Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
О ДВУХ ИЗВЕСТНЫХ ВОЗРАЖЕНИЯХ ПРОТИВ H -ТЕОРЕМЫ БОЛЬЦМАНА 191
на достаточно большой высоте, как правило, возникает абсолютный максимум. (N = 100; Δ=96; Z (96) : Z(98) = 198 : 4.) Теперь, возвращаясь
к «обратному» возражению, мы можем высказать следующее утверждение:
если неограниченно продолжать Δ-кривую, то шаг
(Δ) − (Δ − 2)
a) встречается так же редко, как шаг
(Δ −2) −(Δ)
b) намного чаще, чем шаг
(Δ) − (Δ + 2)
(это можно сосчитать по формулам (16) и (18)). Тем самым мы сможем
а) удовлетворить «обратное» возражение и b) несмотря на это, сохранить
тенденцию к уменьшению H.
Подводя итоги, можно сказать следующее:
I. Как правило, Δ-кривая из каждой своей высоко расположенной точ-
ки уходит вниз.
II. Данное утверждение остается в силе — и это звучит особенно
парадоксально — независимо от того, пробегаем ли мы имеющуюся кривую
слева направо или справа налево.
Совершенно аналогично, хотя и несколько более пространно, выглядели бы наши рассуждения для Δ-кривой, которая возникает не в результате
одного, а в результате n последовательных вытягиваний лотерейных билетов.
Высказанные здесь утверждения будут намного менее понятными, если без особой необходимости и при этом произвольно интерполировать нашу дискретную точечную последовательность с помощью связной, непрерывной последовательности кривых. Поскольку наши утверждения о возрастании можно без всяких сомнений распространить на производные, для
такого обобщения нам прежде всего понадобятся пространные рассуждения, чтобы мы смогли разобраться с непрерывностью и дифференцируемостью интерполяционной кривой.
7. Нам остается еще указать на то, что при каждой попытке дать
кинетическое объяснение закону об энтропии с H-кривой обращаются,
как с дискретной последовательностью точек типа Δ-кривой. Определение величины H основано на понятии распределения скоростей молекулы,
а также на подсчете количества молекул в каждом элементе пространства
скоростей. Из-за того, что мы учитываем полное количество молекул, получается, что точный график H имеет ступенчатую форму: H совершает прыжок, когда из-за хаотичного движения или взаимного столкновения
192 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯНА ЭРЕНФЕСТ
какая-то молекула из этого общего числа изменяет хотя бы одну из своих
характеристик. В промежутках график H расположен горизонтально.
Проводя наши вычисления, мы выхватываем из этой ступенчатой кри-
вой хотя и существенную, но только дискретную последовательность точек:
«дифференциал времени dT » в кинетической теореме всегда охватыва-
ет очень большое число взаимных столкновений молекул газа. Вычисления
H-теоремы связаны с отношением разностей
12
этой дискретной последовательности точек, как и заключительные утверждения Больцмана о тенденции H -«кривых», как правило, уходить вниз из каждой высоко расположенной точки.
Но тогда достаточно будет всего лишь сослаться на приведенное нами
исследование Δ-кривых, чтобы прийти к следующему утверждению.
Ни одно, ни другое из названных возражений недостаточны и вооб-
ще совершенно непригодны, чтобы опровергнуть утверждение Больцмана
о том, что производная функции H по времени при больших значениях H
с очень большой вероятностью меньше нуля.
12
Возможно, Больцман недостаточно заостряет на этом внимание. Как правило, он использует термины, которые соответствуют непрерывной и дифференцируемой интерполяционной
кривой. В таких местах поначалу трудно удержаться от совершенно неправильного пред-
ставления, будто вышеупомянутые утверждения должны относиться к настоящим производ-
ным одной из таких непрерывных и дифференцируемых интерполяционных кривых. Конечно,
в этом случае утверждения B и C (§ 4), очевидно, были бы внутренне противоречивыми. К тому же при использовании данной терминологии возникает соблазн отождествить «максимум
функции H » с «горизонтальным поведением функции H» (см. цитату в примечании 8 к §5,
стр. 187), вместо того чтобы без дальнейших рассуждений рассматривать абсолютные максимумы. Точно так же эта терминология дает нам повод использовать в общем случае гипотезу
о совпадении левой и правой производной и, исходя из нее, доказывать, что основания ста-
тистики допускают выполнение только одного утверждения:
утверждение II, 1900), в то время как о совпадении левой и правой производных, естественно,
ничего не говорилось! В некоторых местах Больцман особо подчеркивает, что его предложения относятся не к производной, то есть не к отношению дифференциалов, но к отношению
разностей. (См., например, B. Math. Ann. 50, 327, 1898.) Впрочем, это единственная точка
зрения, имеющая смысл, если вспомнить про физическую цель нашего исследования.
13
Мы стремились отделить это утверждение от других, связанных с ним. Поэтому мы не
стали поднимать вопрос о том, насколько полным может выглядеть доказательство H-теоремы;
и, в частности, какой смысл мы должны придать гипотезе о продолжающемся «молекулярном
беспорядке». В чем состоит понятийное соотношение между вычислительными результатами,
связанными с H-теоремой, и высказываниями относительно H-кривой и т.д. В ближайшее
время мы вернемся к этим вопросам в другом месте, когда будем обсуждать соответствующую литературу. В нашей дискуссии мы намеренно не затронули часто поднимавшийся
вопрос: какие следствия связаны с единым мнением Больцмана и Цермело о том, что квазипериодическое поведение газовой системы исключает распространение догматического закона
об энтропии (когда энтропия только возрастает) на изолированную газовую систему. Несомненно, что метод, с помощью которого г-н Цермело доказывает это утверждение, означает
огромный шаг вперед в кинетической трактовке термодинамики.
13
dH
=0(Zermelo, l. c., 1,319,
dt
ПРИЛОЖЕНИЕ A
Функция Вигнера и диффузия
в бесстолкновительной среде,
состоящей из квантовых частиц
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
С помощью функции Вигнера описывается квантовый аналог модели
Пуанкаре, реализующей необратимое поведение идеального газа (сплошной среды), состоящего из точечных классических невзаимодействующих
частиц.
В первоначальной модели Пуанкаре [1] (ее подробный анализ содержится в книге [2]) рассматривается идеальный газ в прямоугольном параллелепипеде, состоящий из одинаковых (точечных) невзаимодействующих
классических свободных частиц. При этом плотность частиц, или, что то
же самое, плотность идеального газа отождествляется с плотностью вероятностного распределения положений свободной частицы в параллелепипеде (в рамках изучаемой модели другие характеристики идеального газа
не рассматриваются). В [2] доказано, что при стремлении времени к бесконечности (а также и к минус бесконечности) это вероятностное распределение стремится к равномерному (в предположении, что в начальный
момент времени плотность распределения является суммируемой функцией координат и скоростей). Но это и означает, что плотность идеального
газа стремится к равномерной при неограниченном возрастании времени,
что соответствует необратимости эволюции такого газа (фактически в книге [2] рассматривается движение частиц на торе, причем отмечается, что
эта ситуация является универсальной для невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых систем). Стоит еще раз подчеркнуть, что плотность
стремится к равномерной также и при неограниченном убывании времени,
так как уравнения, описывающие динамику системы частиц, инвариантны
относительно обращения времени.
1
Теория вероятностей и ее применения, 2006, т. 51, вып. 1, с. 109–125.
1
194 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
В настоящей работе показано, что в случае некомпактного конфигурационного пространства как вероятностное распределение координат классической свободной частицы, так и вероятностное распределение результатов измерения координат квантовой свободной частицы также стремятся
к равномерному. Это по определению означает, что отношение вероятностей попадания частицы в две различные компактные области конфигурационного пространства стремится к отношению их мер Лебега (снова как
при неограниченном возрастании, так и при неограниченном убывании времени) (ср. [4]).
При применении этого результата к идеальному газу, состоящему из
одинаковых невзаимодействующих свободных частиц, снова предполагается, что плотность такого идеального газа — это плотность вероятностного
распределения (в квантовом случае снова следует добавить — результатов
измерений) координат свободной частицы.
2
Таким образом оказывается,
что плотность идеального газа, состоящего из невзаимодействующих свободных частиц, стремится к равномерной при неограниченном возрастании
времени (а также и при его неограниченном убывании), причем это верно
как для газа, состоящего из классических частиц, так и для газа, состоящего
из квантовых частиц.
Центральную роль в работе играет то обстоятельство, что для квантовых систем, полученных квантованием классических гамильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона (про такие квантовые системы говорят, что они обладают квадратичным гамильтонианом), эволюция
функции Вигнера совпадает с эволюцией плотности вероятностного распределения в фазовом пространстве исходной классической гамильтоновой системы; поэтому использование функции Вигнера позволяет (в случае
квадратичных гамильтонианов) решать одновременно квантовые и классические задачи и, в частности, применять при исследовании квантовых версий моделей типа Пуанкаре методы, развитые в [3] и [4] для исследования
классической модели.
Изложение построено следующим образом. Сначала мы формулируем несколько определений функции Вигнера и доказываем их эквивалентность. Затем мы приводим доказательство того, что для квантовых систем
с квадратичным гамильтонианом эволюция функции Вигнера совпадает
с эволюцией плотности вероятностного распределения на фазовом пространстве классической гамильтоновой системы. В том случае, когда га-
2
Конечно, в квантовом случае это верно только для так называемых больцмановских,
т.е. различимых, квантовых частиц; если частицы являются бозонами или фермионами, то
сформулированное предположение выполняется лишь приближенно для достаточно разреженного газа — см. по этому поводу [7].
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 195
мильтониан является суммой кинетической и потенциальной энергий, полученный результат вытекает из результата работы [10] об уравнении для
функции Вигнера (таким образом, используемое далее описание эволюции
функции Вигнера свободной частицы является частным случаем каждого
из этих результатов). После этого мы показываем, что вероятностное распределение результатов измерений координат свободной квантовой частицы в R
n
стремится к равномерному; это означает, в частности, что плотность условного распределения измеренных значений координат такой частицы, при условии, что эти значения принадлежат компактной области K
конфигурационного пространства, стремится к функции, значение которой
равно
1
mes K
в точках этой области и нулю вне ее (символ mes K обо-
значает меру Лебега множества K). Кроме того, мы показываем (с помощью рассуждений, аналогичных использованным в [4]), что при подходящих начальных условиях эволюция плотности распределения измеренных
значений координат свободной квантовой частицы подчиняется эволюционному уравнению, фундаментальное решение задачи Коши для которого
представляет собой переходную вероятность строго устойчивого случайного процесса. Наконец, мы рассматриваем движение квантовых частиц на
торе и отмечаем, что эволюция плотности идеального газа, состоящего из
таких частиц, описывается периодической функцией и, следовательно, существенно отличается от эволюции классического идеального газа.
1. Обозначения и терминология. Далее символ Q обозначает конфи-
гурационное пространство классической гамильтоновой системы, P —ее
пространство импульсов; предполагается, что dim Q (= dim P )=n(< ∞)
и что каждое из пространств Q и P наделено структурой евклидова пространства, а ортогональная сумма E евклидовых пространств Q и P (отождествляемая с их произведением, так что можно написать E = Q ⊕ P =
= Q × P ) — структурой симплектического пространства, задаваемой отоб-
ражением I : E
∗
→ E, (p, q) → (q, −p);символомH обозначается функция
Гамильтона (она определена на фазовом пространстве E гамильтоновой системы). Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая гамильтонова
система — это набор (E, I,H); уравнения Гамильтона и Лиувилля — это,
соответственно, уравнения
— производная (Гато) функции H,и
где H
∂F
∂t
где {·, ·} — скобка Пуассона (определяемая последним равенством) и F
(t)=IHf(t),
f
= {F,H}(= F
(I(H))),
E
—
E
производная функции F : R×E по второму аргументу. Термины «уравнение
Гамильтона» и «система уравнений Гамильтона» считаются синонимами.
196 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Пространство P отождествляется с пространством Q∗линейных функционалов на Q, а пространство Q — с пространством P
ционалов на P ; тем самым пространство E отождествляется с пространством E
морфное отображение E на E
p
1,p2
= J(q
через p
∗
линейных функционалов на нем; получаемое таким образом изо-
∗
обозначается символом J .Дляq1,q2∈ Q,
∈ P результат применения линейного функционала (p1,q1)=
) кэлементу(q2,p2) обозначается через ((p1,q1), (q2,p2)) или
1,p1
+ q1p2; используются и другие подобные обозначения. Гиль-
1q2
∗
линейных функ-
бертово пространство H соответствующей квантовой системы реализуется
как L
(Q);символT обозначает оператор плотности (= ядерный поло-
2
жительно определенный оператор в H с единичным следом), определяющий состояние этой квантовой системы, а символ ρ
обозначает инте-
T
гральное ядро оператора плотности. Если E,G — векторные пространства,
то символ L(E,G) обозначает пространство всех линейных отображений
из E в G.
Если f ∈ L
loc
(Rn), то интеграл
1
рим, что этот интеграл существует, если для всякой функции ϕ ∈D(R
для которой ϕ(0) = 1, существует предел lim
случае мы полагаем
f(x)dx = lim
n
R
f(x)dx определяется так. Мы гово-
n
R
ϕ(ax)f(x)dx, ивэтом
n
R
a→∞
a→∞
ϕ(ax)f(x)dx (это определение не
n
R
n
зависит от выбора функции ϕ с перечисленными свойствами).
Если подынтегральная функция зависит от параметра α,тосходимость
(при a →∞) семейства интегралов
димость (при a →∞) функций α →
обобщенных функций.
Для каждой «достаточно хорошей» числовой функции
ϕ(ax)f(x, α)dx понимается как схо-
n
R
ϕ(ax)f(x, α)dx в пространстве S
n
R
3
F на E =
=(Q×P ) символˆF обозначает (предполагаемый самосопряженным) псев-
додифференциальный оператор (ПДО) в L
является F ; это значит, что если ϕ ∈ L
(ˆFϕ)(q)=
1
(2π)
P
n
q
1
F
Q
(Q), символом Вейля которого
2
(Q) и ϕ ∈ domˆF ,то
2
+ q
2
,pe
−ip(q1−q)
ϕ(q1)dq1dp. (1)
Если функция F принимает значения в некотором векторном пространстве K (которое далее предполагается конечномерным), то равенство (1)
3
Далее мы обычно не формулируем всех аналитических предположений, при которых спра-
ведливы приводимые предложения.
),
∗
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 197
определяет оператор, действующий из пространства L2(Q) в пространство L
(Q, K) (K-значных квадратично интегрируемых функций на Q).
2
Отметим, что если k ∈ K∗,тоk ◦,F =k ◦ F. Если A1,A2∈ L(L2(Q)),
D ∈ L(L
= A
k ◦ FA
1
(Q),L2(Q, K)), то равенство D = A
2
ϕ для всех k ∈ K∗и ϕ из соответствующей области опреде-
2
,
FA
означает, что kDϕ =
1
2
ления.
Для каждого h ∈ E через,h обозначается псевдодиффeренциальный
оператор в L
если h = q+p (= (q,p)),то,h = ,p+ ,q.Отметим,чтоеслиq
оператор L
(Q), символом Вейля которого является Jh(∈ E∗),такчто
2
∈ Q,то,q0—это
(Q) ϕ →−iϕ(·)q0,т.е.операторимпульса в направлении q
2
0
(а не координаты).
В третьем разделе нам потребуется еще определение тех линейных
преобразований в пространстве обладающих линейными символами псевдодифференциальных операторов, которые порождаются линейными преобразованиями этих символов (такие преобразования называются преобразованиями Боголюбова).
Пусть¯E = {,h: h ∈ E}; так как действие дифференциального операто-
−
ра однозначно определяет его коэффициенты, то отображение F
∗
E
→¯E взаимно-однозначно; после наделения пространства¯E естествен-
ной структурой векторного пространства это отображение становится линейным изоморфизмом.
5
: h →,h,
Если S — линейное симплектическое преобразование пространства E,
то порождаемое им преобразование Боголюбова — это линейное отображение пространства¯E в себя, обозначаемое тем же символом S иопределяе-
мое равенством S,h = F
−
S(F−)
−1
,
h(=-Sh).
6
Преобразование Боголюбова,
действующее в пространстве ПДО с линейными векторнозначными символами, определяется аналогично.
2. Функция Вигнера.
Определение 1. Функция Вигнера W
плотности (= состоянию) T , — это деленный на (2π)
4
Такие операторы используются в третьем разделе этой работы.
5
Продолжение изоморфизма F−до линейного отображения пространства, порожденно-
го пространством E
(Q), при котором эта функция отображается в умноженный на мнимую единицу тожде-
в L
2
ственный оператор, называется шрёдингеровским представлением канонических коммутационных соотношений.
6
Преобразование Боголюбова можно определить также следующим образом.
Пусть α
определяется равенством S(q, p)=(a
определяется так:¯S(
∈ L(Q, Q), α12∈ L(P,Q), α21∈ L(Q, P ), α22∈ L(P,P ) и S : E → E
11
∗
и функцией на E, всюду равной единице, в пространство операторов
q + a12p, a21q + a22p). Тогда¯S :¯E →¯E
q +p)=(a
11
q + a
12
11
p + a
, соответствующая оператору
21
q + a
T
22
p).
n
символ Вейля опера-
4
0
198 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
n
ˆ
тора плотности: T =(2π)
n
ˆ
(Tϕ)(q) = ((2π)
W
T
W
ϕ)(q)=
. Таким образом, если ϕ ∈ L2(Q),то
T
W
+ q
q
1
T
2
,pe
−ip(q1−q)
ϕ(q1)dq1dp =
=
ρT(q, q1)ϕ(q1)dq1. (2)
Q
PQ
Замечание 1. Конечно, и для каждого τ ∈ [0, 1] можнобылобыопре-
делить «τ -функцию Вигнера» как τ -символ оператора плотности (определение 1 получается при τ =
1
;дляτ =0и τ =1такие объекты — но
2
иначе определяемые — рассматривались в литературе (см., например, [9]
и имеющиеся там ссылки).
Определение 2. Функция Вигнера W
, соответствующая состоя-
T
нию T, определяется равенством
W
T
(q, p)=
1
(2π)
q −
1
2
ρ
T
n
Q
r, q +
1
2
re
irp
dr.
Замечание 2. Из самосопряженности оператора плотности вытекает,
что его интегральное ядро эрмитово-симметрично, откуда, в свою очередь,
следует, что интеграл в правой части последнего равенства (т.е. функция
Вигнера) может принимать только вещественные значения.
Предложение 1. Определения 1 и 2 функции Вигнера равносильны.
Доказательство. Из определения 1 вытекает, что
почти всюду.
Поэтому ρ
=
WT(q, p)e
P
P
(q−r, q+r)=
T
−ipr
q
+ q
W
1
T
2
,pe
WT(q, p)e
P
−ip(q1−q)
−ip2r
dp = ρT(q, q1)(3)
dp, или ρ
r
q −
T
2
,q+
r
=
2
dp, и равенство из определения 2 получается теперь по
формуле для обратного преобразования Фурье.
С другой стороны, равенство из определения 2 влечет — снова по формуле обращения преобразования Фурье — последнее из трех только что
приведенных равенств, а следовательно, и все остальные; но равенство (2)
означает, что W
— функция Вигнера в смысле определения 1.
T
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 199
Замечание 3. Положив в равенстве (2) q = q1, получим хорошо из-
вестное равенство
WT(q, p)dp = ρ(q, q) для плотности ρ(q, q) вероятно-
P
сти на Q, описывающей результаты измерений координаты, когда частица
находится в состоянии T .
Определение 3. Функция Вигнера — это интегральное ядро линейного
функционала F → trTˆF на векторном пространстве символов Вейля (огра-
ниченных) псевдодифференциальных операторов в L
(Q). Это значит, что
2
для каждого такого символа Вейля F справедливо равенство
trTˆF =
WT(q, p)F (q, p)dq dp. (4)
PQ
Предложение 2. Определения 2 и 3 функции Вигнера равносильны.
Доказательство. Из определения оператораˆF вытекает, что справедливо равенство
=¯q −
1
P
q
F
r
,q=¯q +
2
+ q
1
2
−ip(q1−q)
,pe
r
интеграл в правой части
2
dp dq dq1.
Q
tr TˆF =
1
(2π)
n
ρ(q1,q)
Q
После замены переменных q
последнего равенства преобразуется в интеграл
1
(2π)
n
Q
Q
ρ¯q −
r
2
, ¯q +
r
F (¯q, p)e
2
P
ipq
dp d¯qdr.
Таким образом, для каждой «достаточно хорошей» функции F на Q × P
справедливо равенство
WT(q, p)F (q, p)dq dp =
PQ
1
=
n
(2π)
P
⎛
⎝
ρq −
Q
Q
r
2
,q+
r
2
⎞
ipq
⎠
e
dr
F (q, p)dq dp, (5)
а потому и равенство из определения 2. Таким образом, доказано, что из
определения 3 вытекает определение 2. Для доказательства противоположной импликации достаточно провести рассуждения в обратном порядке.
200 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Предложение 3. Определения 1 и 3 функции Вигнера равносильны.
Хотя это вытекает из двух предыдущих предложений, мы приведем
и прямое доказательство. Согласно определению 1,
+ q
q
1
W
T
2
q
+ q
1
2
,pe
−ip(q−q1)
, ¯pe
−i¯p(q1−q)
dp d¯pdqdq1. (6)
tr T,F =tr(2π)
n
-
ˆ
W
F =
T
QQPP
× F
1
(2π)
×
n
Замена переменных q
интеграл в интеграл
=¯q −
1
r
,q=¯q +
2
r
превращает последний
2
QQP
1
(2π)
n
WT(¯q, ¯p)e
P
После интегрирования экспоненты e
− p), после чего интегрирование по ¯p приводит к следующему результа-
ту:
WT(¯q, p)F (¯q, p)d¯qdp; но это означает, что из определения 1 вытека-
PQ
i¯pre−ipr
i(¯p−p)r
F (¯q, p)dp d¯pd¯qdq.
по r получается (2π)nδ(¯p −
ет определение 3. Чтобы показать, что из определения 3 вытекает определение 1, достаточно провести рассуждения в обратном порядке.
Оператор Вейля W(h), порождаемый элементом h ∈ E, — это оператор
в L
(Q), определяемый так: W(h)=e
2
−ih
. Функция Вейля WT,соответ-
ствующая оператору плотности T (она называется также характеристической функцией), — это функция на E, определяемая равенством
W
(h)=trT W(h). (7)
T
Определение 4. Функция Вигнера, соответствующая оператору плот-
ности T , — это обратное преобразование Фурье функции Вейля:
P
W
T
(q, p)=
1
(2π)
n
Q
i(q¯p+p¯q)
e
WT(¯q, ¯p)d¯qd¯p.
Предложение 4. Определение 4 функции Вигнера эквивалентно всем
предыдущим.
В доказательстве этого предложения используется следующая лемма.
Лемма 1. Если h ∈ E,тоe
ih
=-eih.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]