Практикум по математике. Случайные события и вероятности. Случайные величины. Учебно-методическое пособие

6. Производится последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор проверяется только в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Написать ряд распределения числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию этого числа.

Решение:

Пусть Х – число испытанных приборов. Обратим внимание на то, что если прибор оказался ненадёжным, то следующий уже не испытываем.

Составим соответствующую таблицу: в первой строчке – число испытанных приборов, во второй – соответствующая вероятность:

Математическое ожидание

5

М Х xi pi 1 0,1 2 0,09 3 0,081 4 0,0729

i1

5 0,6561 4,0951.

Дисперсию вычислим по формуле:

D Х M Х 2 M Х 2.

M Х 2 1 0,1 4 0,09 9 0,081 16 0,0729 25 0,65610,1 0,36 0,729 1,1664 16,4025 18,7579.

D Х 18,7579 4,0951 2 1,988 Ответ: M Х 4,0951; D Х 1,988.

11

7. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией

Вариант В

1. В урне содержится 40 шаров: 10 красных, 5 синих, 5 зелёных и 20 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:

В этой задаче используется как теорема сложения вероятностей независимых событий, так и классическая формула определения вероятности:

А – появление цветного шара (имеется в виду не белого);

Р А 10 5 5 1 . 40 2

Ответ: вероятность появления цветного шара равна 12 .

12

2. Устройство содержит три независимо работающих элемента, вероятность отказа каждого из которых равна 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение:

Вероятность отказа каждого элемента одинакова – 0,08; элементы работают независимо.

Используем формулу, когда событие произойдёт хотя бы один раз: Р 1 1 р n .

P 1 1 0,08 3 0,22 .

Ответ: Устройство может отказать хотя бы один раз с вероятностью –

0,22.

3. На испытательный стенд поставлены три конденсатора. Известно, что вероятность пробоя конденсатора до истечения 10000 часов равна 0,01. Чему равна вероятность того, что за 10000 часов откажут один или два конденсатора?

Решение:

Аналогично задаче 3 варианта А применима формула Бернулли:

3 0,01 0,9801 3 0,0001 0,99 0,0294 0,000297 0,0293.

Ответ: вероятность отказа одного или двух конденсаторов 0,0293

4. Определить частоту попадания в цель, если при 9 выстрелах оказалось 2 промаха.

Решение:

Частота попадания определяется отношением количества благоприятных событию случаев к общему количеству испытаний:

Р = 79 .

Ответ: Р 79 .

13

5. Братья-близнецы Толя и Саша сдают экзамены. Толя знает 30 билетов из 40, а Саша – 20. Преподаватель не может их различить. Один из братьев сдал экзамен. Какова вероятность, что это был Толя?

Решение:

Т.к. событие уже произошло, то применим теорему Байеса.

Пусть событие F – экзамен сдан одним из братьев. Рассмотрим случаи, которые могли иметь место до события F:

А1 – это Толя;

А2 – это Саша.

P A1 ?

F

Т.к. экзаменатор братьев не различает, то Р А1 Р А2 12 .

Применяем формулу Байеса (аналогично зад. 4 варианта А):

Ответ: вероятность того, что экзамен сдал Толя, равна 53 .

6. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию этого число.

Решение:

Для вычисления математического ожидания и дисперсии составим соответствующую таблицу:

14

Х – число отказавших элементов; вероятности посчитаны по формуле Бернулли:

Р30 0,93 0,729; Р31 С31 0,92 0,1 0,243; Р32 0,027; Р33 0,01.

М Х 1 0,243 2 0,027 3 0,001 0,298.

M Х 2 1 0,243 4 0,027 9 0,001 0,243 0,108 0,009 0,36.

D Х M Х 2 M Х 2 0,36 0,298 0,271.

Ответ: M Х 0,298; D Х 0,271.

7. Плотность вероятности случайной величины задана формулой:

15

16

ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вариант 1

1.Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна – 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

2.Производится один выстрел по мишени с областями 1 и 2, вероятность попадания в которые равна соответственно 0,3 и 0,4. Найти вероятность попадания и вероятность промаха.

3.В семье 10 детей. Считая вероятность рождения мальчика 0,5, определить вероятность того, что в данной семье не менее девяти мальчиков.

4.Из каждых пяти автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, 3 грузовые и 2 легковые. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

5.В группе 30 студентов, из них по высшей математике получили автоматический зачёт 10 человек. Какова вероятность того, что названный наудачу студент будет сдавать зачёт во время сессии?

6.Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырёх выстрелов. Составить закон распределения числа выстрелов, производимых охотником, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию числа производимых выстрелов.

7.Плотность вероятности случайной величины задана формулой:

Найти интегральную функцию распределения этой случайной величины.

17

Вариант 2

1.В урне находятся 4 белых и 5 синих шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

2.Мишень состоит из 5 кругов 5, 4, 3, 2, 1, считая от центра. Вероятность попадания в эти круги соответственно равна 0,12; 0,16; 0,20; 0,1; 0,25. Какова вероятность того, что пуля не окажется в круге 1 и 2?

3.В первой колоде 36 карт, а во второй – 52 карты. Наудачу выбрана колода, а из колоды наудачу взята карта. Эта карта туз. Какова вероятность того, что она взята из первой колоды?

4.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий хотя бы одно стандартно.

5.Случайно выбранное лицо с вероятностью 0,2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 – блондином. Какова вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц 4 блондина и 1 брюнет?

6.Случайная величина задана интегральной функцией распределения:

0, если x 2,

F x x2 2 2 , если 2 x 1,

1, если x 1.

Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание этой случайной величины.

7. В экзаменационном билете три вопроса. За правильный ответ на один вопрос студент получает 5 балов. Так как студент в силу различных причин пропустил часть занятий, то вероятность правильного ответа на любой вопрос равна 0,4. Построить ряд распределения числа баллов, полученных за ответы на вопросы билета. Найти математическое ожидание этого числа.

18

Вариант 3

1.Каждое из четырёх несовместных событий может произойти соответственно с вероятностью 0,012; 0,010; 0,006; 0,002; определить вероятность того, что в результате опыта произойдёт одно из событий.

2.Слово «лотос» составлено из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?

3.В корзине 3 груши и 4 яблока. Наудачу вынимают один из плодов. Какова вероятность, что это будет груша?

4.Проводится 10 независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза.

5.Имеется три урны. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй – 2 белых и 3 чёрных шара, в третьей – 3 белых и 5 чёрных.

Событие Hi – выбор i-ой урны (i = 1,2,3); P H1 35 ; P H2 1 10 ; P H3 310 . Выбрали белый шар. Найти вероятность того, что он

был взят из третьей урны.

6. Случайная величина Х задана следующим графиком дифференциальной функцией распределения. Составить аналитическое выражение для данной функции. Найти дисперсию этой случайной величины.

f(x)

2 х

7. По цели произведёны два выстрела с вероятностью попадания 0,4 и 0,7. Составить закон распределения числа промахов, найти дисперсию этого числа.

19

Вариант 4

1.При одной и той же вероятности попадания 0,2, что вероятнее: попасть два раза при трёх выстрелах или три раза при четырёх выстрелах?

2.В партии 14 изделий хорошего качества и 4 изделия дефектные. Какова вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется пригодным?

3.В электрическую цепь последовательно включают три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа элементов равны 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

4.В лотерее 1000 билетов, из них на один билет выпадает выигрыш 500 000 рублей, на 20 билетов – выигрыш 70 000 рублей, на 50 билетов – выигрыш по 10 000 рублей и на 200 билетов – выигрыш по 3000 рублей. Найти вероятность выиграть хотя бы 10 000 рублей.

5.Студентов, обучающихся плаванию и гимнастике, в университете физической культуры в два раза больше, чем студентов, обучающихся в группе туризма. Сессию сдают вовремя 70 % пловцов и гимнастов и 90 % туристов. Вызванный наудачу студент сессию сдал вовремя. Какова вероятность того, что этот студент пловец или гимнаст?

6.Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

0, если x 0,

F x х2 16, если 0 x 4,1, если x 4.

Найти дифференциальную функцию распределения и математическое ожидание случайной величины.

7. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие появляется с вероятностью 0,2. Составьте закон распределения числа появлений события в трёх опытах. Найдите функцию распределения и дисперсию числа появлений события.

20