Практикум по математике. Случайные события и вероятности. Случайные величины. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО СПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ И СПОРТА

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Случайные события и вероятности. Случайные величины

Учебно-методическое пособие

ОМСК 2014

1

Рецензенты:

доцент кафедры высшей математики Финансового университета при правительстве Российской Федерации;

канд. физ.-мат. наук, доцент Н. В. Алексенко; доцент кафедры ТиП ФМД канд. пед. наук Г. К. Павлов.

Практикум по математике. Случайные события и вероятности. Случайные величины : учебно-методическое пособие / сост. И. Д. Хитрова, В. И. Дубовик. – Омск : изд-во СибГУФК, 2014. – 32 с.

Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с учебными программами по математике и теории вероятностей и математической статистике.

Практикум содержит краткие теоретические сведения, которые могут служить справочным материалом при решении задач, два полностью решённых варианта заданий со всеми объяснениями, 12 вариантов заданий, предназначенных для самостоятельного выполнения (всего 98 задач). В конце пособия приведены ответы ко всем задачам.

Пособие предназначено для студентов СибГУФК, обучающихся по специальностям 40.03.01 «Физическая культура», 49.03.02 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (адаптивная физическая культура)», 42.03.01 «Реклама и связи с общественностью», 49.03.03 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм», 39.03.03 «Организация работы с молодежью».

Составители: И. Д. Хитрова, ст. преподаватель; В. И. Дубовик, канд. физ.-мат. наук, доцент.

© ФГБОУ ВПО СибГУФК, 2014

2

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Классическое определение вероятности

Р А mn , где n – общее число всех равновозможных случаев, m – число случаев благоприятных событию А.

2. Частота события

произведённых опытов.

3. Геометрический способ определения вероятности

Опр.: Геометрической вероятностью события А называется от-

ношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

Пр.:

В область Q бросается точка. А – попадание точки в область

Q

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

4.1. А, В – несовместные события,

Р А В Р А Р В ;

4.2. А, В – совместные события,

Р А В Р А Р В Р А В ;

4.3. А, В – независимые события,

Р А В Р А Р В ;

4.4. А, В – зависимые события,

Р А В Р А Р В Р В Р А ,

4

А

при условии, что А произошло).

тию Аi .

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть гипотезы А1, А2 ,..., Аn образуют полную группу событий и

попарно несовместны, а событие F может произойти только лишь при осуществлении одной из этих гипотез. Тогда

вероятности, i=1,2,…,n.

7. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Рассмотрим серию независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одинакова, Р А р .

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

5

Рm,n Cnm pm qn m , где q 1 p ,

8. Случайная величина. Основные характеристики дискретной случайной величины

Опр.: Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания.

Опр.: Величина Х называется дискретной случайной величиной, если множество её возможных значений представляет собой ко-

нечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2 ,..., xn и

каждое событие X xi имеет определённую вероятность pi .

Опр.: Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями Х и их вероятностями называется законом распределения случайной величины:

Числовые характеристики дискретной случайной величины:

Математическое ожидание дискретной случайной величины:

МХ хi pi .

i1n

9. Интегральная функция распределения случайной величины

Опр.: Интегральной функцией распределения называется функция, определяемая соотношением: F x P X x .

6

2.F x – неубывающая функция;

3.P x1 X x2 F x2 F x1 .

10. Непрерывная случайная величина

Опр.: Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Опр.: Плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения, называется неотрицательная функция f(x), удовлетворяющая соотношению: f x F x .

Свойства f(x):

1.f x 0 ;

Числовые характеристики непрерывной случайной величины:

M X xf x dx ;

D X x M X 2 f x dx ;

X D X .

7

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Вариант А

1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и в кольца соответственно равны 0,20; 0,15; 0,10. Определить вероятность попадания в мишень.

Решение:

Произведён один выстрел, следовательно, попадание в одну из зон – события несовместные. Применяем теорему о вероятности суммы несовместных событий.

Пусть А – попадание в круг; В – попадание в первое кольцо;

С – попадание во второе кольцо; М – попадание в мишень;

М = А + В + С;

Р М Р А В С Р А Р В Р С 0,20 0,15 0,10 0,45.

Ответ: вероятность попадания в мишень равна 0,45.

2. В группе омских студентов 30 человек, из них отличников – 5, хорошистов – 14, учащихся удовлетворительно – 6, остальные слабые. Объявлен набор волонтеров на олимпиаду в Сочи. Слабых студентов в Сочи не возьмут. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент не поедет в Сочи?

Решение:

Обозначим событие: А – студент не поедет в Сочи. Используем классическое определение вероятности:

Р А mn ,

где n – общее число случаев;

m – число случаев, благоприятных данному событию. По условию задачи:

m = 30 – (5 + 14 + 6) = 5, n = 30. Р А 305 16 .

8

Ответ: вероятность того, что наугад вызванный студент не поедет в Сочи, равна 16 .

3. В среднем 80% акций не продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из семи пакетов акций по первоначальной цене не продадутся 2 пакета акций? 4 пакета акций?

Ответ: P2,7 0,0043 ; P4,7 0,115 .

4. Для участия в спортивных соревнованиях отобрано из первой группы 2 студента, из второй группы 6 студентов и из третьей группы 12 студентов. Вероятность того, что студент из первой, второй и третьей группы попадет в сборную, равна соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. Найти вероятность того, что это студент из третьей группы.

Решение:

Пусть событие F – студент попал в сборную.

Т.к. событие F уже произошло, следовательно, решать задачу

ной вероятности.

Перечислим все события (гипотезы), которые предшествуют событию F:

А1 – студент из первой группы; Р(А1)=2/20=0,1; А2 – студент из второй группы; Р(А2)=6/20=0,3 А3 – студент из третьей группы; Р(А3)=12/20=0,6.

9

Ответ: вероятность того, что наудачу выбранный участник соревнований, попавший в сборную, оказался из третьей группы равна 0,638.

5. Три студента пересдают экзамен по высшей математике. В зависимости от уровня их подготовки вероятность сдать экзамен у каждого разная, у первого – 0,7, у второго – 0,3, у третьего – 0,5. Какова вероятность того, что хотя бы два студента выдержат экзамен?

Решение:

3 студента пересдают; вероятность выдержать экзамен:

I – 0,7;

II – 0,3;

III – 0,5.

Пусть событие А – два студента выдержат экзамен. Выдержит или нет каждый из студентов экзамен – события независимые, обозначим их соответственно А1 , А2 , А3 . При этом каждая из сложивших-

ся ситуаций после сдачи экзамена будет несовместна с остальными ситуациями. Применяя теоремы сложения несовместных событий и умножения независимых событий, получаем следующий результат:

Р А Р А1 А2 А3 А1 А2 А3 А1 А2 А3 Р А1 Р А2 Р А3

Р А1 Р А2 Р А3 Р А1 Р А2 Р А3 0,7 0,3 0,5 0,7

0,7 0,5 0,3 0,3 0,5 0,105 0,045 0,245 0,395.

Пусть событие В – три студента выдержат экзамен.

Р В Р А1 А2 А3 0,7 0,3 0,5 0,105 .

С– хотя бы два студента выдержат экзамен.

СА В; Р С Р А В Р А Р В 0,395 0,105 0,5.

Ответ: вероятность того, что хотя бы два студента выдержат экзамен, равна 0,5.

10