Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ 231
Теорема 1. Если начальное состояние свободной релятивистской частицы задается плотностью распределения вероятностей g
пространстве Γ=Q × P = R
n
q
n
× R
(конечно, в случае реальных ча-
p
на ее фазовом
0
стиц n =3), то динамика плотности распределения вероятностей на ее
конфигурационном пространстве определяется равенством
P (t, q)=
⎡
q −
g
0
⎢
⎣
P
tp
m1+
m2c
⎤
,p
dp =
⎥
2
p
⎦
2
⎡
1
n
t
q −
g
0
⎣
P
m1+
p
m2c2t
⎤
p
dp.
t
2
⎦
p
2
(4)
Теорема 2. Пусть
⎡
q −
g
0
⎣
m1+
p
m2c2t
2
p
⎤
p
,
C(q, p)
t
⎦
2
для всех достаточно больших по модулю t,гдеC — неотрицательная функция, причем для каждого q ∈ Q функция p → C(q, p) интегрируема. Тогда P (t, q) → 0 при t →∞для каждого q ∈ Q.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заключение теоремы вытекает из теоремы Лебега
о переходе к пределу под знаком интеграла, так как при t →∞
, 0dp
C(q,p)dp < ∞.
P
⎡
q −
g
0
⎣
P
m1+
p
m2c2t
2
p
2
⎤
p
,
→
dp
t
⎦
g
P
p
q −
0
m
Пример 1. Предположения этой теоремы выполняются, если g
(q, p)=
0
= f(q)h(p), где функция h ограничена, а функция f интегрируема и обла-
дает компактным носителем.
Пользуясь релятивистскими соотношениями
p =
'
mv
1 −
,v=
2
v
2
c
p
m1+
p
m2c
2
2
между импульсом и скоростью v, из (3) и (4) можно получить следующее
равенство:
P (t, q)=
⎡
q − tv,
g
0
⎣
Q
mv
1 −
⎡
⎤
m
⎢
2
⎦
⎣
v
2
c
1 −
+
2
v
2
c
mv
2
c
1 −
⎤
2
dv. (5)
3
⎥
2
⎦
v
2
c
232 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Полагая
⎤
2
,
⎥
2
⎦
v
3
)
2
c
g
(q, v)=g
1
⎡
mv
q,
0
⎣
1 −
⎡
⎤
m
⎢
2
⎦
⎣
v
c
1 −
2
+
2
v
2
c
mv
c2(1 −
можно переписать (5) так: P (t, q)=
g1(q − tv, v)dv. Конечно, послед-
Q
нее равенство следует из того, что скорость свободной частицы постоянна, в предположении, что плотность совместного начального распределения
координат и скоростей дается функцией g
аналогом теоремы 1.
Теорема 2
. Пусть
ших по модулю t,гдеC
g
1
го q ∈ Q функция v → C
q −v,
1
— неотрицательная функция, причем для каждо-
(q, v) интегрируема (по v). Тогда P (t, q) → 0
1
v
t
. Следующая теорема является
1
(q, v) длявсехдостаточноболь-
C
1
при t →∞для каждого q ∈ Q.
Аналог утверждения из примера 1 справедлив и без предположения
о компактности носителя f.
Теорема 3. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, причем
при каждом q функция v → g
ло компактное подмножество K пространства Q, функция C
руема по K × Q и
подмножества K
g1(q, 0)dq > 0. Тогда, каковы бы ни были компактные
Q
,K2пространства Q, справедливо соотношение
1
(q, v) непрерывна в нуле и, каково бы ни бы-
1
(·, ·) интегри-
1
P (t, q)dq
K
1
P (t, q)dq
K
2
→
mes K
mes K
1
,t→±∞,
2
где символ mes обозначает меру Лебега соответствующего множества.
Это — аналог теоремы 4 из [3]; доказательства этих теорем также фактически не отличаются.
Приведенная теорема означает, что плотность условного распределения координат свободной релятивистской частицы, при условии, что они
принадлежат компактной области конфигурационного пространства, стремится к индикатору этой области, деленному на ее меру Лебега.
2. Релятивистское распределение Гиббса и порождаемая им реду-
цированная динамика. В этом разделе получены уравнения редуцирован-
ной динамики вероятностного распределения на конфигурационном пространстве в предположении, что начальное распределение g
факторизуется
0
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ 233
(как в примере 1), причем множитель, зависящий от импульса, совпадает
с проекцией распределения Гиббса на пространство импульсов. Из приведенного выше выражения для энергии релятивистской частицы вытекает,
что проекция распределения Гиббса на пространство импульсов определяется равенством
1
2c2+m2c4)1/2
(p
−
W
(p)dp = Ae
P
kT
dp,
где A — нормировочная постоянная, k — постоянная Больцмана и T —абсолютная температура.
Замечание 1. Соответствующее распределение W
на пространстве
V
скоростей определяется равенством
2
1
mc
−
W
(v)dv = Ae
V
kT
1−
2
v
⎡
2
c
m
⎢
⎣
1 −
+
2
v
2
c
mv
2
c
1 −
⎤
2
2
v
2
c
dv.
3/2
⎥
⎦
Это — релятивистский аналог распределения Максвелла. При переходе от
релятивистского распределения Гиббса к распределению Максвелла использовались приведенные выше соотношения между скоростью и импульсом. Эта формула отличается от приведенной в [5] (в конце стр. 101), где
фактически выбрана нелебегова мера в пространстве скоростей.
Полагая в примере 1 h(p)=W
⎡
P
⎡
⎣
f
q −
q −
⎢
⎣
m1+
P (t, q)=A
A
=
t
P
f
P
tp
m1+
p
m2c2t
(p),получим
⎤
−
e
⎥
2
p
⎦
2
m2c
mc
⎤
−
e
2
⎦
p
2
mc
2
2
1+
kT
1+
kT
p
m2c2t
p
m2c
2
2
2
dp =
2
dp.
Если m
2c2t2
p2, функция f дважды непрерывно дифференцируема
234 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
и C =max{|f(q)|, |f(q)|, |f(q)|,то
2
p
2
2
.
2
P (t, q)=
Am
=
2
A
fq −
t
P
fq −
t
P
m
p
m
p
p
−
2mt2kT
e
e
−
mp
2t2kT
dp + O
2
dp + O
m2c2t
p
m2c2t
Поэтому из свойств свертки вытекает следующая
Теорема 4. Если функция f дважды непрерывно дифференцируема, то
∂P
∂t
tT
=
Δ
P + O
q
m
m2c2t
2
p
2
=
для достаточно больших t.
Если m
Теорема 5. Если функция f дважды непрерывно дифференцируема
2c2t2
и m
2c2t2
A
t
P
p2,то
p2, то при тех же предположениях о функции f
⎡
f
⎣
= A
q −
f(q −tc)e
P
∂P
∂t
m1+
+ cP
p
m2c2t
q
2
p
cp
−
kT
= O
⎤
−
e
⎦
2
dp + O
m
mc
2c2t2
2
p
2
m
1+
kT
2c2t2
p
.
p
m2c2t
2
2
2
dp =
.
Замечание 2. Содержащиеся в последних двух теоремах уравнения
описывают редуцированную динамику вероятностных распределений на
конфигурационном пространстве, порождаемую динамикой распределений
на фазовом пространстве, и потому начальные распределения для задачи
Коши в момент времени t>0 (как и в момент времени t<0)длякаждого
из этих уравнений нельзя задавать произвольно; они определяются начальными распределениями на фазовом пространстве и предшествующей динамикой. Фактически дело обстоит следующим образом. Для определения
распределения на конфигурационном пространстве в момент времени t>0
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ 235
можно задать распределение Φ на фазовом пространстве при t =0,за-
тем найти соответствующее ему распределение на конфигурационном пространстве и после этого найти решение задачи Коши для редуцированного уравнения с начальным распределением, заданным при t =0.Тотже
результат можно было бы получить, найдя распределение на фазовом пространстве в момент t (возникшее в ходе эволюции, определяемой уравнением Лиувилля и начальным распределением Φ) и затем спроектировав это
распределение на конфигурационное пространство.
3. Релятивистский газ в ящике. Пусть Π={x =(x
0 x
lj, j =1, ..., n} — параллелепипед, содержащий идеальный
j
, ..., xn):
1
релятивистский газ. Частицы газа не взаимодействуют друг с другом, но
упруго отражаются от стенок сосуда Π. Снова будем исходить из релятивистского гамильтониана (1). Фазовое пространство Γ теперь — это прямое
произведение Π × R
n
.Пустьρ0:Γ→ R — плотность вероятностной ме-
ры — начальное распределение газа по координатам и импульсам. Эволюцией плотности ρ
(x, p) снова управляет уравнение Лиувилля (2) с учетом
t
закона упругого отражения от границы Π.Пусть
(x)=
u
t
ρt(x, p)dp
n
R
— плотность газа в конфигурационном пространстве. Ясно, что u
—плот-
t
ность вероятностного распределения частиц газа в Π. Характерное свойство необратимого поведения релятивистского газа в сосуде дает аналогичная теореме 3
Теорема 6. Если ρ
области D ⊂ Π
— суммируемая функция, то для любой измеримой
0
lim
t→±∞
ut(x)dx =
D
mes D
mes Π
.
Таким образом, при неограниченном возрастании или убывании газ Юттнера (как и нерелятивистский бесстолкновительный газ Кнудсена) необратимо стремится выровнять свою плотность.
Теорема 6 является частным случаем утверждения о слабой сходимо-
сти вероятностной меры ρ
(x, p)dx dp при t →∞: для любой «пробной»
t
функции ϕ:Γ→ R
¯ρϕ dx dp. (6)
Γ
lim
t→±∞
ρtϕdxdp =
Γ
236 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Неотрицательная функция¯¯ρ -первый интеграл уравнений движения ча-
стиц в ящике (четная функция от p
, ..., pn); ее естественно интерпрети-
1
ровать как плотность вероятностного распределения в состоянии статистического (теплового) равновесия. Формула (4) доказана для вполне интегрируемых систем самого общего вида (см. [2]). Конечно, если ρ
«пробные» функции ϕ в (6) следует брать из L
(p−1+q−1=1),еслиq =1,
q
∈ Lp,то
0
то p = ∞.
Предположим теперь, что
E =
Hρ0dx dp < ∞. (7)
Γ
Этот интеграл — средняя кинетическая (внутренняя) энергия газа в начальный момент времени вместе с энергией покоя составляющих его частиц. Поскольку частицы не покидают Π и при отражении от стенки величина скорости не меняется, то внутренняя энергия газа не меняется со
временем. Пусть снова D — измеримая подобласть Π.Положим
K
(t)=
D
D×R
Hρtdx dp.
n
Это — внутренняя энергия газа, частицы которого в момент времени t
находятся в области D.Ясно,чтоK
Π
= E.
Теорема 7. Пусть выполнено условие (7). Тогда
lim
t→±∞
KD(t)=
mes D
mes Π
E.
Это означает, что с возрастанием времени количество тепла в области D становится пропорциональным объему этой области. Иначе говоря,
происходит выравнивание температуры газа по всему объему Π.
Теорема 7, конечно, справедлива и для обычного нерелятивистского
идеального газа. Формально она не вытекает из неравенства (6), поскольку H не принадлежит L
(1 Lp ∞). С другой стороны, ее заключение
p
не вытекает из теоремы 6, поскольку частицы в разных областях одинакового объема могут иметь существенно разные скорости.
4. Уравнение состояния релятивистского газа. Выведем уравнение
состояния газа Юттнера в состоянии теплового равновесия. С этой целью
рассмотрим плотность обобщенного стационарного распределения Гиббса,
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ 237
зависящую только от энергии:
ρ =
f(βH)dxdp
. (8)
f(βH)
Здесь f (·) — измеримая функция одного переменного, β — постоянный
параметр, размерность которого обратна размерности энергии (в дальнейшем β будет выражаться через абсолютную температуру)
Замечание 3. В общем случае стационарная плотность распределения — суммируемая функция от p
2
, ..., p
1
2
(п. 3). Это приводит к наруше-
n
нию закона Паскаля о равенстве давлений на разные стенки сосуда (обсуждение этого эффекта для нерелятивистского газа см. в [2]). При n =1
предположение (8) выполнено автоматически. Интеграл в знаменателе —
обобщенный статистический интеграл
F =(m
Здесь V — объем сосуда, β
p
переменная z есть
m0c
.
c)nV
0
R
= mc2β — безразмерный параметр, а новая
f(β
1+z2)dz.
n
Вычислим среднюю кинетическую энергию:
E =Hp dx dp =
m
√
2
c
0
1+z2f(β
f(β
√
1+z2)dz
√
1+z2)dz
.
Выведем теперь уравнение состояния. Для этого надо получить формулу для давления бесстолкновительного газа на стенку сосуда в состоянии статистического равновесия. Будем исходить из формулы для плотности (8). Вычислим давление на стенку x
= l1параллелепипеда Π.За
1
бесконечно малый промежуток времени dt частицы, движущиеся вправо со
скоростью v
и попадающие в элемент площади стенки dδ = dx2...dxn,
1
заметут объем
dV = v
dt dδ. (9)
1
Количество частиц в этом объеме равно
dν = NρdV,
где N — общее количество частиц. Число N носит условный характер; оно
вводится для того, чтобы сопоставить формулы с привычными отношениями феноменологической термодинамики. Ввиду соглашения m
N — масса
0
«покоящегося газа».
238 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Согласно релятивистскому уравнению движения, частицы из объема (9) сообщают стенке импульс
dP =2p
Чтобы получить формулу для давления, надо силу
dν =2Nv1p1ρdtdδ.
1
dP
разделитьнапло-
dt
щадь dδ и проинтегрировать по всем импульсам:
P =2N
∞
−∞
0
∞
∞
...
v1p1ρdp1dp2...dpn= N
−∞
v1p1ρdp.
n
R
В последней формуле использовалась четность подынтегрального выражения по p
. Воспользуемся соотношением
1
p
v
=
1
m
1
1+
0
m
2
p
2
2
c
0
и формулой для плотности (6). Тогда (9) примет следующий явный вид:
P =
Nm
2
z
1
√
2
1+z
c
0
V
f(β
f(β
2
√
1+z2)dz
√
1+z2)dz
. (10)
Интеграл в числителе, очевидно, равен
1
n
1+z2fdz−
fdz
1
√
n
1+z
.
2
С учетом (7) равенство (10) принимает следующий вид:
⎤
⎥
2
⎦
. (11)
P =
Nm
nV
⎡
⎢
2
⎣
c
0
E
−
2
m0c
√
f(β
1+z2)dz
√
1+z
√
f(β
1+z2dz
Теперь надо ввести температуру T газа, в соответствии со вторым началом термодинамики: 1-форма
1
(dE + PdV)
T
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ 239
должна быть точной. Это — полный дифференциал энтропии. Если считать,
что β зависит только от температуры (как в классической статистической
механике), то выражение в квадратных скобках справа в (11) должно быть
пропорционально T . Тогда получаем обычное уравнение состояния Клайперона, но только зависимость энергии от температуры становится в общем
случае нелинейной.
Рассмотрим частный случай, когда f(λ)=e
−λ
. Тогда формула (6) отвечает каноническому распределению Гиббса. Преобразуем обобщенный
статистический интеграл F с помощью формулы интегрирования по частям по переменной z
#
f(β
1+z
Так как f
= −f , то в этом случае уравнение состояния (10) принимает
1
2
+ .. + z
1
:
2
)dz1...dzn= −β
n
2
1
f(β
√
√
1+z2)
1+z
dz.
2
z
классический вид
PV = NkT, (12)
−1
если положить, как обычно, β =(kT )
,гдеk — постоянная Больцмана.
При этом внутренняя энергия E снова будет нелинейной функцией температуры, причем E>NkT. Уравнение состояния (12) в случае распреде-
ления Гиббса другим способом получено в [5]. Наше наблюдение состоит
в том, что результаты справедливы для более широкого класса распределений (если определить абсолютную температуру в соответствии со вторым
началом термодинамики). Во всяком случае одномерный релятивистский
газ (когда n =1) всегда стремится (в слабом смысле) к состоянию тепло-
вого равновесия с классическим уравнением состояния (12).
Литература
[1] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные тру-
ды: Т. 3. М., 1974. С. 385–412.
[2] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. – Ижевск,
2002.
[3] Kozlov V. V. Regul. Chaotic Dyn., 2004, no. 1, pp. 23–34.
[4] Козлов В. В., Смолянов О. Г. ТВП, 2006, т. 51, вып. 1, с. 109–125.
[5] Павлоцкий И. П. Начала слаборелятивистской статистической механи-
ки. М., 1983.
Бесконечномерные уравнения Лиувилля
относительно мер
В. В. Козлов, О. Г. Смолянов
Получена бесконечная система уравнений относительно зависящих
от времени конечномерных вероятностных распределений, равносильная
уравнению Лиувилля относительно функций вещественного аргумента,
принимающих значения в пространстве вероятностных мер на фазовом
пространстве бесконечномерной гамильтоновой системы; уравнения такого типа называются далее уравнениями Лиувилля относительно мер. При
отсутствии взаимодействия все уравнения этой системы оказываются независимыми, и в этом случае с помощью результата работы [8] (являющегося развитием результатов работ [1] и [6]) показано, что распределение
вероятностей на конфигурационном пространстве стремится (в смысле [8])
к произведению независимых равномерных распределений.
Система уравнений, о которой идет речь, существенно отличается от
бесконечной системы уравнений Боголюбова [2] (называемой также цепочкой уравнений Боголюбова– Борна – Грина– Кирквуда– Ивона), аналог которой также обсуждается ниже. Меры на конечномерных пространствах,
плотностями которых являются неизвестные функции в бесконечной системе уравнений Боголюбова, не являются конечными и, следовательно, не
могут быть сделаны вероятностными путем какой бы то ни было нормиров-
2
ки
; отсюда следует, что мера на фазовом пространстве, псевдообразами [3]
которой эти меры являются
дартная техника цилиндрических мер (см. ниже) оказывается к ней неприменимой. Тем не менее эволюция меры на фазовом пространстве, описываемая системой уравнений Боголюбова, совпадает с той, которая описывается уравнением Лиувилля относительно функций вещественного аргумента,
принимающих значения в пространстве мер на фазовом пространстве — но
на этот раз эти меры не являются вероятностными.
1
Доклады РАН, 2010, т. 432, № 1, с. 28–32.
2
Эти функции интерпретируются как плотности частиц и их конечных наборов.
3
В случае бесконечных мер псевдообразы заменяют проекции.
3
, может не быть даже σ-конечной, так что стан-
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]