Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 261
где B — ковариационный оператор меры μ, то можно считать, что квантовое
состояние, оператором плотности которого является B, задается мерой μ
на фазовом пространстве, роль которого играет гильбертово пространство H, и что каждой квантовой наблюдаемой A сопоставляется классическая наблюдаемая, т. е. функция на фазовом пространстве, h → (Ah, h).
Последнее равенство показывает, что математическое ожидание результатов измерений наблюдаемой A в состоянии B, вычисленное по формуле
фон Неймана, совпадает с математическим ожиданием результатов измерений классической наблюдаемой h → (Ah, h) в классическом состоянии,
задаваемом вероятностной мерой μ.
Однако следует подчеркнуть, что вероятностное распределение этой
классической наблюдаемой может не иметь ничего общего с вероятностным распределением результатов измерений соответствующей квантовой
наблюдаемой. В частности, даже если результаты измерений квантовой наблюдаемой образуют конечное множество, вероятностное распределение
представляющей ее классической наблюдаемой является непрерывным.
Интерпретация меры ν является более непосредственной, так как она
определена на множестве чистых состояний; таким образом, каждое смешанное состояние отождествляется с подходящей вероятностной смесью
чистых состояний; можно также сказать, что смешанное состояние — это
рандомизированное чистое состояние (хотя мера ν не определяется однозначно, получаемый при этом закон распределения результатов измерений
в любом случае оказывается правильным).
3
Конечно, состояние не определяет однозначно меру ν (а тем самым
имеруμ); оно определяет лишь корреляционный оператор меры μ, которая
2
Среди мер μ с корреляционным оператором B существует ровно одна центрированная
(т.е. обладающая нулевым средним) гауссова мера.
3
В уже упоминавшейся книге Ландау и Лифшица по статистической механике написано,
что такое представление состояний противоречит основным принципам квантовой механики
(хотя затем сами авторы им пользуются, оговариваясь, впрочем, что они делают это лишь
для наглядности). Фактически здесь Ландау и Лифшиц полемизируют с фон Нейманом. Дело
в том, что фон Нейман определял смешанные состояния как рандомизированные чистые, а тем
самым оператор плотности — как корреляционный оператор некоторой вероятностной меры
на гильбертовом пространстве, тогда как Ландау определял смешанное состояние (это определение вместе с соответствующей ссылкой приведено в книге Ландау и Лифшица по квантовой
механике) как редукцию чистого состояния некоторой большей системы, а оператор плотности — как частичный след оператора h ⊗ h,гдеh — нормированный элемент гильбертова
пространства этой большей системы, задающий ее чистое состояние (как уже отмечалось, при
этом Ландау рассматривал лишь координатное представление).
Следует подчеркнуть, что оба определения смешанного состояния квантовой системы и ее
оператора плотности приводят к идентичным предсказаниям результатов экспериментов над
этой квантовой системой (в определении фон Неймана другие системы вообще не рассматриваются).
2
262 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
при этом может не быть даже вероятностной; однако, как уже дважды отмечалось, среди мер с заданным корреляционным оператором существует
в точности одна гауссова мера с нулевым средним.
Не только меры ν и μ, но и их образы на проективном гильбертовом пространстве P (H) при каноническом отображении пространства H
на P (H) не определяются однозначно по заданному состоянию. Тем не менее, как вытекает из только что сказанного, среди мер в P (H),являющихся
образами гауссовых мер μ (с нулевыми средними), существует ровно одна,
соответствующая заданному состоянию квантовой системы.
С другой стороны, не только состояния квантовой системы, но и их
эволюция могут быть быть представлены в рамках классической гамильтоновой механики. Чтобы сделать это, введем следующие определения.
Определение 1. Симплектическим локально выпуклым пространством
называется набор (E,I),гдеE — локально выпуклое пространство (ЛВП),
а I — линейное отображение из пространства E
функционалов на E)вE,такое,чтоI
пространство E
между E и E
∗
наделено топологией, согласующейся с двойственностью
∗
.
∗
= I; при этом предполагается, что
∗
(линейных непрерывных
Определение 2. Гамильтоновой системой называется набор (E, I, H),
где (E,I) — симплектическое ЛВП и H — функция на E, называемая
функцией Гамильтона. Наблюдаемой (классической) называется функция
на E, принимающая числовые значения, а состоянием — вероятностная мера на E. Далее будут рассматриваться ситуации, когда функция H определена лишь на части пространства E; однако мы не будем вводить соответствующие точные определения.
При этом уравнением Гамильтона для гамильтоновой системы (E,I, H)
называется уравнение
(t)=I(H(f(t))
f
относительно функции вещественного аргумента, принимающей значения
в пространстве E; уравнением Лиувилля для наблюдаемых называется
уравнение для первых интегралов уравнения Гамильтона, а уравнением
Лиувилля для мер называется его сопряженное уравнение.
Пусть теперь E — комплексное сепарабельное гильбертово пространство некоторой квантовой системы, I — отображение пространства E
∗
=
= E в E, определяемое так: Ih = ih,гдеi — мнимая единица, и H(h)=
1
=
(,Hh, h),где,H — самосопряженный оператор в E. Тогда уравнение Га-
2
мильтона для гамильтоновой системы (E, I, H) представляет собой уравнение Шрёдингера для квантовой системы с гильбертовым пространством E
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 263
и оператором Гамильтона,H; уравнение Лиувилля для квадратичных наблюдаемых равносильно уравнению Гейзенберга для задающих их операторов, а уравнение Лиувилля для мер — квантовому уравнению Лиувилля
для их корреляционных операторов (т. е. уравнению Гейзенберга для состояний). Таким образом, квантование классической гамильтоновой системы (G, I
= P , P
, HG) с фазовым пространством G = Q × P , для которого Q∗=
G
∗
= Q, и оператором IG, определяемым равенством IG(p, q)=
=(q, −p), можно определить как переход от нее к новой гамильтоновой
системе (E,I
, HE),гдеE = L2(Q, ν) — гильбертово пространство квадра-
E
тично интегрируемых по некоторой мере ν (если размерность Q конечна, то
удобно считать, что ν — обычная мера Лебега) комплекснозначных функций
на Q, I
с E его сопряженном пространстве и H
пространства) E, определяемая равенством H
ром,H
го является функция H
— оператор умножения на мнимую единицу в отождествленном
E
— псевдодифференциальный оператор (ПДО), символом которо-
G
. Возможная неоднозначность определения ПДО
G
— функция на (подпространстве
E
(g)=
E
1
(,HGg, g),вкото-
2
по его символу означает неоднозначность квантования. При этом, согласно предыдущему, уравнение Гамильтона для только что определенной гамильтоновой системы совпадет с уравнением Шрёдингера с оператором Га-
мильтона,H
. Конечно, в случае бесконечномерного пространства Q и, как
G
следствие, нелебеговой меры ν определение ПДО требует преодоления дополнительных трудностей, но мы не будем здесь их обсуждать.
Как это нередко бывает, использование новой математической структуры позволяет по-новому взглянуть на ранее известные вещи. Так называемое вторичное квантование теперь можно интерпретировать как квантование гамильтоновой системы, полученной в результате первого квантования.
Если в качестве ν выбрать подходящую гауссову меру, то получим вторичное квантование в представлении Винера – Сигала. Далее, именно на таком
языке естественно формулировать квантовомеханический аналог совпадения выборочных и вероятностных средних.
Сказанное все же не означает, что квантовая механика — это всего
лишь классическая механика гамильтоновых систем с бесконечномерным
фазовым пространством и с квадратичной функцией Гамильтона, состояния которых задаются гауссовыми мерами с нулевым средним, а наблюдаемые являются квадратичными функционалами. Во-первых, вероятностная
смесь гауссовых мер уже не является в типичных случаях гауссовой мерой
(хотя, разумеется, как и всегда, среди мер, задающих — в описанном выше смысле — такую смесь, имеется ровно одна гауссова мера с нулевым
средним).
264 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Далее, фазовое пространство сложной квантовой системы, состоящей
из двух подсистем, является тензорным, а не декартовым произведением
гильбертовых пространств этих подсистем.
4
Появление тензорного произведения объясняется тем, что при квантовании по Шрёдингеру классической гамильтоновой системы с фазовым пространством Q ×P ей сопоставляется квантовая система с гильбертовым пространством L
(Q, ν);поэтому
2
при квантовании гамильтоновой системы, составленной из двух подсистем
с фазовыми пространствами Q
пространство L
× Q2,ν1⊗ ν2), которое является (гильбертовым) тен-
2(Q1
зорным произведением пространств L
Отметим попутно, что задать вероятностную меру на L
× P1и Q2× P2, появляется гильбертово
1
2(Q1,ν1
) и L2(Q2,ν2).
(Q, ν) —это
2
то же самое, что задать комплексное случайное поле на Q (с реализациями,
принадлежащими L
(Q, ν)), так что можно сказать, что состояние кван-
2
товой системы, получаемой при квантовании классической гамильтоновой
системы с фазовым пространством Q × P , задается комплексным случайным полем на Q; состояние квантовой системы, получаемой квантованием
гамильтоновой системы, образованной объединением гамильтоновых систем с конфигурационными пространствами Q
и Q2, задается случайным
1
полем на декартовом произведении этих конфигурационных пространств.
Мы уже отмечали, что вероятностные распределения квантовой наблюдаемой и представляющей ее классической могут быть совершенно различными.
Кроме того, и при обсуждаемой интерпретации квантовой системы как
классической и задании ее состояния мерой μ для описания связи математической модели с экспериментом приходится пользоваться постулатом фон
Неймана (откуда и следует, что это различие вероятностных распределений
нельзя обнаружить экспериментально).
Наконец, гиббсовская мера на гильбертовом пространстве E, рассматриваемом как классическое фазовое пространство, порождаемая классической функцией Гамильтона H, обладает корреляционным операто-
ром T,H
−1
,гдеT — температура. В то же время гауссова мера на том же
пространстве E, представляющая квантовомеханическое гиббсовское состояние, обладает корреляционным оператором e
4
Разумеется, если интересоваться только квантовыми наблюдаемыми, являющимися операторами вида A ⊗ Id и Id ⊗ B,гдеA и B — наблюдаемые соответствующих подсистем,
асимволId обозначает тождественные операторы в соответствующих пространствах, то можно ввести гауссову меру на декартовом произведении гильбертовых пространств, для которой
математические ожидания результатов измерений наблюдаемых, порождаемых действующими
в подпространствах операторами A и B, совпадают с математическими ожиданиями результатов измерений наблюдаемых, порождаемых операторами A ⊗ Id и Id ⊗ B. Существование
такой меры на декартовом произведении вытекает из теоремы Бохнера.
−H/T
.
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 265
Тем не менее, как уже говорилось при обсуждении вторичного квантования, введение новых математических структур всегда полезно. Как писал Фейнман, понимание физической ситуации становится более полным
при использовании для ее описания различных математических моделей.
В частности, если бы результаты экспериментов привели к необходимости
модифицировать уравнение Шрёдингера, заменив его некоторым нелинейным уравнением, в качестве одного из подходов к поиску такой модификации можно было бы использовать его интерпретацию как уравнения Гамильтона: к квадратичной функции Гамильтона, приводящей к линейности
уравнения Гамильтона (= Шредингера), можно было бы добавить нелинейное возмущение. Стоит однако подчеркнуть, что в настоящее время этот
способ модификации уравнения Шрёдингера (предложенный А. Ю. Хренниковым) представляется чисто формальным, так как не существует никаких экспериментов, результаты которых противоречат существующей квантовой механике (с учетом релятивистских и теоретико-полевых поправок).
3. Основания статистической механики. Основные предположе-
ния. Мы не считаем здесь своей целью сформулировать исчерпывающую
систему аксиом статистической механики, аналогичную системам аксиом
Колмогорова для теории вероятностей или фон Неймана — для квантовой
механики. Тем не менее нам представляется полезным явно сформулировать некоторые обычно используемые предположения. Введенные в предыдущих разделах понятия используются без дополнительных объяснений.
1. Состояние индивидуальной системы в момент времени t определя-
ется вероятностным распределением P
. В случае классической системы —
t
это вероятностное распределение на ее фазовом пространстве E,вслучае квантовой — на гильбертовом пространстве; в последнем случае все
результаты эксперимента определяются не самим вероятностным распределением, а ковариационным оператором, совпадающим с неймановским
оператором плотности.
Для описания идеализированных равновесных состояний бесконечных
систем полезно использовать вместо распределений вероятностей на фазовом пространстве некоторые бесконечные меры Q
, порождающие, в част-
t
ности, плотности в n-частичных фазовых пространствах.
2. Зависимость мер P
и Qtот времени в случае замкнутой системы
t
описывается уравнением Лиувилля; в случае открытой системы, т.е. подсистемы некоторой большей замкнутой системы, — так называемым управляющим уравнением, порождаемым уравнением Лиувилля для объединенной
замкнутой системы.
3. Предполагается, что существует векторное пространство F
наблю-
O
даемых, называемых макроскопическими, обладающее следующими свой-
266 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
ствами. а) В квантовом случае наблюдаемые из FOпопарно коммутируют. b) Это свойство мы сначала сформулируем для классического случая,
а затем для квантового. Если функция t → P
называется равновесным), то в классическом случае для P
постоянна (такое состояние
t
—почтивсех
0
элементов h фазового пространства и каждого элемента множества F ∈F
выборочные среднее и дисперсия числовой функции F (h(t)) совпадают,
соответственно, с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины F на вероятностном пространстве (E, P
).Здесьh(·) — решение
0
уравнения Гамильтона с начальным условием h. Конечно, можно было бы
дополнительно потребовать, чтобы при тех же предположениях совпадали
выборочное распределение функции h(·) и вероятностное распределение
случайной величины F . Выборочные моменты и выборочные распределения вычисляются с помощью чезаровских средних.
В квантовом случае предполагается, что для каждого элемента множества F ∈F
выборочные среднее и дисперсия числовой функции, зна-
O
чение которой при каждом t равно квантовомеханическому среднему на-
1
блюдаемой F в состоянии
h(t) ⊗ h(t), совпадают с математическим
2
h(t)
ожиданием и дисперсией случайной величины на вероятностном пространстве (E,P
среднему наблюдаемой F в состоянии
), значение которой на элементе h равно квантовомеханическому
0
h
1
h ⊗ h.
2
4. Предполагается, что как при неограниченном возрастании, так и при
неограниченном убывании времени P
в случае открытой системы P
— состояние Гиббса, а в случае замкну-
∞
→ P∞в слабой топологии, где
t
той системы — состояние, соответствующее равномерному распределению.
Это означает, в частности, что энтропия состояния P
состояний P
Замечание 1. Конечно, вместо этого можно было бы наложить более
слабое требование
.
t
t
1
Pτdτ → P∞при t →∞иприt →−∞.
t
0
не меньше энтропий
∞
Замечание 2. В весьма неявной форме предположение 4 содержится
уже в работе Пуанкаре, включенной в настоящее издание. Однако лишь
около десяти лет назад оно было сформулировано в явной форме и был
найден ряд условий, когда оно выполняется [68]. Там же было подчеркнуто,
что это предположение является инвариантным относительно обращения
времени.
Можно считать, что именно начало систематического исследования
слабой сходимости состояний и было основным новшеством, появившемся
в статистической механике в наступившем тысячелетии.
O
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 267
5. Предполагается, что термодинамическая энтропия гиббсовского состояния совпадает с его информационной энтропией и что то же верно для
состояния, задаваемого в классическом случае равномерным распределением. Сказанное верно для систем с конечномерным классическим фазовым
пространством. Для систем с бесконечномерным пространством справедливы аналогичные, но более деликатно формулируемые предположения.
Для произвольных состояний их связь с термодинамической энтропией
была описана выше: если размерность пространства E, задающего слабую
топологию, конечна (в этом случае она нехаусдорфова), то предполагается,
что с термодинамической энтропией состояния ν совпадает верхняя грань
информационных энтропий состояний из пересечений всех слабых окрестностей состояния ν. В случае бесконечной размерности пространства E
для каждого его конечномерного подпространства E
ным способом вводится E
-энтропия.
f
только что описан-
f
Замечание 3. Фактически во включенных в настоящее издание статьях [81, 82] показано, что для квантовых систем E
для каждого конечномерного подпространства E
-энтропия возрастает
f
.
f
4. Дополнительные замечания. В этом заключительном разделе мы
совсем кратко обсудим свойства бесстолкновительного газа в прямоугольном ящике с зеркальными стенками. Как уже отмечалось, эта модель обсуждалась Пуанкаре в его классической работе.
С одной стороны, уравнения движения бесстолкновительного газа обратимы по времени и каждая его частица бесконечно много раз сколь угодно близко подходит к своему начальному состоянию. А с другой — такой газ
демонстрирует необратимое стремление к состоянию статистического равновесия как при t → +∞,такиприt →−∞. Стоит еще подчеркнуть, что
(в отличие от привычных моделей классической статистической механики)
биллиард в прямоугольном параллелепипеде — вполне интегрируемая динамическая система; она бесконечно далека от эргодических систем и тем
более систем с перемешиванием.
Кроме того, в этом же разделе мы обсудим парадокс Гиббса и сделаем
несколько замечаний о релятивистской статистической механике.
◦
. Выравнивание плотности. Хорошо известно, что бесстолкнови-
1
тельный газ в прямоугольном параллелепипеде Π с зеркальными стенками
необратимо стремится его равномерно заполнить. Единственное условие
состоит в том, что начальная плотность распределения ρ
суммируемая во всем фазовом пространстве Γ=Π×R
Эволюцией плотности ρ
(x, p) управляет обычное уравнение Лиувил-
t
есть функция,
0
n
(n =dimΠ).
ля с учетом закона упругого отражения от границы Π. Свойство равномерного заполнения является частным случаем утверждения о слабой сходимо-
268 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
сти вероятностной меры ρt(x, p)dnxdnp при t →∞: для любой «пробной»
функции ϕ:Γ→ R
lim
t→±∞
Неотрицательная функция
ρtϕdnxdp=
Γ
ρ — первый интеграл уравнений движения ча-
стиц в ящике — четная функция от импульсов p
ρϕ dndnp. (1)
Γ
, ..., pn. Ее естествен-
1
но интерпретировать как плотность вероятностного распределения в состоянии статистического (теплового) равновесия. Формула (1) доказана
для вполне интегрируемых систем самого общего вида [68]. Конечно, если ρ
, то пробные функции ϕ в (1) следует брать из Lβ, α−1+ β−1=1;
0∈Lα
если α =1,тоβ = ∞.
Положим
u
это плотность частиц газа в сосуде в момент времени t.Ясно,чтоu
(x)=
t
ρt(x, p)dnp;(2)
n
R
0 и
t
ut(x)dnx =1.
Π
Каждому вероятностному распределению можно сопоставить его энтропию
(возможно, бесконечную). Хорошо известно, что тонкая энтропия
ρtln ρtdnxdnp
−
Γ
не меняется со временем. Формула (2) задает один из естественных способов огрубления плотности. В частности, грубая энтропия (в конфигурационном пространстве)
= −utln utdnx, (3)
s
t
вообще говоря, непостоянная функция времени. Формула (3) задает удельную энтропию. Часто интеграл (3) умножают на N — число частиц в сосу-
де. Для континуума частиц число N имеет, конечно, условный характер —
оно пропорционально массе газа.
Известно, что при t →±∞плотность газа в конфигурационном про-
странстве u
слабо сходится к
t
u =(volΠ)−1.
ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 269
При некоторых дополнительных условиях, указанных в [69], можно утверждать наличие равномерной сходимости
u
(x) → u.
t
Таким образом,
st= s =ln(volΠ). (4)
lim
t→±∞
С одной стороны, эта формула вполне отвечает равновесной феноменологической термодинамике. Действительно, термодинамическая энтропия
идеального газа есть сумма двух слагаемых: одно из них совпадает с (4),
а второе пропорционально логарифму от абсолютной температуры. Однако
в ряде важных случаев (например, при адиабатическом расширении газа
после снятия перегородки) средняя кинетическая энергия (а следовательно,
и температура) не меняется.
С другой стороны, соотношение (4) противоречит традиционным
(и неточным) представлениям об однонаправленности эволюции («стреле
времени»). Кроме этого, энтропия (3) не всегда монотонно возрастает при
увеличении t 0. Противоречащий пример указан в [69].
◦
. Выравнивание температуры. Предположим теперь, что
2
где H = ρ
E =
2
/(2m) — кинетическая энергия частицы. Этот интеграл — сред-
Hρ0dnxdnp<∞, (5)
Γ
няя кинетическая (внутренняя) энергия газа в начальный момент времени.
Поскольку частицы не покидают Π и при отражении от стенки величина
скорости не меняется, то внутренняя энергия газа не меняется со временем.
Пусть D — измеримая область внутри Π.Положим
K
(t)=
D
Hρtdnxdnp. (6)
n
D×R
Это внутренняя энергия газа, частицы которого в момент времени t лежат
в области D.Ясно,чтоK
Π
= E.
Если выполнено условие (5),то
vol D
lim
t→∞
KD(t)=
vol Π
E.
270 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Это означает, что с возрастанием времени количество тепла в области D становится пропорциональным объему области. Попросту говоря,
происходит необратимое выравнивание температуры газа по всему объему
сосуда.
Последнее высказывание имеет точный смысл для канонического распределения Гиббса
H
−
kT
ρ =
e
H
−
kT
e
Γ
dnxdnp
,
где T — абсолютная температура, k — постоянная Больцмана. Для этого
распределения справедлива формула
K
D
= nkT.
vol D
Сформулированное выше утверждение выводится из следующих соображений. Запишем интеграл (6) в следующем виде:
Hρtϕdnxdnp,
Γ
где ϕ — характеристическая функция области D.ПосколькуH —первый
интеграл уравнений движения, то функция Hρ
Лиувилля. Ясно, что ϕ ∈ L
,аHρ0∈ L1(согласно условию (5)). Следова-
∞
удовлетворяет уравнению
t
тельно, согласно общей теореме о слабой сходимости решений уравнения
Лиувилля для вполне интегрируемых систем [68],
K
(t) →
D
при t →±∞.Таккак
Hρϕ dnxdnp =
Γ
ρ не зависит от x, то интеграл справа в (7) равен
Hρdnxdnp (7)
n
D×R
vol D
Hρdnp. (8)
n
R
С другой стороны, поскольку внутренняя энергия не зависит от времени,
то
E =
Hρdnxdnp =volΠ
Γ
Hρdnp. (9)
n
R
Сопоставляя (8) и (9), получим заключение теоремы 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]