Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Таблица 5.8
(
)
M
Б
б
С
B
1A2
A
3
A
4
A
5A5
A
M
−
6
A
M
−
3
k
′
∆
k
′′
∆
17
M−5
M
−
2M−
7
M−3
M
−
5
A
M
−
1 3
1 3
1 3 1 3
−
1
A2 10 3
1 3 4 3 2 3
k
′
∆
20 3
1 3
−
19 3
8 3
k
′′
∆
3
3M−3M−3
2
A
1
A
1
k
∆
2
A
2
4
A
k
∆
3
A
1 2 1 2
A
1 2 1 2
−
k
∆
9 2 3 2
2 1 9 4
7 2 1 3 1 1
10
0 -2 -1 -9 -4 0
M−
1 1 0 1 1 -1
2 3 1 0 1
7 0 0 -6 -3
0
1
0
0
1 4 2 0
−
−
M−
−
0
1
0
0
0
1 4 1 1
4 3 1 0 1 1
16 3 0 -3 0
9 2
4 1
22
1 0
0 1
0 0
0
141
(
)
M
−
6
A
1
q
2
q
3
q
4
q
7 2
7
7 3
10 3
5 2
5
⋅
-50 3 M
14M−
⋅
- 49 3 M
15
M
−
1 1
5 2
-M 3
3
1
3
-9
2
0
1
0
0
0
7
10
10
M−
-
3
-6
3
-6
142
Вторая симплексная таблица соответствует второму опорному
(
)
2 5 1
,
A A
2
A
3
A
2
A
3
A
2
A
5
A
5
x
0, 0, 2,1, 0, 0
(
)
9.2 4 1 22
= + ⋅ =
0, 0, 2,1
(
)
x
(
)
22
=
(
)
2 4 max
4 4 8 ,
3 2 2 ,
+ − =
+ − =
, , 0
≥
решению задачи с базисом
и
имеют отрицательные оценки. Поскольку при вводе любого
из векторов
данном примере для определённости введён в базис вектор
веден и одновременно исключён из дальнейшего рассмотрения вектор
, соответствующий искусственной переменной
В последней (пятой) симплексной таблице все оценки небазис-
ных векторов – условий положительны, что свидетельствует о том,
что опорное решение
При этом решении целевая функция имеет максимальное значение:
∗
%
%
L
x
линейного программирования имеет оптимальное решение
∗
=x , при котором целевая функция
( )
и
целевая функция имеет равные приращения, то в
%
=Б
∗
%
=x
( )
.Согласно п. 20 утверждения и исходная задача
. В этой таблице два вектора
, а вы-
.
является оптимальным.
L
имеет то же мак-
симальное значение
5.35. Методом искусственного базиса решить ЗЛП:
L x x x= + − →x ,
x x x
x x x
L
1 2 3
1 2 3
1 2 3
∗
x .
x x x
1 2 3
.
143
Для рассматриваемой задачи составим её расширенную за-
(
)
2 4 max ,
4 4 8,
3 2 2
+ − + =
+ − + =
0
≥
1,5
(
)
0, 0, 0, 8, 2
(
)
1 4 5
A A
M−M
−
Б
б
С
B
1A2
A
3
A
4
A
5
A
1q2q4
A
M
−
5
A
M
−
3
2 3
1
k
′
∆
M
− ⋅
3
M
−
k
′′
∆
10
M
−
7
M−3
M
−
5
M
4
A
M
−
16 3
5 3
8 3
1
A2 2 3
2 3 1 3
−
k
′
∆
4 3
4 3 2 3
k
′′
∆
M
− ⋅
M
⋅
M
⋅
дачу:
Расширенная задача имеет начальное опорное решение
%
зисных векторов и составим следующую таблицу расширенной задачи:
L x x x Mx Mx= + − − − →x
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 5
=x
1
1 2 3 4 5
x
,
i
с базисом
8 4 1 -4 1 0 4 8
2
0 -2 -1 4 0 0
%
=Б
2 1 -4
2 -1 0 1
i = .
,
. Вычислим оценки неба-
14 3
0 0
Таблица 5.9
16 3
Таблица 5.9 состоит из двух симплексных таблиц. По данным
0
1
0
0
−
5 3
144
−
−
8 3
1
0
0
0
последней таблицы расширенная задача имеет оптимальное решение
, 0, 0, , 0
L
4 4 max;
3 6,
4 9,
− + − =
0, 1,4
2 3 min;
3 2 11,
+ + + =
0, 1,4
2 2 max;
4 2 14,
2 3 3 3,
+ − − =
0, 1,4
L
2 3 min;
2 16
∗
%
=
x
с ненулевой искусственной переменной. Но то-
3 3
гда, согласно п. 30 утверждения, исходная задача не имеет решения в
виду несовместности системы ограничений.
Задачи и упражнения
Решить ЗЛП методом введения искусственного базиса.
(х)=
5.36.
x x x
− + + =
1 2 4
x x x x
1 2 3 4
x x x+ + →
1 2 3
x i≥ = .
i
5.37. L(х)=
x x x
+ − =
1 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x− − − →
5.38. L(х)=
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
5.39.
(х)=
1 2 3 4
2,
x i≥ = .
i
x x x+ + →
2 3 4
x i≥ = .
i
x x x+ − →
1 2 4
145
2 11,
4 3 7,
x x x x
+ − − =
0, 1,4
3 max;
3,
3 2 1,
− + − + =
0, 1,4
3 2 4 min;
2 1,
3,
+ − − =
0, 1,4
L
3 4 min;
5 5 0,
4 3,
+ − − =
− + − =
0, 1,5
5 max;
4 20,
3 5,
2 6,
− + − =
0, 1,5
2 3 max;
6,
2 4 15,
0, 1,3
L
min;
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x i≥ = .
i
5.40. L(х)=
x x x x
− − + + =
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
5.41. L(х)=
x x x
+ − =
1 3 4
x x x x
1 2 3 4
5.42.
(х)=
x x x x
1 2 3 5
2 3 4,
x x x
+ − =
1 2 3
x x x x
2 3 4 5
5.43. L(х)=
x x x
+ + =
1 2 4
x x x x
2 3 4 5
x x x
− + + =
2 3 5
x x x− + + →
x x x+ − →
1 3 4
x x x x+ − − →
1 2 3 5
x x x− + + →
1 2 4
x i≥ = .
2 3 5
x i≥ = .
i
i
x i≥ = .
i
x i≥ = .
i
5.44. L(х)=
3 10,
x x
1 3
x x x
+ + =
1 2 3
x x x
1 2 3
5.45.
x x x+ + →
+ ≤
+ + ≤
(х)=
x x− + →
1 2 3
x i≥ = .
2 3
i
146
2 5 4,
3 2 10,
3 3,
x x x
0, 1,3
4 3 max;
3 3 6,
3 4 12,
2 3 5,
− + ≤
− + =
0, 1,3
5 3 2 min;
3,
2 3 2 4,
2 2 2,
+ − ≤
0, 1,3.
− + ≤
1 2 3
x x x
− + ≤
1 2 3
x x x
− + =
1 2 3
x i≥ = .
i
5.46. L(х)=
x x x
1 2 3
x x
+ ≥
1 2
x x x
1 2 3
5.47. L(х)=
x x x
+ − ≤
1 2 3
x x x
1 2 3
x x x
− + ≥
1 2 3
x x x− + →
1 2 3
x i≥ = .
i
x x x− + →
1 2 3
x i≥ =
i
147
6. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
max
min;
ij j i
a x b
≤
1,
i m
ij i j
a y c
≥
1,
j n
0
≥
1,
j n
0
≥
1,
i m
6.1. Двойственные задачи. Общие правила составления двойственных задач
Две ЗЛП вида:
n
L c x
= →
x , (5.4);
( )
∑
j j
1
j
=
m
F y b y
= →
( )
∑
i i
1
i
=
(5.4)*
n
,
∑
1
j
=
x
называются симметричными взаимно двойственными задачами.
Одну из этих задач (первоначальную задачу) будем называть исход-
ной ( или прямой) , а другую – двойственной задачей.
венств, имеющих один и тот же смысл: в задачах на максимум они
имеют вид «≤», а на минимум – «≥».
ной задачи, равно числу переменных другой задачи.
свободными членами системы ограничений другой задачи, причём
,
j
Эти задачи обладают следующими свойствами:
10. В одной задаче ищется максимум, в другой – минимум.
20. В каждой задаче система ограничений задана в виде нера-
30. Число неравенств, составляющих систему ограничений од-
0
4
= (5.5);
= .
. Коэффициенты в целевой функции одной задачи являются
m
∑
i
=
,
= , (5.5)
1
y
,
i
= .
*
между переменными одной задачи и свободными членами системы
148
ограничений другой задачи соблюдаются следующие соответствия:
j j
x c
i i
y b
1,
j n
1,
i n
′
A
′
A
↔ ,
дачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений другой задачи.
следующих правил (они непосредственно вытекают из свойств 10–50,
справедливых для двойственных задач):
задачи) переменные должны находиться в левой части, а свободные –
в правой.
неравенствам одного и того же смысла: для задачи на максимум – к
виду «≤», на минимум – к виду «≥».
рицу A системы ограничений и транспонированную
↔ ,
50. Матрица коэффициентов системы ограничений одной за-
При составлении двойственных задач нужно придерживаться
0
. Во всех ограничениях исходной задачи (да и двойственной
1
20. Все ограничения – неравенства исходной задачи приводят к
30. После выполнения преобразования п. 20 составляют мат-
40. Составляют систему ограничений двойственной задачи,
= ,
= .
.
взяв в качестве коэффициентов при переменных элементы матрицы
, а в качестве свободных членов – коэффициенты переменных це-
левой функции исходной задачи.
50. Составляют линейную форму двойственной задачи, взяв в
качестве коэффициентов переменных свободные члены системы ограничений исходной задачи, при этом линейная форма двойственной
задачи оптимизируется противоположным образом, чем линейная
149
форма исходной задачи.
(
)
2 max
2 2 ,
2 2 ,
− + ≥ −
1 2
, 0 .
≥
(
)
1
−
1
2
3
4
y
y
y
y
60. Записывают условие неотрицательности переменных
двойственной задачи, если они соответствуют условиям – неравенствам в системе ограничений исходной задачи.
Переменная двойственной задачи может иметь и отрицательный знак, если соответствующее условие в системе ограничений
исходной задачи записано в виде равенства.
6.1. Составить задачу, двойственную следующей:
L x x= + →x ;
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
x x
− + ≤
1 2
2 ,
8,
x x
Линейная форма исходной задачи максимизируется. Поэто-
му все неравенства в системе ограничений должны иметь знак «≤».
Чтобы добиться этого требования, обе части первого и третьего нера-
венств умножим на
необходимый вид
, и тогда система ограничений приобретёт
x x
− − ≤ −
1 2
x x
+ ≤
1 2
2 2 ,
− ≤
x x
1 2
2 2.
− + ≤
x x
1 2
2,
8 ,
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]