Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 201
Доказательство леммы. Пусть h = q1+ p1∈ E = Q ⊕ P и t 0.Тогда
справедливы равенства
P
it(p1+q1)
(
e
ϕ)(q)=
=
Q
ip1(q+tq1/2)
= e
⎛
⎝
(2π)
(2π)
P
=
Q
1
n
1
e
n
δ(tq1+ q +¯q)e
ϕ(q1+ q)=e
it(p1(q+¯q)/2+q1p)e−ip(¯q −q)
e
Q
ip(tq1+q−¯q)
⎞
⎠
dp
e
itp1(q+¯q)/2
itp1qeip1q1t2/2
itp1(q+¯q)/2
ϕ(¯q)d¯q =
ϕ(¯q)d¯qdp=
ϕ(¯q)d¯q =
ϕ(tq1+ q).
Но
∂
itp1qeip1q1t2/2
∂t
(e
ϕ(tq1+ q)) =
=(ip
q + tp1q1)(e
1
+ e
itp1qeip1q1t2/2
itp1qeip1q1t2/2ϕ
=q
∂
1
∂q
(tq1+ q)p1=
q(e
+ ip
1
ϕ(tq1+ q))+
itp1qeip1q1t2/2
ϕ(tq1+ q));
иначе говоря,
∂
it(p1+q1)
e
∂t
Таким образом, функция F : t →
ϕ = i(,p + ,q)
it(p1+q1)
e
ференциальному уравнению, что и полугруппа e
тождественное отображение, то F (t)=e
it(p+q)
it(p1+q1)
e
ϕ.
удовлетворяет тому же диф-
it(p+q)
; так как F (0) —это
для всех t 0.
Доказательство предложения 4. В силу леммы 1 определение функции
Вейля можно переписать так:
−i(q+p)
e
−i(pq+qp)
;(8)
dqdp, (9)
поэтому, если W
W
(q, p)=trT
T
— функция Вигнера согласно определению 3, то
T
W
T
(q, p)=
WT(q,p)e
PQ
что равносильно равенству из определения 4; таким образом, доказано, что
определение 3 влечет определение 4.
202 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Покажем теперь, что определение 4 влечет определение 2. Из ра-
венств (7) и (8) вытекает, что
=
1
(2π)
−i(pq+qp)
1
(2π)
PQ
n
PQ
n
Q
dq dp =
ρ(q, q1)e
Q
ρ$q −
−i(q+q1)p/2−ipqe−ip(q−q1)
r
, $q +
2
r
2
,q1= $q +
r
2
r
2
−ipq+ipr−ipq
e
dq dq1dp.
интеграл в правой части
d$qdrdp.
WT(q, p)e
PQ
После замены переменных q = $q −
равенства превращается в интеграл
Поэтому
WT(q, p)e
PQ
i(pq+qp)
1
=
(2π)
n
P
dq dp =
−iqpe−ipq
e
Q
⎛
⎝
Q
ρq −
r
2
,q+
⎞
r
ipr
⎠
e
dr
2
dq dp.
В последнем интеграле, помимо перестановки пределов интегрирования,
мы заменили переменную интегрирования $q на q. Таким образом, преобра-
зования Фурье правой и левой частей равенства из определения 2 совпадают; но это означает, что справедливо и само это равенство.
Замечание 4. Определение 2 содержится в статье самого Вигнера [2];
определение 4 можно найти, например, в [9], а определение 3 фактически
есть в книге [11].
3. Эволюция функции Вигнера квантовой системы с квадратич-
ным гамильтонианом. В этом разделе доказывается, что для квантовых
систем с квадратичным гамильтонианом эволюция функции Вигнера совпадает с эволюцией плотности вероятностного распределения на фазовом
пространстве классической гамильтоновой системы. То, что это так для
частного случая систем, (квадратичный) гамильтониан которых является
суммой кинетической и потенциальной энергий, вытекает из полученного
в работе [10] уравнения, описывающего эволюцию функции Вигнера квантовых систем, гамильтониан которых, хотя и не обязательно квадратичный,
является такой суммой. При выводе этого уравнения в работе [10] используется определение 2 функции Вигнера; в настоящем разделе мы используем определение 4. В этом случае совпадение эволюции функции Вигнера
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 203
с эволюцией классической плотности распределения оказывается — на эвристическом уровне — почти очевидным (хотя доказательство и требует
некоторых выкладок).
Действительно, эволюция наблюдаемой,h, начального состояния T ,
оператора Вейля и функций Вейля и Вигнера (квантовой системы, полученной квантованием по Шрёдингеру – Вейлю гамильтоновой системы (E, I, H)) описываются равенствами
,
h(t)=e
W(t, h)=e
W
(t, h)=W
T
(где t 0, h =(q,p) ∈ E).
Положим еще P(t, q)=
−itˆH
,
he
7
,T(t)=e
itH
W(h)e
(h),WT(t, h)=W
T (t)
WT(t, q, p)dp; таким образом, P(t, ·) —это
P
−itˆH
−itHTeitH
ih(t)
(= e
T (t)
,
),
(h)
itH
плотность вероятности на конфигурационном пространстве Q, описывающей результаты измерений координаты в момент t, если в начальный момент (t =0)система находилась в состоянии T .
Предложение 5. Пусть h =(q, p) ∈ Q × P и, для каждого t 0,
(t)=(qh(t),ph(t)) ∈ Q × P определяется равенствомkh(t)=,h(t).Тог-
k
h
да W
(t, h)(= WT(t, q, p)) = WT(kh(t))(= WT(qh(t),ph(t))).
T
Доказательство. W
=trTe
itHeihe−itH
T
=trTe
(t, h)=W
ih(t)
=trTe
Ниже будет доказано, что функция k
(h)=tre
T (t)
ikh(t)
= WT(kh(t)).
(·) из предложения 5 являет-
h
−itHTeitHeih
=
ся решением уравнения, сопряженного к уравнению Гамильтона (то, что
она удовлетворяет именно сопряженному к уравнению Гамильтона, а не
самому этому уравнению, объясняется тем, что операторы ,q и ,p —это,
соответственно, операторы импульса и координаты); так как образ функции относительно линейной замены переменных переводится преобразованием Фурье в функцию, получающуюся из образа преобразования Фурье
исходной функции с помощью сопряженной замены переменных, то отсюда будет следовать, что эволюция функции Вигнера описывается равенством W
(t, q1,p1)=WT(q1(t),p1(t)), для которого h1(·)=(q1(·),p1(·)) —
T
решение уравнения Гамильтона, что и требовалось проверить. Итак, фактически нам остается доказать, что функция k
(·)=(qh(·),ph(·)) является
h
решением уравнения, сопряженного к уравнению Гамильтона.
7
Стоит подчеркнуть, что символh(·) обозначает здесь не ПДО, а функцию веществен-
ного аргумента, принимающую значения в пространстве операторов в L
недоразумений мы не будем нигде обозначать ее символом
обозначения ПДО, символом Вейля которого является функция h.
h, так как он используется для
(Q); во избежание
2
204 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Всюду далее предполагается, что (классический) гамильтониан H —
это квадратичная функция, так что
H(q, p)=a
здесь a
∈ L(Q, P),a12∈ L(Q, Q),a22∈ L(P, Q), причем, в соответствии
11
с принятым выше соглашением, a
ного функционала J (a
q) ∈ Q∗(a11q ∈ P ) кэлементуq;аналогичный
11
смысл имеют и оставшиеся два слагаемых в правой части равенства (9).
q2+2a12qp + a22p2; (10)
11
q2— это результат применения линей-
11
8
Пусть еще Q⊥,P⊥— функции на Q × P, определяемые равенствами Q
(q, p)=q, P⊥(q, p)=p. Тогда эволюция операторов, в начальный
⊥
момент времени совпадающих с псевдодифференциальными операторами,
символами Вейля которых являются эти функции, описывается равенства-
(t)=e
itH
ми,Q
⊥
следует, что каждая из функций,Q
.
Q
−itH
e
⊥
и,P⊥(t)=e
itH
(·),,P⊥(·) является решением уравнения
⊥
P
-
⊥
−itH
e
, откуда, в свою очередь,
Гейз е нберга
z
(t)=i[,H,z(t)]. (11)
Это проверяется с помощью дифференцирования обеих частей предыдущих равенств; при этом операторнозначная функция z(·) называется дифференцируемой в точке t
, если для каждого вектора a, принадлежаще-
0
го общей для всех операторов z(t) существенной области определения,
функция t → z(t)a дифференцируема в этой точке, и в этом случае производная z
элемент z
Отметим, что здесь,Q
странстве операторов (из пространства L
тогда как.Q
ции Q
коммутации операторов координаты и импульса [12] вытекает, что, каковы
бы ни были t 0, p ∈ Q
(t0) определяется требованием, чтобы для каждого такого a
(t0)a был равен производной функции t → z(t)a вточкеt0.
(·) и,P⊥(·) — это функции со значениями в про-
⊥
и-P⊥— это ПДО, символами Вейля которых являются функ-
⊥
и P⊥(при этом,Q⊥(0) =.Q⊥,,P⊥(0) =-P⊥). Так как из правил
⊥
∗
, q ∈ P∗,
(Q) в пространство L2(Q, K)),
2
[p ◦,Q
(t),q◦,P⊥(t)] = ipq
⊥
(пользуясь подходящими определениями, можно также сказать,
что [,Q
(t),,P⊥(t)] = iId для таких t;здесьId — тождественное отображе-
⊥
ние гильбертова пространства H в себя) и так как для тех же t справедливо
8
Далее используются и другие подобные обозначения.
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 205
равенство
,
H = a
(,Q⊥(t))2+ a
11
,
Q
12
⊥
(t),P⊥(t)+a
∗
,
P
(t),Q⊥(t)+a22(,P⊥(t))2,
⊥
12
то
[,H,,Q
(t)] = −i-H
⊥
(t)
p
и
q
(t),
где символы H
q
[,H,,P
(t)] = i-H
и H
обозначают производные по соответствующим аргу-
p
⊥
ментам, так что
(q, p)=2a11q +2a12p, H
H
q
и
-
H
(t)=H
q
-
(t)=H
H
p
(,Q⊥(t),,P⊥(t)) = 2a
q
(,Q⊥(t),,P⊥(t)) = 2a
p
(q, p)=2a12q +2a22p
p
11
12
,
Q
⊥
,
Q
⊥
(t)+2a
(t)+2a
∗
,
P
⊥
12
,
P
22
⊥
(t),
(t).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Предложение 6. Пусть Q
венствами Q
(q, p)=q, P⊥(q, p)=p и,Q⊥(·) и,P⊥(·) — функции на [0, ∞),
⊥
— функции на Q×P , определяемые ра-
⊥,P⊥
принимающие значения в пространстве линейных операторов, действующих из пространства L
(Q) в пространство L2(Q, K). Тогда следующие
2
утверждения равносильны:
(1) Для каждого t ∈[0, ∞) справедливы равенства,Q
и,P⊥(t)=e
itH
P
-
−itH
e
⊥
;
(t)=e
⊥
itH
.
Q
−itH
e
⊥
(2) Для каждого t 0 справедливы равенства
,
Q
(t)=2a
⊥
,
P
(t)=−2a
⊥
12
,
Q
11
(t)+2a
⊥
,
Q
(t) −2a
⊥
,
P
(t),
22
⊥
∗
,
P
(t)
⊥
12
и выполнены начальные условия,Q
Иначе говоря, операторнозначные функции,Q
(0) =.Q⊥,,P⊥(0) =-P⊥.
⊥
(·) и,P⊥(·) представля-
⊥
ют собой решение задачи Коши для системы уравнений Гамильтона (которые в этом случае обычно также называются уравнениями Гейзенберга)
с приведенными выше начальными условиями. Дифференцируемость операторнозначных функций определяется здесь почти так же, как и в уравнении (11), с той только разницей, что сейчас надо предполагать, что векторы a должны принадлежать существенной области определения, общей
для всех операторов,Q
(t),,P⊥(t).
⊥
При этом для всех t 0 выполняется коммутационное соотношение [,Q
(t),,P⊥(t)] = iId.
⊥
206 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
a
Замечание 5. Отметим что блок-матрица
ратор IH
матрицей
; поэтому, если, для каждого t 0,операторe
c
11
c
21
(t) c12(t)
(t) c22(t)
, то решение задачи Коши для системы уравне-
12
−a11−a
ний Гейзенберга, удовлетворяющее начальным условиям (.Q
a
22
∗
12
tIH
задается блок-
,-P⊥) (а сле-
⊥
довательно, и условиям коммутации), определяется равенствами
,
Q
(t)=c11(t).Q⊥+ c12(t)-P⊥,
⊥
,
P
(t)=c21(t).Q⊥+ c22(t)-P⊥.
⊥
Предложение 7. Пусть h =(q
) ∈ Q × P и,h(t)=e
0,p0
Тогда
01 2
/
tIH
(e
)∗(p0,q0)(=
/
01 2
tIH
где
(e
)∗(p0,q0) — псевдодифференциальный оператор, символом Вейля
которого является функция(e
01 2
/
tIH
(e
)∗Jh )=,h(t)(= ,p0(t)+,q0(t)),
tIH
)∗(p0,q0)=[(q, p) →((e
tIH
)∗(p0,q0))(q, p)]
(аналогичный смысл имеют и другие подобные обозначения).
Доказательство. Так как h =(q
= p
, q0◦P⊥= q0)
0
p0◦ Q⊥+
циальных операторов) = p
,
h(t)=,p
itH
.
p
Q
e
0
0
itH
= e
itH
= e
−itH
e
⊥
q0◦ P⊥= (по определению псевдодифферен-
◦.Q⊥+ q0◦-P⊥. Поэтому
0
(t)+,q0(t)=e
(
p0◦ Q⊥+
(p0◦.Q⊥+ q0◦-P⊥)e
itH
+ q0e
),то,h = ,p0+,q0= (так как p0◦Q⊥=
0,p0
-
P
⊥
itH
q0◦ P⊥)e
−itH
e
(,p0+ ,q0)e
= p
Q
0
−itH
−itH
,
⊥
−itH
=
=
(t)+q
=
,
P
0
⊥
(t)=
(в силу предложения 6 и замечания 5)
задает опе-
itH
−itH
,
he
.
= p
=(p
=
/
=
p
0c11
(t).Q⊥+ c12(t)-P⊥)+q0(c21(t).Q⊥+ c22(t)-P⊥)=
0(c11
(t)+q0c21(t)).Q⊥+(p0c12(t)+q0c22(t))-P⊥=
0c11
/
(p
0c11
(t)+q0c21(t)+p0c12(t)+q0c22(t)=
01 2
(t)+q0c21(t))Q⊥+
01 2
/
(p
0c12
01 2
(t)+q0c22(t))P⊥=
/
(e
tIH
01 2
)∗(p0,q0).
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 207
Теорема 1. Пусть функция Гамильтона H является квадратичной
и h =(q, p) ∈ E. Тогда эволюция функции Вейля описывается равен-
ством W
(t, h)=WT((e
T
Доказательство. Положим k
ция k
является решением уравнения, сопряженного к уравнению Гамиль-
h
тона). Тогда, в силу предложения 7,k
tIH
)∗(p, q)).
h
(t)=(e
tIH
)∗Jh (t 0) (так что функ-
(t)=,h(t) для t 0,итеперьдока-
h
зываемое утверждение вытекает из предложения 5.
Теорема 2. Пусть функция Гамильтона H является квадратичной и h =
=(q, p) ∈ E. Тогда эволюция функции Вигнера описывается равен-
ством W
→ (e
(t, h)=WT((e
T
Доказательство. Это вытекает из теоремы 1, так как функция t →
tIH
)∗Jh(= kh) является решением уравнения, сопряженного к урав-
−tIH
)h).
нению Гамильтона, а функция Вигнера является (обратным) преобразованием Фурье функции Вейля.
Следствие 1. Функция Вигнера W
(·, ·) является решением уравнения
T
Лиувилля.
Следствие 2. Если H(q, p)=
1
ap2,тоWT(t, q, p)=WT(q − tap, p).
2
4. Бесстолкновительная среда, состоящая из свободных частиц.
В этом разделе доказываются теоремы о стремлении к нулю и о выравнивании плотности вероятности результатов измерений координаты свободной
квантовой частицы; при этом плотность вероятности вычисляется с помощью функции Вигнера. Так как, согласно следствию 2, эволюция функции
Вигнера квантовой свободной частицы совпадает с эволюцией плотности
вероятностного распределения на фазовом пространстве для классической
свободной частицы, то полученные результаты охватывают как классический, так и квантовый вариант модели Пуанкаре. Стоит отметить, что хотя формула для эволюции функции Вигнера свободной квантовой частицы
и была известна ранее (но была получена совсем по-другому) и даже применялась для описания — но только в частных случаях — расширения волнового пакета,— для исследования квантового аналога модели Пуанкаре она
до сих пор не использовалась (впрочем, и сама квантовая модель Пуанкаре
не рассматривалась).
Теорема 3. Пусть, для каждого t>0,
W
q − ap,
T
p
t
C(q, p),
где C — неотрицательная функция, причем для каждого q ∈ Q функция p → C(q, p) интегрируема (по p). Тогда P
(t, q) → 0 при t →∞.
T
208 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Доказательство. Заключение теоремы вытекает из теоремы Лебега
о переходе к пределу под знаком интеграла. Действительно,
WT(q − tap, p)dp =
P
при t →∞для каждого q ∈ Q,таккак
каждого такого q.
Пример 1. Пусть W
h(p) <C
C
|ϕ(q − ap)| для каждого q ∈ Q икаждогоt>0.
1
(и измерима), а ϕ интегрируема. Тогда
1
(q, p)=ϕ(q)h(p), где функция h ограничена,
T
1
n
t
P
WT(q − ap,
Wq − ap,
p
)dp → 0
t
p
t
W
T
C(q, p) для
q − ap,
p
t
Теорема 4. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и пусть,
кроме того, при каждом q ∈ Q функция p → W (q, p) непрерывна в нуле, и, каково бы ни было компактное подмножество K
функция C(·, ·) интегрируема по K
Q
бы ни были компактные подмножества K
×P и
1
W (q, 0)dq > 0. Тогда, каковы
Q
Q
Q
, K
пространства Q,
2
Q
пространства Q,
PT(t, q)dt
Q
K
1
PT(t, q)dt
Q
K
2
→
mes K
mes K
Q
1
,t→∞.
Q
2
Доказательство вытекает из следующей цепочки соотношений:
P(t, q)dq
Q
K
1
P(t, q)dq
Q
K
2
1
n
t
Q
K
1
=
1
n
t
Q
K
1
W
q − ap,
T
P
P
W
T
=
q − ap,
Q
P
K
1
Q
P
K
2
WT(q − tap, p)dp dq
Q
P
K
1
=
p
t
p
t
WT(q − tap, p)dp dq
Q
P
K
2
dp dq
→
dp dq
WT(ap, 0)dp dq
WT(ap, 0)dp dq
WT(q − ap, 0)dp dq
Q
P
K
1
WT(q − ap, 0)dp dq
Q
P
K
2
Q
mes K
mes K
1
Q
2
=
=
=
;
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА И ДИФФУЗИЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ 209
при этом последнее равенство вытекает из того, что подынтегральные
функции в числителе и в знаменателе предпоследней дроби представляют
собой (совпадающие) константы (их общее значение равно
WT(ap, 0)dp).
P
Следствие 3. Плотность условного распределения измеренных значений координат свободной квантовой частицы, при условии, что эти значения принадлежат компактной области K конфигурационного пространства,
стремится к функции P
K
, значение которой равно
1
вточкахэтойоб-
mes K
ласти (и нулю вне ее; символ mes K обозначает меру Лебега множества K).
Это вытекает из сказанного в самом конце доказательства теоремы 4.
Замечание 6. Результаты этого раздела, в частности, существенно усиливают ранее известные результаты о «расплывании» волновой функции
свободной частицы.
5. Дополнительные замечания. В этом разделе мы сначала рассмотрим, следуя работе [4], случай, когда, как в примере 1, W
причем
h(p)=
1
(2π)
n
Q
e
−|q|
γ
ipq
e
dq, γ ∈ (0, 2].
(q, p)=ϕ(q)h(p),
T
Иначе говоря, h — это преобразование Фурье функции, являющейся характеристической функцией так называемого строго устойчивого распределения с показателем γ,такчтоh — это плотность строго устойчивого
распределения с тем же показателем (при γ =2получается стандартное
гауссово распределение). Для упрощения записи мы будем предполагать,
что dim Q(= dimP )=1;крометого,мыположимa =1и будем опускать
индекс T.
При перечисленных предположениях и соглашениях
P(t, q)=
h(p)ϕ(q − tp)dp =
P
так что функция P(t, ·) является произведением дроби
p
ций p → h
функции P(t, ·) ичерезFh(t, ·) и Fϕ(·) преобразования Фурье функ-
ций p → h
и ϕ.ОбозначимчерезF P(t, ·) преобразование Фурье
t
p
и ϕ(·),такчтоF P(t, z)=
t
свертки вытекает, что
F P(t, z)=
1
Fh(t, z)Fϕ(z)=e
t
P
P(t, q)e
Q
1
h
t
−tγ|z|
p
ϕ(q − p)dp,
t
−izq
γ
Fϕ(z).
1
исверткифунк-
t
dq ит.д.Изсвойств
210 В. В. КОЗЛОВ,О.Г.СМОЛЯНОВ
Это означает, что функция в левой части последнего равенства является решением задачи Коши на полупрямой t>0 для (зависящего от параметра z)
дифференциального уравнения
(t)=−t
X
γ−1
|z|γX(t),
с начальным условием Fϕ(z). В свою очередь, отсюда следует, что
при t>0 функция P(t, z) является решением задачи Коши для псевдодифференциального уравнения
∂S
γ−1Δγ/2
∂t
= t
S(·),
с коэффициентом, зависящим от времени. Аналогично можно показать, что
при t<0 та же функция является решением задачи Коши для псевдодифференциального уравнения
∂S
∂t
= −|t|
γ−1Δγ/2
S(·),
так что эволюция функции распределения инвариантна относительно обращения времени.
В заключение сделаем несколько замечаний о поведении свободных
квантовых частиц на торе.
Оказывается, что в этом случае эволюция плотности вероятности результатов измерений будет описываться периодической функцией, так что
никакого стремления вероятностного распределения к равномерному происходить не будет. Так как каждое состояние квантовой системы является
вероятностной смесью чистых состояний, достаточно проверить это для
чистого состояния. В одномерном случае вместо функций на окружности
можно рассматривать периодические функции с периодом 2π на прямой,
а в качестве нормы каждой такой функции принять сумму квадратов модулей коэффициентов ее разложения по экспонентам e
читься случаем, когда состояние ψ определяется равенством ψ(q)=e
ikq
, n, k — целые числа (общий случай рассматривается аналогично).
+ e
iqn
. Достаточно ограни-
inq
+
Тогда можно, как и выше, найти функцию Вигнера (она будет содержать
δ-функции по p) и затем найти (зависящее от времени) распределение вероятностей результатов измерений координат частицы (конечно, речь идет
о распределении вероятностей на окружности, а не на всей прямой). При
этом окажется, что зависимость этого распределения вероятностей от времени является периодической. Конечно, в этом случае такое распределение
можно получить и непосредственно, не пользуясь функцией Вигнера. Тем
не менее именно использование функции Вигнера позволяет показать как
механизм появления существенного различия между поведением квантовых частиц на окружности и на прямой, так и причины различия между поведением квантовых и классических частиц на окружности. С одной
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]