызывало внутренних противоречий? Будем считать, что изменение системы начинается с состояния P
, которое через непосредственно следующий
A
за ним промежуток времени τ действительно может привести к меньшему значению H. Будем неограниченно продолжать движение; тогда кривая,
соответствующая величине H, через достаточно долгое время обязательно
6
Поскольку значения PAобразуют континуум, мера относительной частоты не свободна
от произвола. Но по этому пункту Больцман и Цермело полностью единодушны.
7
Это утверждение Больцмана часто понимается неправильно. Пока удовольствуемся ссыл-
кой на замечания, которые следуют за уравнением (6) в§6.
8
В то же время наши рассуждения не позволяют разрешить чрезвычайно сложный вопрос:
свободны ли от противоречия основные положения чистой механики и различные частотные
(вероятностные) гипотезы, на которые опирался Больцман? Мы ограничимся таким очень важным вопросом: достаточно ли обоих парадоксов, чтобы обнаружить подобное противоречие?
188 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
вновь достигнет значения HAи более высоких значений. Проведем горизонтальную прямую на высоте H
. Она позволяет найти на неограничен-
A
ной H -кривой все точки, в которых наша система в ходе своего движения достигает необычно большого H -значения H
. Утверждение B говорит
A
нам, что когда мы сдвигаемся из каждой такой точки пересечения вправо
на расстояние τ , то, «как правило», мы попадаем в точку, лежащую ниже
на кривой. То же самое верно, если вместо H
значение H
.
A
взять любое другое высокое
A
Г-н Цермело приводит подробные геометрические соображения, ко-
торые вынуждают его отклонить подобное утверждение. Попросту невоз-
можно представить, каким образом подобная кривая может, «как правило», уходить вниз из всех своих высоко расположенных точек.
9
Мы удо-
вольствуемся ссылкой на эти замечания.
Однако стоит отметить, что возникающая теперь дискуссия связана
в большей степени с данной чисто геометрической трудностью, а не с механикой. То, что все сводится к чисто геометрическим рассуждениям,
и придает особый вес данному возражению на теорию Больцмана.Таким
образом, следует непременно разъяснить, в каком смысле мы хотим сохранить утверждения о поведении H -кривой, несмотря на геометрические
рассуждения господина Цермело.
6. Это можно сделать просто и естественно, если мы — опять вслед за
Больцманом
10
— сопроводим эту самую геометрическую трудность одним
очень простым примером из теории вероятностей. Пусть в двух урнах имеются N шаров (например, 100), занумерованных в порядке возрастания.
Допустим, урна A содержит P
) шаров. Но нам неизвестно, какие именно шары находятся в каждой
− P
0
(например, 90), а урна B — Q0=(N −
0
из урн. Пусть, кроме того, в мешке лежат N лотерейных билетов с номерами от 1 до N . Каждый раз, когда проходит какой-то промежуток времени,
мы вынимаем один из билетов и кладем обратно. И каждый раз, вытащив
определенный номер, мы вынимаем шар с этим номером из урны, в которой он уже лежал, и перекладываем в другую урну, в которой он останется
до тех пор, пока мы случайно не вытянем еще раз билет с его номером.
Каждый раз более вероятно, что потребовавшийся нам шар лежит в более полной, а не в более пустой урне. Так что пока урна A заполнена больше, чем урна B, мы, вытягивая лотерейные билеты, как правило, будем
перекладывать шары из урны A в B, и только в исключительных случаях
будем доставить шар из урны B.
9
См. особенно Zermelo, Weid. Ann. 59, 797; «но как я должен представлять себе» и далее.
10
См. Boltzmann, Nature, 1894, p. 413, 581 (а также первую публикацию г-на Цермело).
О ДВУХ ИЗВЕСТНЫХ ВОЗРАЖЕНИЯХ ПРОТИВ H -ТЕОРЕМЫ БОЛЬЦМАНА 189
Представим этот пример графически. На оси абсцисс отметим равноотстоящие друг от друга последовательные промежутки времени. Над
отметкой с номером z изобразим точку на высоте
Δ
= |Pz− Qz|.
z
(Здесь P
ни, Δ
и Qz— количество шаров в урнах после z-го промежутка време-
z
— абсолютная величина их разности.) Таким образом мы получаем
z
дискретную последовательность точек. Каждая точка этой последовательности всегда лежит на две единицы либо ниже, либо выше предыдущей.
Третьего не дано. Первая точка Δ
ли Δ
принимает еще большее значение, то, как правило, точка Δ
z
=80лежит сравнительно высоко. И ес-
0
z+1
будет
расположена ниже. Вероятности смещения вниз или вверх относятся друг
кдругу,как
z
N − Δ
:
z
. (6)
2N
N +Δ
2N
Итак, Δ-кривая обнаруживает явную тенденцию к снижению, хотя она
постоянно снова уходит вверх на один или несколько шагов. И только когда ее снижение заходит уже очень далеко (количество шаров в урнах отличается не слишком сильно), впервые обнаруживается, что такие «обратные» устремления стали чаще: движение вниз ослабевает. Вероятность того, что друг за другом будут возникать движения, которые снова приведут
нас к заметно большому значению Δ,оченьмала.Нодажевероятностьтаких движений, в результате которых в одной урне окажутся все N шаров,
отлична от нуля. И если вытягивание лотерейных билетов продолжается
достаточно долго, то отсутствие таких высоких и максимально высоких
«холмов» можно считать сколь угодно маловероятным. Процесс может
тянуться настолько долго, что и максимальная высота N будет достигнута
несколько раз. Тогда эта Δ-кривая будет по преимуществу проходить очень
близко к нулю, лишь изредка поднимаясь на заметную и чрезвычайно редко — на существенную высоту.
Горизонтальная прямая, проведенная на высоте 80, содержит все точки
кривой, которые после очередного вытягивания билета соответствуют 90
и 10 шарам в урнах. Можно побиться об заклад (9 к 1), что следующий
шаг из любой такой точки заставит нас спуститься от 80 к 78. И то же
самое можно утверждать для любой горизонтальной прямой, проходящей
на значительной высоте.
С другой стороны, невольно напрашивается следующая картинка: если
подобная прямая 10 000 раз пересекает кривую в точке, лежащей на правом
(уходящем вниз) склоне холма, то эта прямая должна настолько же часто
190 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
пересекать нашу кривую в точках, лежащих на левом (уходящем вверх)
склоне холма. Так как, чтобы иметь возможность выйти из холма направо,
прямая сначала должна войти в него слева. Не должны ли мы в результате
остерегаться утверждений о том, что ближайший шаг, «как правило»,
уводит нас вниз?!
11
Очевидно, что кажущееся противоречие между непосредственно вероятностными соображениями и этим геометрическим рассуждением исчезает, если принять во внимание чрезвычайную частоту максимумов (аимен-
но, абсолютных максимумов) на каждой значительной высоте.
Очевидно, что на высоте N есть только максимумы, а именно, вершины: (N − 2) − N − (N − 2).НавысотеΔ=0есть только минимумы,
а именно, вершины: 2 − 0 − 2. Во всех остальных случаях имеются четыре
возможности
α)(Δ−2) − Δ − (Δ −2); β)(Δ−2) − (Δ) − (Δ + 2);
γ)(Δ+2)− Δ − (Δ −2); δ)(Δ+2)− (Δ) −(Δ + 2).
Их относительные частоты нетрудно сосчитать:
α : β : γ : δ =
N +Δ
N − Δ
:1:1:
N − Δ
N +Δ
. (7)
Это означает, что продолжающийся подъем (β) и продолжающийся спуск (γ)
встречаются одинаково редко. Когда Δ почти равно N, по частоте преобладают максимумы, а частота минимумов близка к нулю (Δ-кривая «гладко»
уходит вниз!).
Чтобы еще отчетливее понять, как надо представлять себе подобное
поведение Δ-кривой, без труда вычисляем, что частота перехода от Δ
к Δ+2 ведет себя, как
Z(Δ) : Z(Δ + 2) = N +(Δ+2):N − Δ. (8)
ИеслиΔ почти равно N , то кривая переходит к Δ+2 намного реже, чем
до этого — к Δ, что превосходно согласуется с утверждением о том, что
11
Ср. с этим: «Тогда Больцман пытается спасти H-теорему, описывая свою H-кривую так,
чтобы она, по существу, уже не убывала, но при общем однообразном ходе событий была
параллельна оси z, при этом возникающие то в одном, то в другом месте «горбы» должны
появляться тем реже, чем они выше. И даже если при этом становится понятно, почему минимальному значению H соответствует преобладающая вероятность в распределении Максвелла, я все-таки не могу увидеть никакой настоящей аналогии между таким почти симметричным поведением кривой и необратимостью процессов в природе. Мне до сих пор непонятно,
почему тогда неравенство
данный реферат о Гиббсе, Mathem. Verein. Jahresber. 15, 241, 1906.)
dH
0 претендует на универсальность.(Zermelo, недавно из-
dt
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]