Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Работы по статистической механике
.pdf
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 151
пользованием формулы Стирлинга). Стоит лишь заметить, что (E
(Δ
ψ, ψ) являются числами заполнения фазовых ячеек и энергетических
a
поверхностей соответственно, а s
, Sa— числа находящихся в них кван-
ν, a
товых орбит, т.е. их так называемые априорные веса.
II. Проведение доказательств
1. Временн´ая эволюция ψtисходного состояния ψ определяется из
зависящего от времени дифференциального уравнения Шрёдингера
ψ
(H — оператор энергии, =
S
∞
a
ρ=1
r
ρ, a
ψ =
a=1
то будем иметь
∞
ψ
=
t
a=1
Положим для краткости
0
e
ρ=1
iα
= ψ,
∞
a=1
ρ, a
S
a
r
S
ρ=1
· ϕ
ρ, a
a
e
∂
∂t
W
ρ, a(rρ, a
i
ψ
ρ, a
2π
h
=
t
· P
W
ρ, a
2πi
H ψ
t
h
). Таким образом, если
ϕ
ρ, a
0, 0 α
t+α
ρ, a
ρ, a
· ϕ
.
ρ, a
< 2π),
ν, a
ψ, ψ),
=(E
x
ν, a
ν, aψt,ψt
),ua=(Δaψt,ψt)=(Δaψ, ψ)
(оба последних выражения равны друг другу, потому что
S
a
(Δ
aψt,ψt
)=
не зависит от t). Как видно,
а u
не зависит.44Из определений энтропии нам известно, что x
a
44
Так что микроканонический ансамбль Uψ=
.
на ψ
t
ρ=1
(P
ϕ
ρ, a
N
ν=1
ψt,ψt)=
a
x
ν, a
S
a
|(ψt,ϕ
ρ=1
∞
= ua,
a=1
∞
u
a
Δaтакже не изменяется при замене ψ
S
a
1
)|2=
ρ, a
ua=1, x
S
a
2
r
ρ, a
ρ=1
зависит от t,
ν, a
ν, a
, u
a
152 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
неотрицательны и что имеют место соотношения
N
∞
a
S(ψ
)=−
t
a=1
x
ν=1
ν, a
ln
x
ν, a
,S(Uψ)=−
s
ν, a
∞
a=1
ualn
u
a
.
S
a
Так как сумма всех x
,какивсехua, равна 1, то все они 0, 1 ивместе
ν, a
с тем обе энтропии всегда 0. Займемся теперь подробнее соотношением
между их величинами.
Имеем 0 x
ла 0 z
− z ln
s
+ln1+
В силу
1 · 2
величине
s
ν, a
−
S
a
2s
S
z
ν, a
×ln
+
−
1 ·2 ·S
1
+
s
ν, aua
· ualn
ν, a
ν, a
ua,такчто
s
ν, aua
= −
S
s
ν, aua
u
S
1
s
3
ν, aua
−
s
ν, aua
a
1
2 · 3
S
a
u
a
−ln
S
a
ua; заменим x
S
a
S
a
a
a
a
S
a
s
ν, aua
S
z −1
+
a
s
ν, aua
1+
S
s
ν, aua
z −1
S
a
z − 1
s
ν, aua
S
a
s
ν, aua
= −
a
z −1−
3
− + ...= −
u
a
+1
ln
S
a
2
z −1
+ ... =1, сумма последних членов по абсолютной
z −1
u
a
+1z −
S
a
2
, поэтому можем написать
S
s
ν, aua
a
переменной z ипримемснача-
ν, a
1. Тогда будет
z −1
s
ν, aua
+
2 ·3 ·S
S
a
s
s
ν, aua
s
ν, a
S
1
2
S
ν, aua
u
a
ln
1+
S
a
s
ν, aua
s
ν, aua
S
a
z −1−
a
+ z ln
a
s
u
a
S
a
s
z −1
a
S
s
ν, aua
S
a
ν, aua
+
S
a
ν, aua
u
ln
S
a
z − 1
z
s
ν, a
z −1×
2
+
a
−
a
s
z −
3
− + ...
ν, aua
S
a
2
.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 153
Чтобы доказать это для остальных значений z, сравним левую часть
s
z
s
ν, a
=
ν, aua
обе исчезают, вообще же
S
a
+1=ln
S
a
z −1.
s
ν, aua
S
s
ν, aua
a
z
s
ν, aua
S
s
ν, aua
S
a
a
,ноона
(без |...|) с половиной правой. Для z =
производные равны
u
S
S
s
ν, aua
a
a
a
+1+ln
s
ν, aua
z −
S
a
−ln
и
Первое выражение, очевидно, всегда второго и 0 для z
поэтому левая сторона , чем половина правой для z
всегда 0. Тем самым имеем всегда
0 −
s
ν, a
S
a
· ualn
u
a
S
a
Положим теперь z = x
лу
N
a
ν=1
0 −u
s
ν, a
= Sa,
ln
a
u
S
N
ν=1
a
a
a
x
+
u
−ln
ν, a
ν, a
N
a
ν=1
a
+1z −
S
a
и просуммируем по всем ν =1, ..., Na;вси-
= ua,получим
x
ln
ν, a
s
ν, a
x
ν, a
s
ν, a
u
+ z ln
a
S
a
S
a
s
ν, aua
S
a
ν, aua
x
N
a
s
ν=1
ν, a
−
s
z −
z
ν, a
s
ν, aua
s
ν, aua
S
a
2
S
.
a
2
.
Если теперь просуммировать еще по a =1, 2, ..., то будет
0 S(U
) −S(ψt)
ϕ
∞
a=1
N
ν=1
a
S
s
ν, aua
a
−
x
ν, a
s
ν, aua
S
2
.
a
Эта оценка позволит нам доказать H-теорему. Перейдем теперь к эргодической теореме. Окажется, что и для нее дело сведется к оценке того
же выражения.
2. Пусть A — макроскопически наблюдаемая величина, т.е.
N
∞
a
a=1
ν=1
η
ν, aEν, a
.
A =
,
154 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
Функции ω
ми A, соответствующими собственным значениям η
значением A в фазовой ячейке E
В состоянии ψ
фазовой ячейки E
λ, ν, a
и в микроканоническом ансамбле Uψвеличина A бу-
t
являются собственными функция-
ν, a
ν, a
.
ν, a
,т.е.η
ν, a
является
дет иметь математические ожидания
(Aψ
t,ψt
45
и
Spur(AUψ) = Spur
)=
∞
a=1
⎛
⎝
N
a
η
ν, a(Eν, aψt,ψt
ν=1
N
∞
a
a=1
ν=1
η
ν, aEν, a
·
∞
a=1
)=
N
ν=1
a
∞
a=1
u
S
N
a
η
ν, axν, a
ν=1
⎞
a
⎠
ν, a
∞
a=1
N
ν=1
=
a
s
ν, aua
η
ν, a
S
a
E
a
=
соответственно. Назовем их EA(ψ) и EA(Uψ), тогда можем дать оценку
(привлекая неравенство Шварца):
(E
) −EA(Uψ))2=
A(ψk
⎛
∞
⎝
=
a=1
N
ν=1
a
∞
a=1
Назовем первый множитель
s
ν, aua
0,
S
a
это среднее значение значений η
ническое математическое ожидание: U
45
Число членов уменьшается благодаря тому, что E
места равенства ν = μ, a = b, а в этом последнем случае произведение равно E
шпур равен s
ν, a
.
ν=1
∞
a=1
s
ν, aua
S
N
a
a
N
ν=1
⎛
N
∞
⎝
a=1
ν=1
η
ν, a
s
ν, aua
η
S
a
η2,всилу
a
s
ν, aua
S
a
2
ν, a
⎞
a
s
S
a
⎠
ν, aua
S
a
x
ν, a
η
2
−
2
ν, a
=
⎞
⎠
2
s
ν, aua
S
= η2,
a
a
·
2
ν, a
η
=1,
ν, a
S
s
ν, aua
∞
·
a=1
x
ν, a
s
ν, aua
−
S
a
N
ν=1
a=1
−
x
ν, a
a
S
a
s
ν, aua
N
∞
a
s
ν, aua
ν=1
величины A2, а именно, микрокано-
как раз является смесью
ψ
E
ν, a
=0,еслитольконеимеют
μ, b
ν, a
1
S
2
.
Δ
a
иего
a
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 155
(a =1, 2, ...)свесамиua,т.е.смесью
s
=1, ..., N
чение η
2
ν, a
)свесами
a
. Поэтому в любом случае η является разумной мерой порядка
ν, aua
и A2, как мы знаем, имеет в
S
a
1
E
(a =1, 2, ...; ν =
ν, a
s
ν, a
1
E
зна-
ν, a
s
ν, a
величины для величины A. Итак, имеем
(E
) −EA(Uψ)) η2·
A(ψt
∞
a=1
N
ν=1
S
a
ν, aua
−
x
ν, a
a
s
s
ν, aua
S
2
.
a
3. Усредним теперь по времени t, что будем обозначать через M
Тогда
{|S(Uψ) −S(ψt)|} M
M
t
M
{(EA(Uψ) −EA(ψt))2} η2M
t
⎧
N
∞
t
a=1
⎧
⎨
⎩
ν=1
∞
a=1
a
N
ν=1
s
⎨
t
⎩
S
ν, aua
a
s
a
S
a
ν, aua
x
ν, a
s
ν, aua
−
S
−
x
ν, a
a
s
ν, aua
S
⎫
2
⎬
,
⎭
⎫
2
⎬
⎭
a
Тем самым эргодическая теорема и H-теорема будут доказаны единым махом, как только мы покажем, что M
лы для всех начальных состояний ψ (т. е. для всех r
2
=1). (Заметим, что в x
= |ψ|
ν, a
все остальное — константы.)
Чтобы это показать, подсчитаем сначала x
x
=(E
ν, a
46
Число членов уменьшится из-за того, что (E
если только не имеет места равенство a = b = c. Достаточно показать, что E
при a = b или же (в силу E
S
a
=
σ=1
=
P
ϕ
σ, a
ρ, σ=1
ν, aψt,ψt
S
a
r
ρ, arσ, a
,таккакϕ
⎛
∞
⎝
)=
b=1
S
∞
b
r
ρ, b
1
b=1
2π
(W
i
h
e
ν, aΔa
ортогонально ко всем ϕ
ρ, b
{...}, стоящие справа, равномерно ма-
t
, α
ρ, a
ρ, a
входят t, r
S
b
r
ρ=1
2π
i
h
e
ρ, a−Wσ, a
= E
ν, a
e
ρ, b
W
ρ, b
)t+(α
, ср. I.2) Δaϕ
i
t+α
ν, a
ρ, a
2π
W
h
ρ, b
ρ, a−ασ, a
ϕ
ρ, b
.
σ, a
, α
,вuaвходит лишь r
ρ, a
46
.Будет
ν, a
ρ, b
t+α
ρ, b
· E
ν, aϕρ, b
· ϕ
,ϕ
=
ρ, b
)
· (E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
)=(ϕ
σ, c
ρ, b
ρ, b
=0.ЭтоследуетизΔa=
,
a=1
, E
∞
ρ=1
ν, aϕσ, c
ν, a
S
,
a
ϕ
2
r
ρ, a
)=0,
ρ, b
=
ρ, a
)
=0
.
t
.
,
156 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
S
a
и дальше (мы учитываем, что
ρ=1
2
r
= ua)
ρ, a
+
e
)+
2π
h
2π
h
S
a
ρ, σ=1
ρ=σ
⎛
⎝
ρ=1
i
(W
(W
S
a
r
2π
h
S
ρ=1
ρ
ρ
2
ρ, a
2
r
ρ, a
(W
ρ, a−Wσ, a
a
2
r
(E
ρ, a
− Wσ) =0,
− Wσ) −
2
r
|(E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
σ, a
(E
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
)t+(α
ρ, a−ασ, a
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
2π
h
(W
ρ
− W
S
a
s
ν, a
−
ν, aua
S
a
x
Это выражение надо возвести в квадрат и усреднить по t, тогда выпадут
все члены с e
=
× (E
ic·t
,гдеc =0.Еслипоэтомувыполняется
r
ρ, arσ, a
ρ, σ=1
ρ=σ
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
при ρ = σ
при ρ = σ, ρ
если только не ρ = ρ
го a все W
все W
ρ, a
M
t
(ρ =1, 2, ...) отличны друг от друга, и равным образом
ρ, a
− W
x
ν, a
(ρ = σ, σ =1, 2, ...), — то мы получим
σ, a
s
ν, aua
−
= σ
, σ = σ, — т. е. если для каждого фиксированно-
2
S
a
=
) −
)
) −
) =0,
σ
)|2+
s
ν, a
S
×
s
ν, a
.
S
a
⎞
2
⎠
a
.
Положим теперь
Max
ρ=1, ..., S
ν, a
, N
ν, a
где M
Max
ρ=σ, ρ, σ=1, ..., S
(E
a
(|(E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
a
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
) −
s
ν, a
S
a
)|2)=M
— константы, т. е. не зависят от t, r
,
ν, a
2
и α
,
ν, a
(т. е. от ψt).
ρ, a
= N
ρ, a
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 157
S
a
В силу
M
t
2
r
= uaбудет тогда
ρ, a
ρ=1
x
ν, a
s
ν, aua
−
S
2
a
S
a
2
2
r
r
=
ρ, σ=1
ρ=σ
ρ, a
σ, a
M
ν, a
+
u
⎛
⎝
S
ρ=1
2
a
a
r
· (M
2
ρ, a
#
ν, a
N
ν, a
+ N
⎞
⎠
ν, a
2
),
ипоэтому
⎧
S
∞
⎨
M
t
⎩
В силу
a
a=1
s
ν=1
∞
ua=1это также Max
a=1
этом достаточно ограничить Max
энергетические поверхности которых на самом деле входят в микрокано-
S
a
ν, aua
x
ν, a
s
ν, aua
−
a=1, 2, ...
S
⎫
2
a
a=1, 2, ...
⎬
⎭
N
∞
a
Sau
S
ν, a
a
(M
+ N
ν, a
ν, a
+ N
ν, a
s
ν, a
a
(M
a=1
ν=1
N
a
s
ν=1
такими a, для которых ua=0,т.е.
).
ν, a
),при
нический ансамбль. Тем самым цель будет достигнута, если мы покажем,
что
N
ν=1
a
S
a
(M
ν, a
ν, a
s
+ N
ν, a
)
мало для таких a, причем тогда наш результат будет иметь место для всех
таких ψ: поскольку названное выражение является константой, т.е. не за-
, α
висит от ψ (t, r
, Δa,равнокакиω
s
ν, a
оценить M
ν, a
ρ, a
, N
4. Мы считаем H , а вместе с ним W
влетворяющими условиям из п. 3
47
Эти условия можно слегка ослабить. Так, можно было бы полностью отказаться от различия самих W
такое разбиение пар ρ, σ с ρ = σ, ρ, σ =1, ..., S
групп разности W
рованным числом и будут ли далее достаточно хорошо выполнены указанные ниже условия
относительно соотношений между величинами S
означает: небольшие нарушения наших условий не причиняют вреда. Мы не будем останавливаться на этом более подробно. (В частности, отказ от первого условия не дает большого
выигрыша: ведь из W
ρ,a
− W
= W
и потребовать от W
ρ, a
ρ, a
.)
σ,a
)—внеговходятлишьE
ν, a
− W
ρ, a
ρ, a
.
= W
). Для того чтобы оценить это выражение, надо
λ, ν, a
47
ρ, a
отличаются друг от друга, — будет ли k для всех a фикси-
σ, a
, W
σ, a
ρ,a
, ϕ
ρ, a
), так же как и Sa, Na, s
− W
= W
только следующее: должно существовать
σ, a
на k групп, что внутри каждой из этих
a
, Na, s
a
сейчас же следует, что W
σ,a
(и тем самым Sa, Na,
ν, a
фиксированными (и удо-
ρ, a
и Δa,ива-
ν, a
, не играет никакой роли. Это
ν, a
− W
ρ, a
σ, a
=
158 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
рьируем лишь E
тогональную систему ω
зана лишь условием
ν =1, ..., N
никают из одной из них, скажем из
тарных преобразований (поскольку a фиксировано, в
рениях)! (Можно вспомнить, например, матричное определение P
дение, п. 3) M
внутри этих границ. Это означает, что мы варьируем ор-
ν, a
N
ν=1
. Заметим, что все такие ортогональные системы ω
a
, N
ν, a
ν, a
(ν =1, ..., Na; λ =1, ..., s
λ, ν, a
s
ν, a
a
P
λ=1
= Δa, и полагаем E
ω
λ, ν, a
ω
λ, ν, a
, с помощью линейных уни-
зависят тогда еще лишь от ω
), которая свя-
ν, a
=
ν, a
N
a
s
ν, a
ν=1
, и их никоим
λ, ν, a
s
ν, a
P
ω
λ, ν, a
λ=1
λ, ν, a
воз-
= Saизме-
, вве-
ω
образом нельзя сделать настолько малыми, как это нам нужно при каждом выборе системы (этого нельзя также избежать с помощью каких бы
то ни было разумных условий на S
совпадают с ϕ
видим, что любое (E
так что будет N
1
ν, a
2
все s
для больших N
(a фиксировано, обеих имеется по Saштук), то мы
ρ, a
νϕρ, a,ϕσ, a
s
N
ν=1
ν, a
S
a
1 −
ν, a
Sa), и потому
произвольно велико. Неблагоприятный результат в этом
a
, Na, s
a
) принимает среди прочих и значение 1,
2
1
(M
4
ν, a
a
S
a
s
ν, a
случае зависит, естественно, от того, что подобный выбор ω
не является разумным: E
имеют тогда те же собственные функции, что
ν, a
). Если, например, ω
ν, a
λ, ν, a
(если, что всегда имеет место,
N
1
+ N
) Na· 2 ·
ν, a
λ, ν, a
4
=
a
,т.е.
2
вообще
и H , а потому перестановочны с ним, — а этого не может быть (ср. I.2)!
Между тем такое поведение является лишь сингулярным и исключи-
тельным, для преобладающего большинства систем ω
, N
речь, M
ν, a
имеют правильный порядок величины. Но прежде чем до-
ν, a
, о которых шла
λ, ν, a
казывать это, мы хотим (неточно!) сориентироваться в том, чего мы могли
бы ожидать в лучшем случае для M
ν, a
, N
. С этой целью мы поступим
ν, a
так: вместо того чтобы усреднять
,
=Max
M
ν, a
ρ=σ, ρ, σ=1, ..., S
=Max
N
ν, a
ρ=1, ..., S
a
по всем возможным системам ω
(E
λ, ν, a
(|(E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
a
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
) −
)|2),
s
ν, a
S
a
2
(т.е. установить, какие значения преимущественно принимаются; как определяется усреднение и как оно осуществляется, будет детально показано в приложении; ср. также дискуссию
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И H -ТЕОРЕМА В НОВОЙ МЕХАНИКЕ 159
в III.1), мы усредним сами |(E
и(E
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
) −
2
s
ν, a
S
a
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
(ρ =1,..., Sa), а затем возьмем максимум.
)|2(ρ = σ, ρ, σ =1, ..., Sa)
Мы заменяем, таким образом, среднее от максимума максимумом среднего — так получаются неправильные, причем слишком заниженные (т.е.
слишком благоприятные) числа, но для первой ориентировки этим можно
удовлетвориться.
Как будет показано в приложении к этой работе, средние от
s
|(E
ν, aϕρ, a,ϕσ, a
)|2(ρ = σ), (E
равны, соответственно,
ли s
них ∼
N
Это мал´о, если
Sa(как и бывает на самом деле), то будем иметь для сред-
ν, a
s
s
s
ν, a
ν, a
,
S
2
a
S
a
s
ν, a
,тогда
2
S
a
N
a
S
s
ν, a
ν=1
N
a
мал´о, т. е. если
S
a
величину
ν, a
S
ν, a
,
2
a
),(E
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
)
s
s
ν, a
,
,
S
a
ν, a(Sa
2
S
(Sa+1)
a
− s
ν, a
)
, так что ес-
s
ν, a(Sa
Sa(S
ν, aϕρ, a,ϕρ, a
− s
ν, a
2
− 1)
a
. Подставим поэтому в виде опыта вместо M
N
a
a
(M
+ N
ν, a
ν, a
N
ν=1
)=2
a
s
ν, a
N
a
ν=1
=
S
N
2N
1
S
a
a
a
a
=
.
S
a
велико. Итак, s
) −
ν, a
ν, a
S
a
ν, a
,азна-
чит, фазовые ячейки должны в среднем быть большими. Этот результат совершенно разумен, мы перейдем поэтому к корректному усреднению M
по ω
N
ν, a
5. Для средних от M
λ, ν, a
.
, N
ν, a
s
a
λ=1
по всем ω
ν, a
P
ω
λ, ν, a
λ, ν, a
= Δ
⎞
⎠
a
⎛
⎝
при
ν, a
N
ν=1
ν, a
2
,
,
в приложении будут найдены верхние границы
Saln S
a
ственно. Как видно, они в
и, соответственно, в 9lnSaраз больше
s
ν, a
ln S
S
9s
ln S
ν, a
a
и
a
a
соответ-
2
S
a
160 ДЖ. ФОН НЕЙМАН
использовавшихся в п. 4 чисел (полагаем 1 s
Sa!), в частности,
ν, a
первая оценка существенно хуже второй. Возможно, что наши оценки допускают существенное улучшение и могут быть приближены к оценкам из
п. 4, — это следует подчеркнуть, чтобы правильно оценить условия, которые мы получим для соотношения между величинами S
, Na, s
a
:ониво
ν, a
всяком случае достаточны, но возможно не необходимы.
Подставляя приведенные выше выражения, для среднего от
N
a
S
a
(M
ν=1
ν, a
ν, a
s
+ N
ν, a
)
находим, что оно
N
ν=1
a
S
ln S
a
s
ν, a
S
9s
ν, a
a
+
a
S
ln S
2
a
a
=lnS
Введем арифметическое и гармоническое средние от s
N
a
sa=
1
N
s
a
ν=1
ν, a
S
a
=
,
N
s
a
⎛
9N
⎝
·
a
N
1
a
1
=
N
a
ν=1
N
a
+
S
a
ν=1
(ν =1, ..., Na):
ν, a
a
1
,
s
ν, a
N
9
·
тогда указанное выше выражение равно ln S
ку
s saи Na 1 (это выражает оправданное допущение, что на энер-
a
+
s
a
s
гетической поверхности лежит много фазовых ячеек), то это ∼ ln S
⎞
a
1
⎠
s
ν, a
a
.Посколь-
a
.
N
a
·
a
s
a
Когда это выражение мал´о?
Вовсякомслучаедолжнобыть
что ln S
=lnsa+lnNaможно заменить на ln sa.Итак,условиембудет
a
sa sa Na, ln sa ln Na,так
.
т. е.
Это означает, что s
лам N
(т.е. фазовые ячейки по отношению к их числу на энергетической
a
N
ln
ν, a
a
sa·
s
a
N
ν=1
1,
a
s
должны быть велики и по отношению к их чис-
1
ν, a
N
s
a
a
1
ln s
a
1
,
ln s
a
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]