Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 161
поверхности), а не только, как в п. 4, просто велики. Чт´о это означает более
точно в применении к распределению s
, будет еще показано.
ν, a
Следует еще раз указать на предварительный характер наших оценок.
Возможно, что данное выше усиление требования относительно величины
фазовых ячеек необходимо на самом деле для того, чтобы эргодическая
теорема и H-теорема были справедливы. Может оказаться также, что оно
вытекает лишь из неполноты наших методов оценки, так что в действительности достаточно уже условия
sa 1 из п. 4. Было бы интересно внести
ясность в этот вопрос.
III. Обсуждение результатов
1. Подведем итог достигнутому до сих пор. Мы показали:
Пусть ψ — некоторое состояние, ψ
с течением времени t0, U
(ср. I.3), H — оператор энергии, W
=1, 2, ...; ρ =1, ..., S
; макроскопически различимы лишь собственные
a
состояния с различными a, ср. I.2), — как ψ,такиH являются точными (не
макроскопическими!) выражениями. Относительно H мы делаем допущение, что (при фиксированном a)всеW
все разности W
ρ, a
− W
,т.е.чтоH не обладает вырождением внут-
σ, a
ри макроскопически неразличной группы термов и резонансами с другими
(виртуальными) такими же системами.
этого запрета допустимы.) Тогда для математического ожидания каждой
макроскопически измеримой величины A и для энтропии в среднем по
времени имеют место
M
{(EA(Uψ) −EA(ψt))2} η2· Max
t
M
{|S(Uψ) −S(ψt)|} Max
t
a=1, 2, ...
— состояние, вытекающее из него
t
— его микроканонический ансамбль
ψ
— его собственные значения (a =
ρ, a
различны между собой, а также
ρ, a
48
(Не слишком частые нарушения
⎛
N
a
S
a=1, 2, ...
⎛
⎝
N
ν=1
⎝
a
ν=1
S
s
ν, a
a
(M
+ N
ν, a
ν, a
s
ν, a
⎞
a
(M
+ N
ν, a
ν, a
⎠
)
⎞
⎠
)
,
.
[Ср. II.3; достаточно образовывать Max лишь по тем a (макроскопические), энергетические поверхности которых входят в микроканонический
48
Именно, если W
ние ϕ
σ,a
и ϕ
в второй системы.
σ, a
второй системы имеют ту же суммарную энергию, что и состояние ϕ
ρ, a
− W
σ, a
= W
ρ,a
− W
, то состояние ϕ
σ,a
первой и состоя-
ρ, a
ρ,a
первой
162 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
ансамбль Uψ(ua=(Δaψ, ψ) =0)—напрактикечащевсегоэтосводится к лишь одному a.
η2является микроканоническим средним от A2,т.е.
является мерой порядка его величины.]
Эргодическая теорема и H-теорема справедливы, таким образом, без
N
a
S
исключений (т. е. для всех ψ), если эти
носительно выполнимости этого условия, в которое помимо S
(и Δa)входиттакжеω
λ, ν, a
(в M
ν, a
и N
a
(M
s
ν, a
ν=1
), можно сказать следующее:
ν, a
ν, a
+ N
) малы. От-
ν, a
, Na, s
a
ν, a
если имеет место
N
ν=1
a
⎛
1
s
ν, a
1
ln s
⎝
sa=
a
N
a
1
s
N
ν, a
a
ν=1
⎞
S
a
⎠
=
,
N
a
т. е. если фазовые ячейки E
гетической поверхности Δ
го большинства ω
49
мал´о.
,т.е.среднеепоω
λ, ν, a
велики по отношению к их числу на энер-
ν, a
, то это условие выполняется для подавляюще-
a
λ, ν, a
от
N
ν=1
a
S
a
(M
s
ν, a
ν, a
+ N
ν, a
Итак, истинное условие справедливости обеих теорем может нару-
N
a
шаться и при
ν=1
1
s
ν, a
искусно выбрать макроскопическую измерительную технику (ω
1
,т.е.дажеивэтомслучаеможнотак
ln s
a
λ, ν, a
),что
теоремы не будут справедливы. Но для подавляющего большинства макроскопических точек зрения обе теоремы справедливы без исключений (т.е.
для всех ψ и A).
N
a
2. Присмотримся внимательнее к условию
все s
бы, что
(a фиксировано!) были примерно равны, то это условие означало
ν, a
N
a
s
ln s
a
s
1
a
,
a
Na, т. е. немногим больше, чем sa Na,
ln s
a
ν=1
1
s
ν, a
ln s
1
a
.Еслибы
т. е. утверждение, что фазовые ячейки велики по сравнению с их числом на
энергетической поверхности. Если же среди s
различные, то нужна максимальная осторожность: одно-единственное s
49
Заметим: мы доказали не то, что для каждого данного ψ или A эргодическая теорема
и H -теорема имеют место для большинства ω
вообще справедливы, т. е. для всех ψ и A. Последнее, естественно, намного больше, чем
первое.
,ато,чтодлябольшинстваω
λ, ν, a
попадаются существенно
ν, a
λ, ν, a
ν, a
они
)
,
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 163
N
a
которое не 1, уже приводит к тому, что
нию нашего условия. С другой стороны, s
друга: ибо ln s
надо считать энтропией смеси
ν, a
теризует общую систему, находящуюся в фазовой ячейке E
1
не 1,т.е.кнаруше-
s
ν, a
ν=1
сильно отличаются друг от
ν, a
1
E
, которая харак-
ν, a
s
ν, a
,50—идо-
ν, a
статочно представить себе соотношения из теории газов, чтобы понять,
что на энергетической поверхности, вообще говоря, лежат фазовые ячейки с существенно различными энтропиями. (Как раз их наличие делает
из H-теоремы глубокое утверждение!) Если самая большая из встречающихся (макроскопически воспринимаемая!) разница энтропии равна σ,то
всегда |ln s
ввиду чего надо потребовать, чтобы
μ, a
− ln s
| σ,такчто
ν, a
s
sae−σ,
ν, a
N
ν=1
s
ln s
a
s
a
a
1
ν, a
eσNa.
σ
e
N
a
,
s
a
Впрочем, это соотношение показывает, что опасность оказывается
только кажущейся: в силу малости h, которое входит в левую часть
(при h → 0, s
→∞, ср. введение, п. 6), но не в правую, это соотноше-
a
ние при нормальных обстоятельствах выполняется. Нам кажется, что здесь
нет нужды вдаваться в дальнейшие подробности.
3. Остается еще разобраться в смысле условий на собственные значения H , приведя известные классические примеры и контрпримеры к эргодической теореме и H-теореме.
Пусть K — ящик, в котором беспорядочно движутся N час-
, ..., kN, т.е. какой-то газ; примем альтернативно, что:
тиц k
1
α) между частицами нет никаких взаимодействий, так что даже соударений никогда не бывает (это значит, что они могут беспрепятственно
проходить друг через друга);
β) имеются взаимодействия и соударения.
В случае α) оба предложения, как известно, не справедливы (так как
любое распределение скоростей, а не только максвелловское, может существовать произвольно долгое время), в случае β) надеются, напротив, что
они имеют место. (Совершенно аналогична ситуация в случае излучения
50
Это следует, с одной стороны, из приведенных выше рассуждений, а с другой — это ясно
также и из смысла больцмановского определения энтропии: ведь фазовая ячейка E
жит s
состояний.
ν, a
ν, a
содер-
164 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
в полости, в которой имеется лишь отражение.) Как следует понимать такое поведение с точки зрения наших условий?
Поскольку в отношении S
, Na, s
a
ν, a
и E
едва ли имеется какое-ни-
ν, a
будь различие между α)иβ), то в качестве причины этого различия остается H -условие. Будем рассматривать сначала каждую частицу в K саму по
себе, тогда ее собственные значения энергии будут ε
ными значениями энергии всего K будут тогда в случае α)все
∞
(zν=0, 1, ...,
zν= N ), в случае β) они еще немного изменятся —
ν=1
, ...51Собствен-
1,ε2
∞
ν=1
zνε
тем меньше, чем слабее взаимодействие. В силу тождественности частиц
здесь собственно возникает, вообще говоря, N !-кратное «обменное вырож-
52
дение»
, т. е. нарушение первого условия на собственные значения энергии. Поскольку, однако, имеет место или статистика Ферми – Дирака, или
же статистика Бозе – Эйнштейна, т. е. допустимы только антисимметричные, соответственно симметричные во всех частицах волновые функции
то эти вырождения снова отпадают
54
. Таким образом, здесь не возникает
53
трудностей. Напротив, в случае α) существует ряд соотношений вида, запрещенного вторым условием:
+ ε3+ ...) − (ε2+ ε3+ ...)=(ε1+ ε4+ ...) − (ε2+ ε4+ ...) ит.д.
(ε
1
В случае β) это невозможно, так как четыре заданных терма K возмущают-
ся совершенно по-разному, причем это утверждение, очевидно, нисколько
не зависит от абсолютной величины возмущения (т.е. взаимодействия).
Таким образом, внутренняя причина различного характера случаев α)
и β) лежит в поведении по отношению к условию
ν
,
W
− W
ρ, a
51
Мы считаем k1, ..., kNтождественными и принципиально неразличимыми между собой. Если же они различны, то каждая частица k
ным, отличным от других спектром термов ε
же, как в тексте, только не будет требующей рассмотрения опасности вырождения, α)снова
будет противоречить второму условию на собственные значения H ,аβ)небудет.
52
В случае α); в случае же β) порядки вырождения совпадают с порядками неприводимых
представлений симметрической группы из N элементов. Ср. E. Wigner,Zs.f.Phys.40 и 43
(1927).
53
Ср. W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 41 (1927), а также P. A . M . D i r a c , Proc. Roy. Soc. (А) 112
(1926).
54
В случае статистики Ферми – Дирака допустимы, конечно, лишь zν=0, 1,ноэтоне
вредит нашим соображениям.
σ, a
= W
n1,εn2
− W
ρ,a
(n =1, ..., N) обладает своим собствен-
n
,...Обсуждение остается тогда таким
σ,a
.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 165
Приложение
1. Надо вывести использованные в II.4,5 свойства распределе-
ний |(E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
следует разъяснить, как здесь вообще можно говорить о статистическом
распределении.
В II.4 мы указывали на то, что все величины, зависящие от E
висят, в конце концов, от ω
понимаем усреднение по этим ω
ны, они подчиняются условию
определяют E
ли, что все такие системы получаются из одной из них, скажем
с помощью линейных унитарных преобразований. Так что, избрав каким-то образом
няем по множеству унитарных матриц преобразования [в
измерениях, они переводят ω
бы обозначать эти матрицы через {ξ
ные индексы λ, ν, и равным образом для столбцов λ
с системой индексов для ω
s
N
ν, a
a
=
λ=1
ν=1
ξ
λ, ν/λ,ν
индекс, т.е. писать ξ
как следует усреднять по множеству S
Мы желаем усреднять так, чтобы при этом ни одной из систем отсчета ω
не отдавалось предпочтения перед другими. Если теперь ω
λ, ν, a
означает какую-нибудь другую из таких систем отсчета, ω
s
N
ν, a
a
ν=1
$
ξ
λ, ν/λ,ν
=
λ=1
то между матрицами {ξ
нии к
= {ξ
ω
ρ/ρ
и, соответственно, ω
λ, ν, a
}{$ξ
ρ/ρ
)|2(ρ = σ)и(E
по формуле
ν, a
ω
, можно с равным успехом сказать, что мы усред-
λ, ν, a
ω
λ,ν,a
ρ/ρ
ω
λ,ν,a
},т.е.
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
, а также на то, что под усреднением мы
λ, ν, a
λ, ν, a
λ, ν, a
:посколькуSa, Na, s
λ, ν, a
s
N
ν, a
a
P
ω
λ=1
ω
λ, ν, a
в ω
λ, ν, a
λ, ν /λ,ν
λ, ν, a
λ, ν, a
= E
ν=1
s
ν, a
λ=1
P
и ω
).Сначала,однако,нам
ν, a
и Δaзада-
ν, a
= Δaи, со своей стороны,
. Дальше мы упомина-
ν, a
ω
λ, ν, a
N
a
s
= S
ν, a
ν=1
(a фиксировано!)]. Следовало
}, используя для строк двой-
(ведь должно быть ω
, ν,всоответствии
λ, ν, a
), но мы предпочитаем ввести один текущий
(ρ, ρ=1, ..., Sa). Теперь мы должны объяснить,
-мерных унитарных матриц {ξ
a
(запишем теперь также и$ξ
ρ,ρ
ξ
} и {ξ
ρ/ρ
} (той же системы ω
ρ, ρ
существует соотношение {ξ
λ, ν, a
S
a
=
ρ=1
$
ξ
ξ
ρ/ρ
ρ/ρ
вместо$ξ
ρ/ρ
λ, ν, a
.
ρ/ρ
λ, ν, a
λ, ν/λ,ν
)вотноше-
ρ/ρ
,за-
=
λ, ν, a
=
} =
,
a
}.
),
166 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
Итак, метод усреднения должен быть таким, чтобы он был инвариантным
по отношению к преобразованиям указанной выше формы {ξ
(для любой фиксированной унитарной матрицы {$ξ
}). Но подобный ме-
ρ/ρ
ρ/ρ
тод усреднения по унитарной группе существует, причем он полностью
определяется наложенным требованием; он был разработан Вейлем.
}→{ξ
55
ρ/ρ
Мы,
однако, не будем пользоваться здесь его общими формулами, единственное, что нам понадобится для достижения цели, — это свойства инвариантности этого метода усреднения. Упомянем еще, что (как показано в l. c.)
указанный метод усреднения инвариантен также по отношению к преобра-
}{ξ
ρ/ρ
ρ/ρ
}→{ξ
зованию {ξ
= {$ξ
ρ/ρ
},т.е.ξ
}, которое определяется соотношением {ξ
ρ/ρ
ρ/ρ
S
a
$
=
ρ=1
ξ
ξ
ρ/ρ
.
ρ/ρ
ρ/ρ
} =
Во-вторых, сделаем еще несколько формальных упрощений. Так как
порядок нумерации ν =1, ..., N
смотреть E
. Заменой индексов λ, ν через ρ мы можем распорядиться
1,a
так, что λ, 1 перейдет в ρ =1, ..., s
та
ω
: пусть это будет система ϕ
λ, ν, a
перенумерация. Имеем тогда
(E
1,aϕρ, a,ϕσ, a
)=
s
1,a
τ =1
(P
ω
=
И, наконец, опустим излишние индексы ν, a,такчтоS
, M
ϕ
ρ, a
1,a
, N
перейдут в S, N , s, Δ, E , ϕρ, M, N.
1,a
не имеет значения, то достаточно рас-
a
. Выберем затем систему отсче-
1,a
, чем одновременно достигается
ρ, a
τ, a
s
1,a
τ =1
ϕ
ρ, a,ϕσ, a
(ϕ
ρ, a,ωτ, a
)=
)(ω
τ, a,ϕσ, a
a
)=
, Na, s
s
1,a
τ =1
1,a
∗
ξ
ξ
τ/ρ
, Δa, E
τ/σ
.
1,a
Итак, вот наша задача: исследовать с помощью очерченного выше метода усреднения распределения величин
|(Eϕ
ρ,ϕσ
и
(Eϕ
где |ξ
| пробегает все S-мерные унитарные матрицы.
ρ/ρ
)|2=
ρ,ϕρ
S
τ =1
)=
ξ
∗
τ/ρ
τ =1
2
ξ
τ/σ
S
|ξ
τ/ρ
(ρ = σ)
|2,
2. Прежде всего одно вспомогательное рассуждение. Установим рас-
S
пределение значений
55
H. Weyl,Math.Zs.23 (1925).
2
x
, когда вектор {x1, ..., xS} пробегает поверх-
ρ
ρ=1
}
,
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 167
S
ность единичной сферы
2
x
=1, причем сначала для вещественных xρ.
ρ
ρ=1
То есть мы определим W (u),гдеW (u)du является (геометрической) ве-
S
роятностью для u
ческое рассмотрение, которое мы здесь не станем воспроизводить, пока-
зывает, что W (u) пропорционально выражению u
ρ=1
2
x
u + du (0 u 1).56Простое геометри-
ρ
s
−1
2
(1 − u)
S−s
2
−1
,ане
зависящий от u фактор пропорциональности определяется из
1
W (u)du =1.
0
Если теперь x
, ..., xSмогут быть комплексными и, следовательно, надо
1
рассматривать
u
S
|xρ|2 u + du и
ρ=1
S
|xρ|2=1,
ρ=1
то стоит лишь сообразить, что все остается по-старому, если действительные и мнимые части x
ординаты. При этом нужно лишь s, S заменить на 2s, 2S.ТогдаW (u)
будет пропорционально u
определяется из нормировки как
нее от
S
ρ=1
|xρ|
n
2
рассматривать как вещественные декартовы ко-
ρ
s−1
(1 − u)
S−s−1
, а фактор пропорциональности
(S −1)!
(s − 1)!(S − s −1)!
. Следовательно, сред-
будет равно
1
0
=
(s − 1)!(S −s − 1)!
56
Речь идет об определении площади s-мерного сегмента на S -мерной единичной сфере.
(S −1)!
(s − 1)!(S −s − 1)!
=
(S −1)!
(s −1)!(S −s −1)!
(S −1)!
u
s−1
(1 −u)
S−s−1
1
0
s+n−1
u
· un· du =
(s + n − 1)!(S − s − 1)!
(S + n −1)!
(1 − u)
S−s−1
du =
(s(s +1)...(s + n − 1)
=
S(S +1)...(S + n − 1)
.
168 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
3. Возвращаясь к унитарным {ξ
S
τ =1
В e
ξ
τ/ρ
ρ, ρ
ρ, ρ
∗
ξ
. В силу приведенных в п. 1 оснований, все e
τ/σ
57
.
S
=
|ξ
|2входит лишь ρ-й столбец матрицы {ξ
τ/ρ
τ =1
=
имеют одно и то же распределение вероятностей, а равным образом
ивсеe
}, запишем для краткости e
ρ/ρ
ρ, σ
},понему
ρ/ρ
=
ρ, σ
(ρ = σ)
можно усреднить так, как это было проделано в п. 2 по единичной сфере
(это легко следует из свойств инвариантности наших средних). Поэтому
будет (через M мы обозначаем среднее)
s
)=
,
S
s(s +1)
S(S +1)
2
) −
ρ, ρ
2
s(S −s)
=
2
S2(S +1)
2
+
ρ, ρ
,
2s
M(e
S
S
ρ, σ=1
ρ=σ
2
s
ρ, ρ
)+
=
2
S
.
|e
|2.
ρ, σ
M
Дальше из E
e
−
ρ, ρ
=
2
= E выводим
=
e
ρ, ρ
M(e
2
M(e
ρ, ρ
2
s
S
= M(e
s(s +1)
S(S +1)
S
|e
ρ, σ
σ=1
ρ, ρ
)=
s
−
S
|2= e
В силу равенства всех M(|e
M(|e
ρ, σ
|2)=
1
S −1
(M(e
|2) (ρ = σ)будетпоэтому
ρ, σ
) − M(e
ρ, ρ
2
ρ, ρ
)=
s(s +1)
s
1
=
S −1
−
S
S(S +1)
=
s(S −s)
S(S2− 1)
.
Тем самым использованные в II.4 средние значения найдены, причем в согласии с данными там значениями.
57
Перестановка строк и столбцов принадлежит к введенным там преобразованиям.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 169
Теперь остается лишь исследовать распределения |e
иe
ρ, ρ
2
s
−
, чтобы определить средние M, N из II.5.
S
4. Последнее проще всего: мы уже знаем, что u e
(0 u 1) имеет вероятность W (u)du (ср. с п. 2). Пусть a — некоторое
2
число > 0,
левая сторона заведомо 1,таккак0 e
⎛
√
s
−
S
⎜
⎜
⎜
⎝
0
s
, тогда вероятность, чтоe
2
S
⎞
a
1
⎟
⎟
√
+
W (u)du =
⎟
⎠
a
(S −1)!
+
s
S
=
(s − 1)!(S −s − 1)!
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ρ, ρ
1)будетравна
ρ, ρ
√
s
a
−
S
+
√
s
0
+
S
2
s
−
S
⎞
1
⎟
⎟
s−1
u
⎟
⎠
a
|2(ρ = σ)
ρ, σ
u + du
ρ, ρ
a (заметим, что
(1 −u)
S−s−1
du.
Логарифмическая производная подынтегрального выражения равна
s − 1
так что оно постоянно возрастает при приближении к u =
чение <
s
,причемна
S
оно лежит в интервале
ное выражение достигает поэтому своего максимума при u =
u
S −s − 1
−
1 −u
s
S
1
=
u(1 − u)
s − 1
−
s
±√a. В области интегрирования подынтеграль-
S
S −1
+
S(S − 1)
([s − 1] − [S −2]u),
S −2s
1
S
s − 1
.Этозна-
S −2
;поэтомуеслиa
s
±√a (мы
S
1
,то
2
S
не различаем где). Поэтому мы можем оценить все выражение, оно будет
(S −1)!
(s − 1)!(S −s − 1)!
√
s
±
S
s−1
a
1 −
s
S
S−s−1
√
a
∓
.
Воспользуемся теперь тем, что 1 s S, тогда первый множитель (на
основании формулы Стирлинга) будет ∼
#
2π
−s
s
s
S
1 −
S−s
s
,авто-
S
170 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
рой ∼
S
s
±√a
s
S
s
1 −
s
S
∓√a
S−s
. Поэтому все выражение будет
S
∼
√
2πs
1 ±
S
s
√
s
a
1 ∓
S −s
=
√
S−s
√
S
a
s ln1±
S
e
=
√
S
a+(S−s)ln1∓
s
S
S−s
√
a
.
2πs
Экспонента будет
√
S
±s
В силу
s
s√a
S
выражение
a
2
S
a
− s
2
2s
1 второй член мал по сравнению с первым, так что наше
S
e
√
2πs
Это относилось к вероятности, чтоe
ного ρ =1, ..., S. Вероятность того, что это будет иметь место для произ-
вольного ρ [т.е. для N =max
в S раз больше, таким образом
−Θ
2
S
a√a
± s
2
S
a
2s
ρ=1, ..., S
∓ (S − s)
3
3s
(Θ —какое-точисло< 1).
e
ρ, ρ
2
S
√
2πs
−
−Θ
e
√
S
S −s
ρ, ρ
a = −
s
−
S
2
s
a, в крайнем случае
S
2
S
a
2s
. Среднее значение N мы
2
S
a
2s
2
a для фиксирован-
3
a√a
S
±
3s
.
2
оцениваем теперь в двух областях: для значений 0, a вероятность во
всяком случае 1, для значений же a, 1 имеет место указанная граница. Итак,
M(N) a +
√
2
S
2
S
a
−Θ
2s
e
.
2πs
В качестве a можно выбрать любое число
8s ln S
=
в силу заключительного условия из II.5.
58
. (Это дает все, если s ln S, что безусловно должно выполняться
2
ΘS
Из
N
ν=1
a
1
s
ν, a
ln s
1
a
следует s
ln sa. Записанное иначе (ср. там):
ν, a
58
1
2
S
) Тогда наша верхняя граница
,
2
s
,мыположимa =
2
S
Naln S
s
a
a
1,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]