Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
2. ОДНОМЕРНЫЙ ГАЗ 21
В этих условиях, так как скорость произвольной молекулы остается
постоянной по величине и меняет знак при каждом отражении, производная
dl
= ω
dt
остается постоянной для каждой молекулы. (Разумеется, если принять вторую картину одномерного газа, где молекулы, сталкиваясь, обмениваются
скоростями, предыдущее предположение будет верно, только если мы условимся приписывать каждой молекуле индивидуальность, которой она будет
обмениваться с соседней молекулой в момент удара, так же, как они обмениваются скоростями.)
Фазовый объем по-прежнему определяетсяdl dω.
Итак, законы движения наших молекул те же, что и законы движения
планет, о которых говорилось в предыдущем разделе; возвращаться к ним
не стоит. Мы видим, кроме всего прочего, что каково бы ни было начальное
распределение, в конце достаточно большого отрезка времени газ будет
казаться однородным.
Но до сих пор мы считали, что газовые молекулы не подвергаются
воздействию никакой внешней силы. Теперь следует рассмотреть влияние
такой силы. Предположим, что на каждую молекулу внешняя сила влияет
так, что
2
dt
dϕ
x
2
,
=
dx
(l), условившись,
d
где ϕ(x) — функция силы. Мы можем обозначить ее η
что ϕ(l)=η
(l),еслиl заключена между нулем и π,ичтоη(l)=
= ϕ(2Kπ ± l),если2Kπ ±l заключено между нулем и π. Тогда уравнение
движения будет
2
2
d
dω
=
dt
2
dt
а уравнение живых сил, если считать, что θ = −2η
2
+ θ(l)=ω
ω
где ω
— постоянная для каждой молекулы.
0
η
d
l
=
,
2
dl
,
2
,
0
Если мы проинтегрируем уравнения движения, то найдем
считая, что
l = ψ(ξ, ω
ξ = ω
t + ξ0,
0
),
0
22 А. Пуанкаре. ЗАМЕЧАНИЯ О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
где ξ0— новая постоянная интегрирования. Пусть тогда f(ξ0,ω0)dξ0dω0—
число молекул, для которых обе постоянные интегрирования заключены,
соответственно, между ξ
и ξ0+ dξ0и ω0и ω0+ dω0.
0
Напишем интеграл
J =cos(mξ + h)f(ξ
0,ω0
)dξ0dω0.
Интегрирование по частям даст
J = −
1
mt
sin(mξ + h)
df
dω
dξ0dω0,
0
откуда видно, что J стремится к нулю при t = ±∞. Это означает, что через
достаточно долгое время t вероятное число молекул, находящихся внутри
какой-то области, будет представлено интегралом
(0)
N =Ω
распространенным на эту область; Ω
случае, когда нет возмущающего тела, а θ =0, ω
dξ0dω0,
(0)
— функция только ω0. В частном
= ω, ξ = l,мыможем
0
написать N =Ω dl dω,гдеΩ зависит только от ω. Надо преобразовать
этот интеграл, вернувшись к переменным l и ω
(0)
Ω
N =
dl/dξ
dl dω
Отсюда выводим также N =Ω
(0)
Ω
ω
0
=
0
dl dω
ω
(0)
.Находим
0
=
0
Ω
ω
(0)
2
− θ(l)
0
ω
0
dl dω
.
0
dl dω. Это доказывает, что Ω
(0)
есть не что иное, как с точностью до постоянного множителя функция P
раздела 1.
При том же значении ω
порциональна
ω
2
− θ(l),т.е.тембольше,чембольшеθ(l). Следователь-
0
плотность газа, следовательно, обратно про-
0
но, газ сгущается в той части, где функция сил максимальна. Например,
если действующая сила — сила тяжести, то газ сгущается кверху.Этопарадоксальное свойство одномерного газа.
Но мы должны заметить, что оно верно, только если все молекулы, по
крайней мере б´ольшая часть их, движутся от одной стенки к другой. Это
было бы не так, если бы ω
2
была меньше, чем максимум θ(l). В данном слу-
0
чае можно было бы придать l лишь такие значения, при которых θ(l) была
3. ИЗМЕНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ГАЗА 23
бы меньше ω
молекулы, допускающей такое значение ω
2
. При этом в сосуде окажется такая область, где нет ни одной
0
2
, и другая область (в случае си-
0
лы тяжести это — нижняя часть сосуда), где такие молекулы имеются, но
с переменной плотностью, возрастающей по мере приближения к границе
областей.
Все зависит, таким образом, от числа молекул, для которых постоянная
интегрирования заключена между ω
и ω0+ dω0. Число это задано преды-
0
дущей формулой, которая принимает вид
π
dω
0
0
Следовательно, все зависит от функции Ω
Ω
ω
(0)
2
− θ(l)
0
ω
0
dl.
(0)
,иможновыбратьэту
функцию таким образом, чтобы газ под влиянием, например, силы тяжести
собирался в сосуде внизу, а не вверху.
3. Изменения одномерного газа
Причина, порождающая функцию сил θ(l), обязана своим происхождением действию внешних тел. Если положение этих внешних тел меняется, функция θ(l) меняется также, и, следовательно, меняется состояние
газа. Для простоты предположим, что имеется одно только внешнее тело C , притягивающее газовые молекулы по закону Ньютона или другому
аналогичному закону.
Предположим, что тело C вначале слишком удалено, чтобы оказывать
какое-либо влияние. Тогда θ(l) равна нулю, и через какое-то долгое время
распределение молекул станет однородным и плотность его внутри сосуда
постоянной.
В момент t
стает равняться нулю. Через достаточное время молекулы получают новое
распределение, в соответствии с уравнениями предыдущего раздела. Если
предположить, что все молекулы двигаются с достаточно большими скоростями, то постоянные ω
доксального результата, полученного в предыдущем разделе, в конечном
распределении плотность газа будет тем больше, чем дальше область от
тела C.
В момент t
ется в нуль, и через достаточное время распределение молекул снова становится однородным. Когда мы приблизили тело C,тооно,будучипритяну-
я внезапно приближаю тело C. Тогда функция θ(l) пере-
0
2
больше максимума θ(l) и тогда, в силу пара-
0
я резко удаляю тело C. Тогда функция θ(l) снова обраща-
1
24 А. Пуанкаре. ЗАМЕЧАНИЯ О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
то газовыми молекулами, проделало положительную работу, стремящуюся
увеличить его живую силу.
Когда же в момент t
мы отдалили тело, оно проделало отрицатель-
1
ную работу. Но, по абсолютной величине, положительная работа больше
отрицательной. Действительно, в момент t
ной, а в момент t
она была больше в наиболее отдаленных от C участках
1
плотность газа была однород-
0
сосуда. Газ, в среднем, отдалился от C и оказывал на это тело меньшее
притяжение.
Полная работа сил, приложенных к C, поэтому положительна и по
принципу сохранения энергии температура газа должна понизиться. Следовательно, происходит превращение тепла в работу. Этот вывод как будто противоречит принципу Карно. Но, разумеется, это лишь кажущееся
противоречие. В одномерном газе, не подвергающемся внешнему воздействию, молекулы сохраняют начальную скорость ω; поэтому стремлений
к осуществлению закона Максвелла нет. Функция, обозначенная нами Ω
в предыдущем разделе, может быть выбрана произвольно, а выбранная раз,
она остается неизменной неограниченное время. Если же приблизить, а потом удалить тело C, функция Ω уже не будет прежней. Скорости ω всреднем уменьшаются, поскольку снижается температура, но, кроме того, они
стремятся уравняться, и это создает компенсацию, так как энтропия газа
зависит не только от температуры, но и от функции Ω,т.е.оттого,как
распределены скорости.
Это показывает, что парадоксальные свойства одномерного газа тесно
связаны с постоянством скоростей, иначе говоря, с той независимостью
молекул, благодаря которой каждая из них сохраняет свою скорость, не
стремясь согласовать ее со скоростью соседних молекул.
Хотя явление представляется нам в виде, так сказать, обратном привычному, тем не менее, оно необратимо, и поэтому позволит нам лучше
проанализировать причины всеобщей необратимости.
t0+ t
1
Казалось бы, можно рассуждать так: каково в момент
ное число молекул N ,долготаl и постоянная ω
которых удовлетворяют
0
2
вероят-
некоторым неравенствам
(l, ω0) > 0?
Φ
i
Оно выражается интегралом
N =
Ω
ω
(0)
2
− θ(l)
0
ω
0
dl dω
,
0
распространенным по области, определенной этими неравенствами. Так
4. ПОЛНЫЙ РАСЧЕТ ДЛЯ ОДНОГО ЧАСТНОГО СЛУЧ АЯ 25
как θ(l)=θ(−l), этот интеграл не изменится, если заменить наши неравенстванаобратные
Φ
(−l, ω0) > 0.
i
Можноподумать,чтосостояние(l, ω
и обратное состояние (−l, ω
), при котором молекулы занимают такие же
0
) точно так же вероятно, как
0
положения при противоположно направленных скоростях. Но, если в мо-
t0+ t
1
мент
переменить все скорости на обратные, газ пройдет через те же
2
состояния, что и при упрощенном предположении, но в обратном порядке.
Иначе говоря, состояние, в котором он находился при первом предположе-
t0+ t
нии в момент времени
вмоментвремени
вмоментвремениt
t0+ t
,чемвt1, он будет холоднее.
0
2
1
+ h, будет у него при втором предположении
2
1
−h. В частности, вместо того, чтобы быть теплее
Следовательно, обратимость будет, и обратное явление точно так же
вероятно, как и прямое. Однако на самом деле это не так. Мы знаем,
что в момент времени t
и (−l, ω
) были равновероятными, нужно, чтобы вероятное число N не
0
газ был однородным. Чтобы состояния (l, ω0)
0
менялось при замене l на −l. Но это верно, только если производные функций Φ
лики, порядка интервала
и в этом объяснение парадокса. Если бы в момент времени
(первые члены неравенств) конечны, и неверно, если они очень ве-
i
t1− t
0
. Мы уже объясняли это в конце раздела 2,
2
t1+ t
2
0
система
не имела ни видимой, ни скрытой упорядоченности, оба противоположные
состояния были бы одинаково вероятны. Хотя она быстро теряет видимую
упорядоченность, но скрытую упорядоченность сохраняет долго; система
t1− t
теряет ее, только если время
яназвалвременем возвращения.
0
сравнимо с тем, которое в разделе 2
2
4. Полный расчет для одного частного случая
Прежде чем пойти дальше, я постараюсь подробнее рассмотреть, что
происходит с распределением скоростей после явления, которое мы описали. В момент t
ствам, выражается интегралом
число молекул, удовлетворяющих определенным неравен-
0
Ω dl dω,
26 А. Пуанкаре. ЗАМЕЧАНИЯ О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
распространенным на область, определенную этими неравенствами; Ω зависит только от ω.
В момент t
становятся l
Распределение обратно пропорционально скорости ω
зом, Ω dl dω молекул, долгота и скорость которых были в момент t
долгота и скорость молекулы (в момент t0они были l и ω)
1
и ω, и мы имеем
2
+ θ(l)=ω2+ θ(l).
ω
. Таким обра-
заклю-
0
чены, соответственно, между l и l + dl имеждуω и ω + dω, распределены
теперь так, что выражение
K
dldl dω
ω
представляет число молекул, долготы которых заключены между l
и l+dl
при постоянной K, зависящей только от l и ω. Имеем
2π
dl
K
=Ω, (6)
ω
0
что определяет K. Тогда число молекул, долгота и скорость которых в момент t
заключены между lи l+ dlимеждуωи ω+ dω,равно
1
Kdl
dl dω
ω
=
Kdl
dl dω
ω
.
Нужно проинтегрировать только по l от нуля до 2π.Еслимыхотим
получить число молекул, скорость которых заключена между ω
то нужно проинтегрировать от нуля до 2π по l ипоl
интегрирования будет 2πΩ
dω
2πΩ
.Отсюда
=
K
dl dl
, (7)
ω
и ω+ dω,
.Результатэтого
и мы находим новое распределение скоростей.
Чтобы довести расчет до конца, будем считать, что θ очень мало; напишем θ и θ
вместо θ(l), θ(l) иположим
2π
2π
θdl=0,
0
0
θ2dl =2πA2,
4. ПОЛНЫЙ РАСЧЕТ ДЛЯ ОДНОГО ЧАСТНОГО СЛУЧ АЯ 27
иначе говоря, A2будет средним значением θ2.Приэтом
(θ − θ
ω
)2
,
5
θ − θ
1
=
ω
1
1
−
ω
2
ω
3
+
3
8
и уравнение (6) дает, следовательно,
откуда
K =
K
Ωω
2π
2π
ω
−
1+
πθ
ω
3
θ
2ω
2
θ
3π
+
4
θ
+
2
4ω
Но теперь нужно постараться получить K/ω как функцию ω
2
4
+ A
5
ω
−
2
=Ω,
2
2
θ
+ A
3
8
.
4
ω
, l и l.
Известно, что Ω — функция только ω, тогда мы можем написать Ω(ω).Положим, что
Ω(ω
)=Ω0,
dΩ(ω
dω
)
=Ω1,
2
d
Ω(ω)
2
dω
=Ω2.
С той же степенью точности мы получим
Ω=Ω
или менее точно
0+Ω1
θ− θ
2ω
1
ω
2
− θ)
Ω
(θ
1
−
8
1
=
2
−
2
ω
+
3
ω
θ
− θ
,
4
ω
2
− θ)
Ω
(θ
2
2
4ω
,
2
откуда окончательно
K
Ω
0
=
ω
2π
1+
2ω
+
θ
2
Ω
2π
− θ)
θ(θ
−
1
4
2ω
θ
− θ
−
2ω
+
(θ
4ω
− θ)
8ω
2
θ
3
θ
3
−
4
8
2
(θ
+
2
ω
4ω
+ A
4
− θ)θ
3
2
+
−
Ω
2π
− θ)
8ω
2
.
2
(θ
2
Далее, из уравнения (7):
Ω
=Ω0−
Ω
2ω
2
A
1
3
2
Ω
A
2
+
4ω
,
2
28 А. Пуанкаре. ЗАМЕЧАНИЯ О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
или, что одно и то же,
Ω
d
dω
1
.
2
4ω
=Ω0+ A
Ω
2
Я выписываю это выражение в таком виде, чтобы убедиться, что пол-
ное число молекул, как и следовало ожидать, не изменилось.
Пусть V и V
2
=2πΩω
dω; заменив ω на ωи Ω на Ω0, что является простой заменой
— живая сила в моменты t0и t1,такчтоV =
обозначений, получим
V =2πΩ
ω2dω,V=2πΩω2dω.
0
Последовательным интегрированием по частям находим
V
2πA
− V
=ω2d
2
Ω
4ω
1
= −Ω
2
dω
1
2ω
Это подтверждает отмеченный выше парадокс. Заметим все же, что этот
результат верен, только если Ω делится на ω
из-за присутствия ω
Рассмотрим в более общем виде другие функции, подобные живой си-
ле. Обозначим через ϕ некую функцию от ω
2
в знаменателе.
V =Ω
ϕ(ω)dω,V=Ωϕ(ω)dω.
0
= −
2
. Иначе интеграл разойдется
.Тогда
Ω
dω
0
< 0.
2
2ω
Получаем
dω
ϕ
d
,
2
4ω
K−1
ω
4
так что V
K
ϕ = ω
− V
V
=ϕd
2
A
−V<0,если
,ϕ= Kω
K−1
Ω
4ω
,
dω
1
2
d
ϕ
4ω
dω
= −Ω1ϕ
ϕ
2
4ω
=
2
=Ω0dω
2
4ω
все время отрицательно. Например, если
K
K−3
ω
4
d
,
dω
4ω
ϕ
=
2
K(K −3)
.
Если K —четноеибольше3, это выражение все время положительно. Для
обобщения построим кривую, взяв за абсциссы ω
3
, а за ординаты ϕ.Все
5. ИЗУЧЕНИЕ ЭНТРОПИИ 29
будет зависеть от того, повернута выпуклость кривой к началу координат
или нет. Все эти функции, хотя и не являются энтропией, обладают в этом
частном случае такими же свойствами.
Вычислим теперь энтропию:
P log Pdτ=P log Pdldω.
Так как Ω пропорциональна P и не зависит от l, она связана линейным
соотношением с интеграломΩlogΩdω. Но можно этот интеграл написать
ввиде
так как мы переходим от одного к другому, заменив ω на ω
Ω
log Ω0dω,
0
, иначе говоря,
при помощи простой замены обозначений.
Его возрастание, считая Ω=Ω
(1 + log Ω
)δΩ0dω= A
0
+ δΩ0,будет
0
2
(1 + log Ω
Ω
1
)d
4ω
,
2
0
или, после интегрирования по частям,
−A
Ω
dΩ
1
2
4ω
0
2
= −A
Ω
0
2
Ω
2ωΩ
1
0
2
Ω0dω< 0,
что и требовалось доказать.
5. Изучение энтропии
Итак, энтропия все время изменяется, как и живая сила. Но здесь следует заметить, что вывод, касающийся энтропии, имеет гораздо более общий характер, чем тот, который относится к живой силе. Последний верен,
как мы это видели, лишь если предположить, что начальные скорости достаточно велики, чтобы мы были уверены в том, что все молекулы перейдут
от одной стенки к другой. Вернемся теперь к энтропии, выразив ее интегралом
P log Pdldω,
30 А. Пуанкаре. ЗАМЕЧАНИЯ О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
распространенным на весь сосуд. P выбрано так, что вероятность для молекул находиться в какой-либо области выражается интегралом
Pdldω=Pdτ,
распространенным на эту область.
Я полагаю, что P — произвольная функция, которая должна оставаться
положительной при одном только условии
Pdldω=const,
и отыскиваю минимум интеграла
P log Pdldω.
Предполагается, что оба интеграла распространены на одну и ту же область D. Легко заметить, что этот минимум достигается, если функция P
постоянна. Это остается верным и если вместо P log P мы возьмем произвольную функцию от P , вторая производная которой положительна.
Установив это, предположим, что наш газ не подвергается воздействию
возмущающего тела. Если оставить его в покое достаточное время, то функция P , как мы это видели, будет зависеть только от ω. Приблизим теперь
возмущающее тело. Получаем, как сказано выше, ω
2
+ θ(l)=ω
2
(где ω0—
0
постоянная для каждой молекулы). А для N — вероятного числа молекул,
содержащихся в произвольном объеме, — после установления режима, т.е.
вмоментвремениt
, о котором говорилось выше, получаем
1
(0)
Ω
ω
N =
0
dl dω
ω
0
=Ω
(0)
dl dω
(0)
при Ω
=Ω
, зависящей только от ω0. В момент t1имеем, следовательно, P =
(0)
/ν,гдеν — полное число молекул, а P зависит только от ω0.
Если мы примем за P значение функции P , которое она имела до приближения возмущающего тела, а за P
— ее значение после приближения
0
тела и установления постоянного режима, то P будет зависеть от ω,аP
ω
=ω2+ θ(l).
0
от
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]