Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 81
oтграничивает в Γ-пространстве 2rN-мерную область (чашеобразной формы): совокупность всех Z -звезд, для которых a
удовлетворяют уравне-
i
нию (41). А уравнение
E(q, p)=E
0
(41a)
определяет (2rN − 1)-мерную гиперповерхность, пролегающую частью
внутри, частью снаружи ограниченной уравнением (41) области.
12d. Функция H(Z)
Выражения (35) и (36) зависят от Z-распределения состояний лишь
из-за наличия компоненты
Π(Z)=a
! a2! a3! ...
1
Если в аппроксимации Стирлинга для логарифма от Π(Z)
1
lg a
+
i
2
i
− a
i
(42)
lg Π(Z)=i
1
lg 2π +a
2
мы объединим те члены, которые задают изменение lg Π(Z) в зависимости
от (Z ), то придем к функции
H(Z)=a
Ее фундаментальное значение раскрывается в работах Больцмана.
12e.
dH(Z)
dt
ΔH(Z)
и
Δt
lg ai. (43)
i
117
В § 14b мы покажем, как смешение некоего временн´ого отношения
разностей для функции H(Z) с отношением дифференциалов (производной) внесло немалую путаницу в дискуссию о H -теореме. Этого смешения
можно избежать, сделав следующие замечания:
1. У кривой, отображающей изменение какой-либо F (Z ) во времени, всегда ступенчатая форма.
118
Следовательно, производная по времени
может иметь лишь три значения:
dF (Z)
117
См. в особенности Boltzmann [10, гл. V], а кроме того, V8, § 13.
118
Абсолютно независимо от того, чем вызвано изменение всех чисел ai— столкновением
или свободным от столкновений движением молекул.
dt
=0,
dF (Z)
dt
= −∞,
dF (Z)
dt
=+∞. (44)
82 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
2. «Интервал времени Δt», которым оперирует кинетическая теория газов, в особенности H -теорема, хотя и очень мал по сравнению с доступными для эксперимента интервалами времени, однако не как угод-
но мал.
119
3. Высказывания об изменении функции H(Z) или любой другой функ-
ции F (Z) во времени относятся по большей части к дискретной по-
следовательности точек ступенчатой кривой. При этом принимаются
во внимание разностные отношения, интервал времени Δt которых
охватывает огромное количество ступенек кривой.
120
13. Доминирование распределения Максвелла –
Больцмана
При попытке доказать приведенное в §11b утверждение Больцман
121
(1877)
мана:
ние для
распределение Максвелла – Больцмана
установил следующее свойство распределения Максвелла – Больц-
(I) Среди всех Z-распределений состояний, дающих одинаковое значе-
E(Z ) ≡a
a
= A
i
= E0, (45)
iεi
−hε
i
(46)
обеспечивает наибольшее значение [Z ]. Величина [Z ] резко уменьшается,
если a
Больцмана (46).
заметно удаляются при постоянной E(Z) от значений Максвелла –
i
122
В обычной терминологии, не принимающей в расчет различие между
уравнениями E(q, p)=E
и E(Z)=E0(см. конец §12с), утверждение (I)
0
едва отличимо от следующего утверждения:
119
В большинстве расчетов от Δt требуется быть таких размеров, чтобы в нем могло про-
изойти большое количество соударений определенного вида (см. прим. 110).
120
См. § 14b.
121
Boltzmann [10]; Jeans, Dynam. theory, § 41 и далее.
122
Здесь, очевидно, речь идет о вычислениях, параллельных расчетам теоремы Бернулли.
Для доказательства первой части утверждения следует определить лишь максимум от (36),то
есть минимум от (43) при дополнительном условии (45). Вторую часть утверждения Больцман применяет во всех случаях, в которых он считает распределение скоростей Максвелла
«неоспоримо наиболее вероятным». Количественную формулировку и вывод этой части утверждения дает Джинс в Jeans [2, §§ 22–26] и в Dynam. theory, §§ 44–46 и § 56.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 83
(II) На каждой гиперповерхности E(q, p)=const площадь «поверхности» областей
площади остальных областей.
123
с распределением Максвелла– Больцмана намного больше
124
Если придерживаться сомнительной эргодической гипотезы и уравнения (34) из § 10, то утверждение (II) приведет к результату, упомянутому
в § 11b:
(III) В процессе неограниченного движения модели газа по времени
доминирует распределение Максвелла – Больцмана, причем с подавляющим
временным отрывом по отношению ко всем иным распределениям состояний.
Если, напротив, любое использование эргодической гипотезы отвергается, как это часто происходит в современных работах, то между (II) и (III),
несомненно, образуется «дыра».
14. Видоизмененная формулировка H-теоремы
В обычной «вероятностной» терминологии разрыв между утверждениями (II) и (III) едва заметен из-за нечеткого определения термина «относительная вероятность». Прежде всего, этот термин используется как сокращенное наименование соотношений определенных Γ-объемов вследующей
формулировке теоремы (I):
(I
) Распределение Максвелла– Больцмана является «наиболее вероят-
ным» среди всех распределений состояний с одинаковой общей энергией,
причем безусловно наиболее вероятным.
Однако следом эта «вероятность» трактуется, в зависимости от необходимости, то как соотношение отрезков времени, то как относительные
частоты различных статистических ансамблей. Вот так формулировка (I
плавно переходит в утверждение (III) и далее во все отдельные утверждения, вместе составляющие видоизмененную формулировку H-теоремы.
В логическом отношении подобный метод малоудовлетворителен.
Поэтому в последующем изложении мы откажемся от вероятностной терминологии: видоизмененная формулировка H -теоремы будет представлена
в виде последовательных гипотетических утверждений об определенном
множестве движений модели газа (утверждения IV–VII). Только так можно
получить общее представление о пробелах в новой формулировке.
123
См. уравнение (25).
124
Непосредственного доказательства утверждения II или его выведения из утверждения I
не существует. Это утверждение могло бы образовать непосредственную основу для любого
исследования отклонений от «наиболее вероятного состояния» (см. § 25). В этом отношении
упомянутые там работы раскрывают суть проблемы наиболее глубоко.
)
84 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
14a. Ступенчатая кривая значений функции H(Z)
Если принять величину H(Z) за меру отклонения Z-состояния от
максвеллова распределения, то утверждение (III) приобретет следующий вид:
Ступенчатая кривая
125
, отображающая изменение H(Z) с течением
времени при неограниченном движении модели газа,
(IVa) проходит в течение «подавляюще» больших отрезков времени
вблизи минимума H
; лишь на короткие промежутки времени она заметно
0
или сильно увеличивается.
(IVb) Пусть H
будет значением, заметно отличным от минимума H0:
1
длина отрезков времени, в течение которых ступенчатая кривая проходит
над горизонталью H
нии H
.
1
, резко уменьшается даже при небольшом увеличе-
1
14b. H -кривые
На ступенчатой кривой возьмем дискретную последовательность точек с постоянной разностью абсцисс Δt,гдеΔt выбран согласно § 12e.
Вначале к ней можно применить утверждения (IV). Однако здесь их следует уточнить: пусть заданы три близкие друг к другу значения H
<Hb<Hc,
H
a
сильно отклоняющиеся от минимума H
126
сформулировать утверждение (IV) следующим образом.
ном
Если на дискретной последовательности рассмотреть все точки, лежащие на уровне H
,тоихподавляющее большинство
b
. Затем можно вслед за Больцма-
0
127
образует локальные
максимумы, которые схематически можно представить как
H
b
H
a
Лишь малая часть точек H
125
См. § 12e.
126
Boltzmann [17, 21], Jeans [2, § 32], P. u. T. E h ren fes t [2].
127
Количественное наблюдение относительной частоты событий для аналогичной «кривой»,
определенной с помощью лототрона, см. в Ehrenfest [2].
H
b
c
Ha.
расположится на нисходящем склоне
H
b
H
a
(47)
(48)
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 85
или на восходящем склоне
H
c
H
b
(49)
Ha,
и еще меньшее количество точек образует минимум
H
c
Hb.
H
c
(50)
В дальнейшем эту дискретную последовательность точек ступенчатой
кривой H(Z) итолькоеемы будем называть H-кривой. Вышеназванные
утверждения можно привести к виду, в котором их обычно использовал
Больцман:
(Va) Отдельная H -кривая почти всегда сразу же убывает в своих вышележащих точках.
128
(Vb) Это утверждение в равной степени справедливо при рассмотрении готовой кривой как слева направо (в положительной временной последовательности), так и справа налево (в обратной временной последовательности).
(Vc) Впрочем, H-кривая почти всегда проходит, так же как и ступен-
чатая кривая, вблизи минимума H
.
0
Высказывания Va и Vb иногда считают геометрически бессмысленными. По этому поводу следует заметить:
1. Больцман употреблял термин «H-кривая» в различных значениях:
a) для ступенчатой кривой,
b) для взятой на ней дискретной последовательности точек,
c) для некоторой «сглаженной» непрерывной интерполяционной кри-
вой от а) и b)
129
и, возможно, не всегда достаточно четко подчеркивал
отличие «H-кривой» от «кривой H -теоремы» (см. § 14d).
2. Манера выражения Больцмана очень легко порождает совершенно
неверную интерпретацию: в (Vа) и (Vb) под H-кривой следует понимать гладкую интерполяционную кривую.
128
Здесь следует заметить: H-кривая достигает любой значительной высоты намного чаще,
чем высоты, расположенной на один шаг выше, поэтому и H
намного чаще локальный максимум, чем склон до соседней, более высокой, H
129
Сглаженная интерполяционная кривая обладает на конечном участке лишь кон ечным количеством максимумов, в то время как остальной конт ин уум ее точек приходится на склоны
этих максимумов; значит, к интерполяционной кривой, действительно, нельзя применить высказывания (Vа) и (Vb).
, в свою очередь, образует
a
.
b
86 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
3. Больцман невольно поддерживал это заблуждение, называя локальные
максимумы H-кривых «холмами», скорее имея в виду максимумы с го-
ризонтальной касательной.
Если под термином «H -кривая» однозначно и последовательно пони-
мать лишь дискретную последовательность точек и учитывать при этом,
что все ее вышележащие точки образуют почти исключительно локальные
максимумы, то не останется никаких сомнений в геометрической допустимости высказываний (Vа) и (Vb).
Этот пункт является решающим для понимания позиции Больцмана
по отношению к парадоксам обратимости и возврата.
130
14c. Пучок H-кривых. Кривая сжатия пучка
Пусть моменту времени t
ний с относительно высоким значением H(Z
мем соответствующую Z
A
движений дает в (t, H )-плоскости пучок H-кривых, расходящихся из точки t = t
, H = H(ZA) . Теперь объединим
A
соответствует ZA-распределение состоя-
A
).ВΓ-пространстве возь-
A
-звезду (§ 12b). Примыкающий к ней континуум
131
следующие утверждения об
этом пучке.
(VIa) Совокупность H-значений, к которым ведет пучок в более позд-
ний момент времени t
малой дисперсией
132
Объединим значения H
+ nΔt, расположена вблизи значения Hnс очень
A
.
, H2, H3,... в дискретную последовательность
1
точек; назовем ее сокращенно кривой сжатия пучка. Тогда можно утверждать, что
(VIb) кривая сжатия пучка монотонно убывает от высокого началь-
ного значения H (Z
133
него.
) до минимума H0и затем постоянно остается вблизи
A
Далее, для более подробного объяснения (VIa):
(VIc) С момента времени t
мени кривую сжатия сопровождает подавляющее большинство
130
Ср. также с прим. 143.
131
Вновь как ряд замечаний, рассеянных в упомянутых работах Больцмана. С их помощью
мы покажем, сколько многочисленных чисто интуитивных утверждений скрывается здесь за
обычной вероятностной терминологией.
132
Величина дисперсии должна определяться из Γ-объема соответствующих начальных со-
стояний. См. прим. 161.
133
Отдельная H-кривая почти всегда проходит вблизи H0. Следовательно, в момент времени t
+nΔt —еслитолькоn не слишком мала — почти все H -кривые пучка могут находиться
A
у H
, и лишь небольшое количество кривых проходит один из своих «холмов».
0
134
См. прим. 132 и прим. 161.
в течение продолжительного отрезка вре-
A
134
кривых.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 87
(VId) Напротив, те движения, H -кривые которых все время остаются
ипринеограниченном движении вблизи кривой сжатия, образуют в дан-
ном ансамбле — в случае, если они вообще существуют, — многообразие
меньшей размерности.
135
14d. Кривая H-теоремы
В рамках позиции, которой мы придерживаемся с § 9, «постулат о числе столкновений» (§ 3b) и вместе с ним вся H-теорема являются поначалу
лишь бессмысленной расчетной схемой
ления Z
ние H
она определяет для любого следующего Δt новое Z-распределе-
A
, H2,...и, таким образом, противопоставляет введенным только что
1
136
: исходя из начального распреде-
кривым следующий ряд H: дискретный, монотонно убывающий сразностью абсцисс Δt (см. § 6) — т.е. «кривую H-теоремы».
Теперь мы переходим к статистическому пониманию H-теоремы,
которое связано со следующим, также не имеющим пока доказательства,
утверждением:
(VII) Кривая H-теоремы тождественна кривой сжатия, описанного
в(VI)пучкаH-кривых.
15. Статистический характер кинетических объяснений
Как и любое «объяснение» физического явления, кинетическое истолкование аэродинамического процесса состоит в представлении наблюдае-
мой последовательности состояний с помощью чисто абстрактной схемы.
Особенность кинетического толкования состоит, однако, в статистическом
характере отображаемой схемы; отдельному процессу в заданном элементе
газа сопоставляется ансамбль движений модели газа на основании следую-
щего утверждения:
(VIII) Наблюдаемая в действительности последовательность состояний
в элементе газа с момента времени t
состояний, которую дает подавляющее большинство
движений.
тождественна последовательности
A
137
обсуждаемых в (VI)
15a. Распределение состояний и доступные наблюдению
характеристики
Задаваемое посредством (VIII) представление обнаруживает следующий недостаток: утверждения (V)–(VII) описывают континуум движений,
135
См. прим. 60.
136
См., однако, § 18.
137
См. прим. 132 и прим. 161.
88 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
исходящих из назначенного для tAZ-распределения состояний. Однако
прямому наблюдению доступны не распределения состояний, а то, что, скорее всего, можно назвать «видимым» состоянием элемента газа: прибли-
зительное определение распределения давления, плотности, температуры
и скорости движения внутри газа.
В сочинениях на данную тему на этот недостаток обычно не обращается никакого внимания, их авторы ведут себя так, будто бы доказана
следующая теорема:
(IX) Под совокупностью различных Z-распределений состояний, соответствующих одному и тому же «видимому» состоянию S
особое распределение Z
:емуиблизкимкнемуZ принадлежит огромная
n
,естьодно
n
область Γ-пространства, размеры которой намного больше размеров областей остальных Z, соответствующих S
.
n
15b. Постулат детерминизма. Броуновское движение
Из опыта предполагают следующее утверждение о поведении изолированного элемента газа:
По «видимому» состоянию S
вмоментвремениtAможно полно-
A
стью определить «видимое» состояние в любой следующий момент време-
.
ни t
B
Совершенно очевидно, что это высказывание не является непосредственным отражением эмпирического факта: за исключением небольшой
группы аэродинамических процессов, мы всегда имеем дело с турбулент-
ными движениями газа, при которых измерение «видимых» состояний
невозможно. Кроме этого, если периоды наблюдения не совсем короткие,
то даже самые лучшие изоляционные материалы не способны справиться
с теплоизлучением и теплопроводностью.
Таким образом, вышеприведенное утверждение представляет собой
постулат, выходящий далеко за пределы экспериментального контроля: на
вопрос, какие состояния обнаружит действительно изолированный элемент
газа за продолжительные отрезки времени и будут ли они удовлетворять
принципу детерминизма, известные нам исследования ответить не могут.
Как только среди методов наблюдения «видимого» состояния появляется микроскоп, то тут же обнаруживается броуновское движение — и для
такого увеличенного «видимого» состояния принцип детерминизма, казалось бы, становится недействителен. С другой стороны, выясняется, что
этот феномен на удивление органично вписывается
138
встатистическоетол-
кование.
138
См. § 25.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В МЕХАНИКЕ 89
16. Парадоксы обратимости и возврата: продолжение
Обнаруживаются ли внутренние противоречия в статистическом понимании? Некоторые авторитетные исследователи
139
до сих пор отвечают на
этот вопрос утвердительно. Нам потребуется тщательно учесть геометри-
ческие особенности H -кривых, чтобы понять, как Больцман смог приписать
им в своих пояснениях к H-теореме следующие, казалось бы, несовместимые свойства:
1) H почти всегда сразу же убывает при б ´ольших значениях H-функции,
чем в ее минимуме.
2) это справедливо как при возрастании, так и при убывании времени
(как требовал Лошмидт, § 7а).
3) H ведет себя квазипериодически (как требовал Цермело, § 7b).
Как только все разногласия будут преодолены (см. объяснения в § 14b),
мы будем вынуждены согласиться с Больцманом
ренних противоречий здесь не обнаруживается.
Осталось обсудить еще одну формулировку
140
втом,чтоникаких внут-
141
парадокса обратимости:
если в Γ-пространстве объединить все фазовые точки, соответствующие
заданному высокому H-значению H
, определить для каждой точки изме-
A
нение ΔH в следующий элемент времени Δt и найти среднее значение
взятого фазового множества, то можно доказать, что это среднее значение
равно нулю, а не меньше нуля.
Прежде всего, верно, что в пределах взятого фазового множества для
любой фазы Γ может быть найдена фаза Γ
же самые конфигурации и те же самые, но противоположные по значению
скорости, что и Γ.
неверно.
143
142
Однако утверждение, что
ΔH
Δt
= −
Γ
То есть здесь нельзя сделать вывод, что искомое среднее значе-
, сообщающая модели газа те
ΔH
Δt
Γ
(51)
ние равно нулю.
139
См. прим. 11.
140
О последнем высказывании Больцмана по этому вопросу см. V8, § 14.
141
Zermelo [2, теорема II].
142
См. уравнение (13).
143
Это ошибочное утверждение возникает в результате смешения дискретной H -кривой
и сглаженной интерполяционной кривой: для интерполяционной кривой первое и последнее
отношения дифференциалов будут равны, вследствие чего можно легко прийти к уравнению,
схожему с уравнением (51). Однако подобное заключение неприменимо к разностным отношениям, о которых идет речь в уравнении (51).
90 ПАУЛЬ ЭРЕНФЕСТ И ТАТЬЯ НА ЭРЕНФЕСТ
Даже если этим возражениям и не удалось раскрыть внутренних противоречий, то все же они напомнили о том, что непротиворечивость фор-
мулировки может быть установлена лишь путем доказательства утверждений (III)–(VII).
17. Связь между статистическим подходом и законом
изменения энтропии
Для процессов, продолжающихся в течение доступных для наблюдения отрезков времени, статистическое понимание согласуется с постулатом
об одностороннем увеличении энтропии в изолированном элементе газа
Кроме этого, здесь можно встать на одну из двух противоречащих друг
другу точек зрения.
1) Утверждается, что при неограниченном наблюдении в полностью изо-
лированном элементе газа наблюдается квазипериодическое поведение
с чрезвычайно продолжительными периодами.
145
Преимущество этой
точки зрения состоит в том, что она открыто выдвигает на первый
план важную особенность сформулированной выше теории. С другой стороны, она напоминает о том, что постулат об одностороннем
увеличении энтропии выходит далеко за пределы экспериментального
наблюдения.
146
2) Мы отказываемся от утверждения о том, что относительно примитивные гипотезы о структуре модели газа не обязаны абсолютно точно
отображать и чрезвычайно продолжительные процессы. Разумеется,
и эта точка зрения не ускользнула от Больцмана: уже очень давно
(в 1871 году)
147
он подчеркивал, что дальнейшее развитие кинетической теории должно учитывать взаимодействие молекулы и эфира (влияние излучения на тепловое равновесие). Однако в дискуссии
о H-теореме он совершенно обоснованно защищал первую точку зрения вплоть до ее крайних выводов, ведь упоминание, например, теплового излучения могло бы легко привести к преждевременному осуждению идей Больцмана: как будто бы увеличение энтропии не может
быть истолковано без учета излучения и при процессах с доступной
для наблюдения продолжительностью.
144
Впрочем, см. прим. 55.
145
V8, § 14; Boltzmann, Gasth. II, §§ 88, 89.
146
Как раз в связи с этим примечательно, что броуновское движение легче сочетается с идея-
ми кинетической теории, чем с догматической формулировкой второго начала термодинамики.
147
Boltzmann [3, окончание] и «¨Uber die Natur der Gasmolek ¨ule», Wien. Ber. II 74 (1876), S. 555.
144
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]