Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 71
к моменту времени t0выбрать абсолютно произвольно функцию ρ0(q, p),то
в общем случае при движении G-точек плотность в каждой Γ-точке будет
изменяться с течением времени.
80a
Из (26) следует, что
d
=0. (26
dt
Распределение «пространственной» плотности ρ будет оставаться стаци-
онарным по отношению к потоку точек (22) тогда и только тогда,когда
функция ρ
тории (для различных G-траекторий можно выбрать ρ
то есть если ρ
(q, p) выбрана постоянной вдоль каждой отдельной G-траек-
0
(q, p) имеет вид
0
(q, p)=F (E,ϕ2,...ϕ
0
2rN−1
(q, p) какой угодно),
0
), (28)
)
то под F понимается произвольная однозначная функция ее 2rN −1 независимых переменных
81
.
Подобным образом можно рассчитать и распределение бесконечного
множества G-точек по (2rN − 1)-мерной гиперповерхности E(q, p)=
= c
с«поверхностной плотностью» σ(q, p). Достаточное и необходи-
1
мое условие стационарности этой «поверхностной плотности» σ задано
82
через
σ0(q, p)=
тичных независимых моделей газа, позволяет заменить определенные «вероятностные гипотезы» статистическими утверждениями. Впервые эта мысль была сформулирована и применена
Максвеллом (Maxwell [3]) (1878) — при этом он назвал исследования подобных семейств моделей газа статистико-механическими (см. прим. 3). Но уже семью годами ранее те же самые
семейства активно использовал Больцман (Boltzmann [4]) (1871) (см. прим. 98).
80a
Следовательно, мы будем искать в дальнейшем такое распределение бесконечного множества элементов газа по различным фазовым областям, при котором в каждую фазовую область
за время dt входит и выходит одинаковое количество моделей газа.
81
E,ϕ2...ϕ
ров (q, p), постоянными вдоль любой отдельной G-траектории; таким образом, можно выразить уже через эти (2rN − 1) функции любую другую функцию, удовлетворяющую этому
требованию.
82
Согласно (27) площадь бесконечно малой области (A, E)
нально Q, в то время как ее G-точки перемещаются по E -поверхности. При этом ее «поверхностная плотность» σ изменяется так, что значение σQ остается постоянным. Таким образом,
если σ
(q, p) должны оставаться стационарными, то σ0Q изначально должна иметь одинако-
0
вое значение для всех точек одной и той же G-траектории. При переходе от одной траектории
к другой она может изменяться как угодно.
являются независимыми друг от друга функциями 2rN − 1 парамет-
2rN−1
1
Q(q, p)
F (ϕ
...ϕ
2
), (29)
2rN−1
(−1)
изменяется пропорцио-
72 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
где F является произвольной однозначной функцией ее (2rN − 2) независимых переменных, Q определена через (25a), (q, p) связаны условием E(q, p)=c
.
1
10. Модель газа как эргодическая система
10a. Эргодические механические системы
Существуют механические системы, движения которых осуществляются по незамкнутым G-траекториям
ная G-траектория плотно покрывает при этом многомерную область Γ-пространства.
85
84
83
, причем таким образом, что отдель-
Ссылаясь на это свойство, Больцман86и Максвелл87выдвинули следующий постулат для определения данного класса механических систем.
Траектория отдельного непрерывного движения системы проходит
«через каждую фазовую точку», совместимую с общей энергией движения. Механическую систему, удовлетворяющую этому требованию, Больцман называет эргодической системой.
83
В дальнейшем всегда следует различать термины и обозначения: а) эргодическая система,
б) эргодические распределения плотности в Γ-пространстве. О том, как они связаны, см.
прим. 92.
84
Больцман (Boltzmann [4, гл. II] (1871), а также [15] (1886)) приводит, кроме прочего, следующий пример: движение материальной точки на плоскости под воздействием силы притяжения с потенциалом
собой незамкнутые фигуры Лиссажу в случае иррационального периодического соотношения.
Движущаяся точка как угодно близко приближается в своем отдельном движении к каждой
точке внутри определенного прямоугольника.
85
Фигура Лиссажу в вышеописанном примере является в определенной степени проекцией
G-траектории из (x, y, u, v)-пространства на (x, y)-плоскость. Отсюда она обнаруживает са-
мопересечения, которых нет у G-траектории. В топологическом отношении движение G-траектории можно объяснить на примере незамкнутой геодезической линии на поверхности тора:
не пересекая саму себя, она как угодно близко приближается к каждой из ∞
удовлетворяющих уравнениям
(c1и c2здесь энергии, присущие обеим составляющим колебания ко времени t0). Чисто
геометрически нетрудно определить и такие семейства кривых, в которых отдельная кривая,
например, как угодно близко приближается к каждой из ∞
86
Boltzmann [4] (1871), ср. с заключением в [2] (1868).
87
Maxwell [3] (1878).
88
´εγoν = энергия, ´oδ`oς = путь: G-траектория проходит через все точки поверхности
энергии. Этот термин впервые употребил Больцман в работе Boltzmann [15] (1886). Максвелл,
1
(ax2+ by2),еслиa иррационально по отношению к b,представляет
2
m
2
2
ax
2
+
u
2
= c
88
2
точек (x, y, u,v),
2
by
m
2
,
1
+
v
2
= c
2
2
3
точек внутри тора.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 73
Из этого определения Больцман и Максвелл делают следующие вы-
воды:
1) В эргодической системе все движения с одинаковой общей энергией E(q, p)=E
осуществляются по одной и той же G-траектории.
0
88a
2) Таким образом, все эти движения различаются лишь значением постоянного слагаемого c2rN, добавленного ко времени (см. интеграл (23c))
3) Для каждой фазовой функции движения ϕ(q, p) они дают одинаковое
среднее по времени значение.
88b
.
88c
Как раз из-за последнего свойства в исследованиях Больцмана и появляется
определение эргодической системы, а также гипотеза о том, что модели газа
являются эргодическими системами (см. § 11).
Однако существование эргодических систем (т.е. непротиворечивость
их определения) очень сомнительно: до настоящего времени не существует
ни одного примера механической системы, в которой отдельная G-траектория как угодно близко приближается
а с ним и английские авторы употребляют в связи с этим обозначение «assumption of the
continuity of path» (path = G-траектория).
88a
Рассуждение здесь примерно таково: отдельная G-траектория проходит «через каждую
фазовую точку» поверхности энергии. С другой стороны, через каждую фазовую точку Γ
проходит лишь одна-единственная линия направления движения (прим. 71), и таким образом
приходят к следствию (1). В качестве доказательства см. в особенности Boltzmann [15].
88b
По этому поводу см. в Boltzmann [15] высказывание о разности фаз обеих составляющих колебания в движении по фигурам Лиссажу для случая иррационального периодического
соотношения.
88c
Это среднее по времени значение определено через
lim
T1=−∞
T2=+∞
См. прим. 72.
89
С целью добиться того, чтобы в приведенном в прим. 84 движении G-траектория как
угодно близко подходила ко всем ∞
нению
Больцман представляет расположенную на (x, y)-плоскости бесконечно малую эластичную
преграду, о которую постоянно ударяется колеблющаяся точка в процессе своего движения.
Другие примеры похожи на этот. По этому поводу см. также Lord Rayleigh [2]. Из-за сложности
соударений, которые претерпевают молекулы при сближении друг с другом и с шероховатыми,
3
Γ-точкам, удовлетворяющим теперь лишь одному урав-
m
2
+ v2)+
(u
2
1
T2− T
89
к каждой точке соответствующей
T
2
ϕ(q, p)dt.
1
T 1
2
+ by
2
2
,
= E
0
ax
74 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
«поверхности энергии». И уж тем более нет ни одного примера, когда отдельная G-траектория проходит через каждую точку соответствующей «поверхности энергии».
89a
И все же последнее предложение не только дослов-
но содержится в определении Больцмана– Максвелла, но более того, на нем
оба автора строят утверждение, что в модели газа, представляющей собой
эргодическую систему, все движения c одинаковой общей энергией проходят одну и ту же ϕ-траекторию и поэтому дают для каждой функции ϕ(q, p)
одинаковое среднее по времени значение.
90
10b. Эргодическое распределение плотности в Γ-пространстве
В работах на эту тему рассматривались главным образом лишь следу-
ющие особые случаи стационарного распределения плотности (ср. с (28)):
(q, p)=F (E) (30)
для «пространственной» плотности распределения по Γ-пространству.
91
Атакже(ср.с(29))
σ(q, p)=
1
Q(q, p)
для «поверхностной» плотности распределения по поверхности энергии
(31)
92
E(q, p)=E0.
абсолютно эластичными стенками сосуда, Больцман и Максвелл считают предпосылку о том,
что модели газа являются эргодическими системами, обоснованной.
89a
Для пояснения разницы между постулатами (I — «как угодно близко приближаться к каждой точке поверхности энергии», II — «проходить через каждую точку поверхности энергии»)
вновь рассмотрим геодезическую линию на торе с иррациональным отношением (например,
чуть большим 1/2) числа витков в двух направлениях. Такая геодезическая пересекает меридиан в бесконечном множестве точек P
утверждать, что из P
ном круге, нельзя попасть никоим образом, даже после сколь угодно большого числа оборотов
вдоль геодезической линии m, — в ином случае после двойного количества оборотов можно
было бы попасть из P
что количество точек P
счетное множество среди континуума точек окружности, к которым геодезическая линия подходит как угодно близко.
90
Если системы, удовлетворяющие лишь условию I из прим. 89a, назвать «квазиэргодическими», то в качестве противопоставления выводам 1), 2), 3) Больцмана и Максвелла нужно будет сказать: в квазиэргодической системе на каждой поверхности E(q, p)=E
наблюдается континуум ∞
ниями постоянных от c
Больцмана– Максвелла неприменимо.
91
См. прим. 161(f).
92
Для эргодической системы эргодическое распределение плотности (31) должно быть
вточкуQ, лежащую диаметрально противоположно Phна меридиаль-
h
снова в Ph, что противоречило бы нашему условию. Итак, мы видим,
h
, через которые проходит заданная геодезическая линия, образует
h
2rN−2
до c
2
2rN−1
и притом всюду плотно. С другой стороны, можно
h
отличных друг от друга G-траекторий с различными значе-
. То есть для квазиэргодических систем утверждение (3)
0
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 75
Относительно этого особого выбора плотности следует заметить:
1) Он имеет решающее значение для достижения главных результатов
в статистической теории движений газа (об этом см. прим. 161).
2) Когда Максвелл и Больцман впервые ввели эти особые распределения
плотности, то для обоснования своего выбора они обратились именно к гипотезе о том, что модели газа являются эргодическими систе-
93
мами.
В дальнейшем этот выбор сохранился в литературе, в то время как об
эргодической гипотезе обычно уже нет и речи.
94
Мы будем называть эти особые распределения плотности (30), (31)
эргодическими, чтобы напомнить о том, что иного объяснения их выбору,
кроме ссылки на эргодическую гипотезу, до сих пор не существует.
11. Усредненное поведение модели газа для
неограниченной продолжительности движения
11a. Исследование Больцмана
Свое исследование Больцман начал еще до вывода, в поисках дока-
зательства, что тепловому равновесию соответствует лишь распределение
Максвелла – Больцмана.
Отправной точкой исследования стало следующее обобщенное из опы-
та утверждение
96
го отличного от теплового равновесия состояния в тепловое равновесие
и остается в нем постоянно. Таким образом, если рассматривать усреднен-
ное поведение элемента газа, предоставленного в течение очень долгого
единственным, которое остается стационарным: с одной стороны, все точки поверхно-
сти E(q, p)=E
мы; с другой стороны, произведение σQ вдоль отдельной G-траектории согласно (29) должно
оставаться постоянным. Для неэргодической системы распределения (30) и (31) также стаци-
онарны, однако выглядят они так, словно выбраны произвольно.
93
Если ограничиться непрерывными распределениями плотности σ(q, p),тоужевквази-
эргодических системах распределение (31) будет единственным, которое остается стационар-
ным. Но то, что этот аналитический прием ничего не дает с физической точки зрения, видно
из уравнения (33): среднее по времени значение, о котором там идет речь, в квазиэргодической системе может разрывно изменяться от траектории к траектории, так как усреднение
производится по бесконечному промежутку времени.
94
Даже сам Больцман в своей Gastheorie II, p. 92 вводит распределение (31) вкачестве
«наипростейшего случая» стационарного распределения и называет его «эргодическим», ни
словом не упоминая эргодическую гипотезу.
95
Boltzmann [2] (1868).
96
Ср. с отличным от данного утверждением, к которому ведет продолжение этого исследования в § 13 и 14.
должны лежать согласно прим. 88a на одной и той же G-траектории систе-
0
95
: изолированный элемент объема газа переходит из любо-
76 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
времени T самому себе, то при неограниченном возрастании T это усред-
ненное поведение становится идентично поведению в тепловом равновесии.
Следовательно, целью упомянутого исследования Больцмана становит-
ся обоснование следующего постулата:
Усредненное поведение модели газа в процессе неограниченно продолжающегося движения соответствует распределению состояний Максвелла – Больцмана.
Основную фундаментальную посылку этого исследования составляет
гипотеза о том, что модели газа являются эргодическими системами (ср.
с § 10). С ее помощью Больцман рассчитал среднее по времени значение,
например, кинетической энергии каждого атома (для всех атомов получается одинаковое значение!)
97
, а также среднее по времени значение и других
функций ϕ(q,p), характеризующих усредненное распределение состояний.
Для расчета вышеназванного среднего по времени значения Больцман
представляет семейство бесконечно многих одинаковых экземпляров заданной модели газа, обладающих одинаковой общей энергией E
ся абсолютно независимо друг от друга
98
так,чтоковремениt0их G-точки
идвижущих-
0
распределяются с «поверхностной плотностью» (ср. с (31))
по поверхности E(q, p)=E
стационарным.
99
σ =
. Согласно § 9d, это распределение остается
0
1
Q(q, p)
(31a)
При этом фазовом распределении семейства систем сначала находим
среднее значение вышеупомянутых фазовых функций ψ(q, p) интегрированием по поверхности энергии
100
ψ(q, p)=
ψ · σ · dS
σdS
. (32)
Теперь, чтобы перейти от этих средних значений к искомым Больцманом средним по времени значениям, требуется следующая цепочка равенств:
среднее значение = среднее по времени значение среднего значения =
= среднее значение среднего по времени значения =
= среднее по времени значение. (33)
101
Первое
равенство следует из стационарности выбранного фазового
распределения, второе — из того, что усреднения можно менять местами,
97
См. V8, § 28; Gastheorie II, § 34.
98
См. Boltzmann [4, гл. II, между уравнениями (22) и (23)].
99
Это утверждение еще не зависит от эргодической гипотезы.
100
Для dS следует привлечь уравнение (25).
101
См. прим. 99.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 77
а вот третье равенство опирается на утверждение, что все движения рас-
сматриваемого семейства обнаруживают одно и то же среднее по времени значение для ψ(q, p).
Именно в последнем случае используется гипотеза о том, что модель
газа является эргодической системой. Однако, с учетом возражений против
эргодической гипотезы (§ 10a), приведенное исследование не может быть
названо безупречным.
102
Набросанная здесь схема расчета среднего по времени значения более соответствует, впрочем, тому упорядочению, которое обнаруживается
в работах Максвелла (1879)
Рэлея
104
и Джинса
105
103
и близким к ним по теме сочинениям лорда
. И все же она лишь формально отклоняется от первоначальной схемы Больцмана, которая сначала выводит из посылки об эргодическом распределении семейства систем и гипотезы о моделях газа как
эргодических системах
ка попадает в процессе своего движения в различные области поверхности
энергии
107
106
формулу для времени, в течение которого G-точ-
dt
σdS
lim
T =∞
=
T
, (34)
σdS
где σ вновь определена через (31a). Эта формула для среднего по времени
значения фазовой функции ϕ(q, p) также приводит затем к формуле (32).
11b. Критика и значение теории Больцмана
По отношению к уравнению (34) следует подчеркнуть:
1) Если принять эргодическую гипотезу, то уравнение (34) претендует
стать чисто механической теоремой, независимой от каких-либо «вероятностных» соображений.
2) Если отказаться от эргодической гипотезы или попытаться видоизме-
нить
108
ее, то следует учесть, что в настоящее время отсутствует отправная точка для утверждения о том, что уравнение (34) справедливо
или может привести к какой-то полезной приближенной формуле.
102
Cм. Lord Rayleigh [2], Bryan [1], Lord Kelvin [Baltimore lectures on molecular dynamics,
London 1904], Jeans, Dynam. theory, §§ 92–95.
103
Maxwell [3]. См. также Boltzmann [13].
104
Lord Rayleigh [2].
105
Jeans l. c.
106
Boltzmann [4, гл. III].
107
См. Boltzmann [4, гл. II, между уравнениями (22) и (23)].
108
Видоизмененная Джинсом (Jeans, Dynam. theory, § 96 и далее) формулировка эргодиче-
ской гипотезы опирается на постулат о числе столкновений, так что и эта попытка, по-видимому, не может стать критическим основанием данной теории.
78 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
Если считать, что уравнение (34) выполняется, то оно не только объясняет усредненное поведение, оно определяет еще и относительную продолжительность времени, в течение которого в газе встречаются различные
распределения состояний.
Эта углубленная постановка вопроса сначала отодвинулась в исследованиях Больцмана на второй план из-за последовавшего вскоре вывода им
H-теоремы (1872). И лишь после возражения Лошмидта об обратимости
(§ 7a) Больцман вновь поднимает эту проблему для получения видоизмененной формулировки H-теоремы: он пытается показать, что в процессе
неограниченного движения распределение Максвелла – Больцмана преобладает вначале с огромным отрывом над всеми иными распределениями, что
объясняет тенденцию приближения именно к этому распределению.
Эта проблема подробнее рассматривается в § 13 и § 14; однако вначале
следует ввести некоторые вспомогательные средства.
12. Механические свойства модели газа: продолжение
12a. Фазовое пространство молекул (μ-пространство).
Z-распределение состояний молекул
Фазе движения всей модели газа соответствовала некая точка
в 2rN -мерном Γ-пространстве. Теперь представим себе фазу движения
икаждойизN молекул, например k-й молекулы, при помощи точки m
в 2r-мерном μ-пространстве. Пусть, таким образом, каждой молекуле соответствует точка m
индексом k. Лишь указание положений всех N точек m
деляет фазу всего газа
Пусть μ-пространство поделено на очень малые, но конечные
ные параллелепипеды ω.
деленное количество a
109
Направление, в котором точка m
зависит, таким образом, от одновременного расположения всех остальных точек m и, следовательно, в различные моменты времени различно — в противоположность утверждению,
справедливому согласно прим. 71 для Γ-пространства.
110
Здесь следует заключить компромисс между условиями: а) пусть ω очень малы даже по
сравнению с самой точной физической различимостью; b) пусть ω настолько велики, что соответствующие числа a
многочисленных вопросов следует учесть, что при этих параллелепипедах ω
перейти в пределе к 0. Об этом см. прим. 119.
111
Заданные здесь ωiне что иное, как Δτ из прим. 37 и 53.
112
Если далее мы заменим ai! на аппроксимацию Стирлинга, то тем самым последуем общепризнанному методу Больцмана. В особенности здесь следует принять во внимание условие b)
из прим. 110.
(k)
, которая постоянно остается закрепленной за ней
109
.
111
Ко времени t каждая ячейка ωiсодержит опре-
точек m
i
в общем случае все-таки оказываются очень большими. При решении
i
(k).112
(k)
проходит через какую-либо неподвижную μ-точку,
(1)
, ..., m
i
(k)
(N)
опре-
110
рав-
невозможно
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 79
Под Z -распределением состояний молекул
нимается система чисел a
12b. Объем Γ-пространства, соответствующий Z-распределению
состояний
114
.
i
113
к моменту времени t по-
Из определения распределения состояний следует:
1. Каждой заранее заданной Γ-точке соответствует однозначно определенное Z-распределение состояний.
2. Каждому заранее заданному Z-распределению состояний соответствует 2rN -мерный континуум Γ-точек: область (Z), которую можно назвать «Z-звездой».
3. Объем [Z] Z -звезды рассчитывается как
113
В качестве примеров см. в ур-ниях (3) и (3) стационарные распределения состояний,
соответствующие тепловому равновесию.
114
Boltzmann [10]; Jeans, Dynam. theory, § 39 и далее.
115
Ведь система чисел aiнисколько не изменится, если в фазе моделей газа провести два
вида перемещений:
a) Заставить одну из точек m
ся. Все a
ствующую операцию провести одновременно со всеми N точками m
очерчивает в Γ-пространстве определенную 2rN -мерную «Ω-ячейку» объемом
b) В μ-пространстве поменять местами две точки m
Значит, они не изменятся и после проведения всех N! перестановок этого вида. Во всех этих
перестановках Γ-точка модели газа занимает в целом N! различных положений. Их распределение вполне можно назвать звездообразным, так как они могут переходить друг в друга через
определенное количество поворотов Γ-пространства вокруг точки O.
116
при которых ни одна точка изображения m
придем к a
рации а) предыдущего примечания. Для получения Γ-точки другой ячейки поменяем местами
две точки m
легко увидеть: 1) что N !-точки, полученные из Γ
группы из a
2) что как раз поэтому комбинация операций а) с перестановками дает лишь
различных Ω-ячеек, чем и доказано равенство (35).
останутся неизменными. Значит, они не изменятся и в том случае, если соответ-
i
Мы будем исходить из определенной фазы Γ0и возьмем сначала все те перестановки,
! a2! a3! ... Γ-точкам. Все они лежат в Ω-ячейке, полученной из Γ0входеопе-
1
(k)
и m
! a2! a3! ... точек, всегда лежащие рядом друг с другом в каждой из Ω-ячеек;
1
115
116
[Z]=
(k)
пройти все μ-точки ячейки ωi, в которой она находит-
(h)
, лежащие в различных ω-ячейках. На основании данного замечания
N!
a1! a2! ...
[Ω] = [ω]
N
(k)
не покидает свою ячейку. Таким образом мы
в результате перестановок, распадаются на
0
N!
a1! a2! ...
N
. (35)
[ω]
(k)
.ПриэтомG-точка
. (35a)
(k)
.Всеaiостанутся неизменными.
80 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
12c. Функции распределения состояний
При непрерывном перемещении фазовой точки G система всех чисел a
изменяется разрывно каждый раз, когда G-точка переходит из одной Z-звезды в другую. Следовательно, каждая функция чисел a
— функция распреде-
i
ления состояний F(Z), рассмотренная как функция фазы (q,p), — является
разрывной функцией фаз.
Эти функции составляют отличительный инструмент кинетической
теории.
Числовая мера [Z] иеепервыймножитель
P (Z )=
N!
a1! a2! ...
(36)
дают первый пример F (Z).
Сюда же относятся все F (Z ), через которые в кинетической теории газов аппроксимируют точные значения непрерывных функций фаз:
пусть λ
в самом центре ячейки ω
общую кинетическую энергию всех a
ке ω
— кинетическая энергия молекулы, фазовая точка которой лежит
i
можно хорошо приблизить выражением
i
μ-пространства. Так как ω-ячейки очень малы, то
i
молекул с фазовыми точками в ячей-
i
a
. (37)
iλi
Точное значение кинетической энергии всей модели газа L(q, p) —непрерывная функция фаз — аппроксимируется затем через F(Z):
L(Z)=a
. (38)
iλi
i
Аналогичным образом следует проводить аппроксимацию потенциальной
энергии Φ(q, p) через
Φ(Z)=a
iϕi
(39)
и общей энергии E(q, p) через
E(Z )=a
. (40)
iεi
Этим легко подтверждается следующее замечание, которым мы воспользуемся в § 13.
Уравнение
E(Z )=E
0
(41)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]