Практикум по математике. Случайные события и вероятности. Случайные величины. Учебно-методическое пособие
.pdf
Вариант 5
1.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8 и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа два из трёх станков не потребуют внимания рабочего.
2.Группу студентов разделили на 3 подгруппы. В первой и третьей подгруппах 2 отличника и 1 хорошист; во второй подгруппе 3 отличника и 1 хорошист. Выбирают одну из подгрупп и вызывают одного студента для отчета. Студент оказался отличником. Какова вероятность, что он из первой подгруппы?
3.В корзине лежит 25 плодов груши и 30 плодов яблок. Какова вероятность того, что взятый наугад плод окажется грушей?
4.В ящике находится 120 красных и 80 синих ручек. Какова вероятность того, что из 6 раз будут 5 раз вынуты красные ручки. Ручки после каждого вынимания возвращаются в ящик.
5.Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятность отказа которых равна соответственно 0,04; 0,05 и 0,014. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк, сработает хотя бы одна система безопасности?
6.Вероятность выполнения двумя спортсменами упражнения соответственно равна 0,8 и 0,9. Составить интегральную сумму распределения числа спортсменов, выполнивших упражнение, найдите дисперсию этого числа.
7.Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
0, если x 0, |
||||||
|
3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
|
, если 0 |
x 2 / 3, |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
0, если x 2.
Найти дисперсию этой случайной величины.
21
Вариант 6
1.Имеется три одинаковых урны, в первой урне два белых и один чёрный шар, во второй – четыре белых и один чёрный, в третьей
–пять белых и два чёрных шара. Вынули чёрный шар. Найти вероятность того, что он был взят из первой урны.
2.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются).
3.Круговая мишень состоит из тёх зон: 1, 2, 3. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,17, во вторую зону – 0,25, в третью зону – 0,12. Стрелок делает один выстрел. Найти вероятность промаха.
4.На испытательном стенде испытываются в определённых условиях 4 прибора. Вероятность того, что в течение часа откажет ка- кой-то определённый из приборов, равна 0,004 и эта вероятность одна и та же для всех приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытуемых приборов.
5.В коробке лежит 10 ручек с синей пастой и 14 ручек с чёрной пастой. Какова вероятность того, что взятая наугад ручка окажется с синей пастой.
6.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:
0, если x 0,
f x 4x
18, если 0 x 3,0, если x 3.
Найти математическое ожидание этой случайной величины и Р(1<x<2).
7. Стрелок А производит два выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,5, а стрелок В – один выстрел по мишени с вероятностью попадания 0,7. За каждое попадание стрелки получают по 5 очков. Составить закон распределения числа выбитых стрелками очков и вычислить дисперсию этого числа.
22
Вариант 7
1.Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них будет допущена ошибка.
2.Два шахматиста условились сыграть 5 результативных партий. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии первым игро-
ком 2
3 , вторым – 1
3 . Чему равна вероятность выигрыша вторым игроком всей игры?
3.В группе 35 студентов. Двое из них к экзамену не готовы и экзамен не сдадут. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент не сдаст экзамен?
4.70 % деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2 % брака, а 30 % – автоматом, дающим 5 % брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате?
5.Из группы студентов отобрали 5 человек, показавших лучшие результаты в лыжном забеге. Вероятность показать отличные результаты на областных соревнованиях у каждого из них 0,3. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа студентов, которые покажут отличные результаты на областных соревнованиях и найти дисперсию этого числа.
6.Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:
0, если x 0,
F x 3x2 , если 0 x 4,
5
1, если x 4.
Найти дифференциальную функцию распределения и математическое ожидание случайной величины.
7. На экзамене по высшей математике у студента вероятность получить: «2» – 0,01, «3» – 0,59, «4» – 0,32, «5» – 0,08. Какова вероят-
ность сдать экзамен на оценку выше «3»?
23
Вариант 8
1.Школьник учится играть в баскетбол. Он трижды бросает мяч
вкольцо. Вероятность попадания 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий и вычислить дисперсию этого числа.
2.Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
0, если x 0, |
|
|||
|
1 |
|
|
|
f x |
|
sin x, если 0 |
x , |
|
2 |
||||
|
|
|
||
0, если x . |
|
|||
Найти интегральную функцию.
3.Найти вероятность того, что событие А появится не менее трёх раз в четырёх независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
4.В урне 125 шаров, из них 25 шаров зеленых. Какова вероятность вынуть наугад зеленый шар?
5.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность того, что деталь произведена пер-
вым автоматом – 2
3 , вторым автоматом – 1
3 . Первый автомат произ-
водит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
6.При стрельбе из пистолета вероятность попадания в «десятку» равна 0,20, в «девятку» – 0,30, в «восьмёрку» – 0,12, в «пятёрку» – 0,08. Какова вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет не менее 8 очков?
7.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
24
Вариант 9
1.В ящике 20 шаров занумерованы от 1 до 20. Какова вероятность вынуть шар с номером кратным 3?
2.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
3.На экзамене по математике в каждом билете один вопрос теоретический, одна задача и одно упражнение. Вероятность того, что студент ответит на теоретический вопрос, равна 0,8; вероятность, что он решит задачу, равна 0,7; вероятность, что выполнит упражнение, – 0,6. Какова вероятность, что студент выполнит только теоретическое задание?
4.В лотерее на 500 билетов приходится: 3 выигрыша по 100 000 рублей, 10 – по 50 000 рублей, 20 – по 10 000 рублей. Чему равна вероятность выигрыша не более 50 000 рублей?
5.При въезде в квартиру в осветительную сеть были включены 5 лампочек. Найти вероятность того, что в течение года более половины лампочек придётся заменить новыми, если каждая лампочка перегорает с вероятностью 0,02.
6.Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов соответственно
равны: Р1 0,3; Р2 0,4; Р3 0,5 . Составить закон распределения чис-
ла отказавших приборов, вычислить дисперсию этого числа.
7. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
0, если x 0,
f x x2 , если 0 x 4,
18
0, если x 4.
Найти математическое ожидание этой случайной величины и
Р 2 x 3 .
25
Вариант 10
1.Пассажир ждёт трамвай № 26 или 16 возле остановки, у которой останавливаются трамваи четырёх маршрутов: № 16, 22, 26, 31. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, найти вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.
2.Изделия проверяются на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что изделие признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что изделие проверял второй товаровед.
3.В урне 5 белых, 10 синих и 7 красных шаров. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар окажется цветным?
4.Четверо студентов были на спортивных сборах и не успели хорошо подготовиться к экзамену по математике. Вероятность того, что каждый из них сдаст экзамен равна 0,3. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них сдадут экзамен по математике ?.
5.В первой партии имеется 70 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Во второй партии – 80 изделий первого сорта и 20 изделий второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад из двух партий изделия окажутся оба первого сорта; одно изделие первого сорта.
6.Плотность вероятности случайной величины задана формулой:
|
|
|
|
0, если x 0, |
|
f x |
sin 2x, если 0 x , |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0, если x |
. |
|
|
2 |
|
|
|
Найти интегральную функцию этой случайной величины.
7. В экзаменационном билете 2 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, равна 0,6. Найти закон распределения числа правильных ответов на вопросы билета, дисперсию и функцию распределения F(x) этого числа.
26
Вариант 11
1.В первом ящике 3 белых и 5 чёрных шаров, а во втором ящике
–8 белых и 3 чёрных. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?
2.Круговая мишень состоит из 4 зон. Вероятность попадания в первую зону равна 0,12; во вторую – 0,14; в третью – 0,25; в четвёртую – 0,11. Найти вероятность того, что попадание будет в первые две зоны. Найти вероятность промаха.
3.Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: 1 и 2. Надёжность (вероятность безотказной работы) узлов 1 и 2 известна: для первого узла – 0,8, для второго – 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. После испытания выяснилось, что прибор неисправен. Найти вероятность того, что неисправен только второй узел.
4.Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. Надёжность для каждого элемента равна 0,8. Найти вероятность того, что за время t откажут не более двух элементов, если элементы выходят из строя независимо друг от друга.
5.В группе из 25 лыжников подготовлены на «отлично» - двое, на «хорошо» - восемь человек, на «удовлетворительно» - пятнадцать. Какова вероятность того, что вызванный наудачу лыжник будет из числа подготовленных не ниже, чем на «хорошо»?
6.Случайная величина Х за-
дана следующим графиком диффе- f(x) |
|
А(1;2) |
|
ренциальной функцией распределе- |
|
|
|
ния. Составить аналитическое вы- |
|
|
|
ражение для данной функции. Най- |
|
|
|
ти дисперсию этой случайной вели- |
|
|
|
0 |
х |
||
чины. |
7. Три студента пересдают зачёт по высшей математике. Вероятность того, что первый студент пересдаст зачёт, равна 0,95; второй
– 0,8; третий – 0,5. Составить закон распределения числа студентов, которые пересдадут зачет. Найти математическое ожидание этого числа.
27
Вариант 12
1.В копилке 5 монет по 10 рублей, 4 монеты по 20 рублей и одна 5-рублёвая монета. Какова вероятность того, что выбранная наугад монета окажется достоинством не менее 10 рублей?
2.В партии изделий смешаны изделия трех заводов: 10 изделий первого, 8 – второго и 2 – третьего. Известно, что вероятность дефекта 1-го, 2-го и 3-го заводов равна соответственно 0,3; 0,5 и 0,1. Если изделие дефектно, то оно не проходит испытание. Взято наугад изделие из смешанной партии. Оно не прошло испытания. Найти вероятность того, что оно сделано 2-м заводом.
3.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится в двух справочниках.
4.Четверо студентов из группы живут в других городах и хотят подольше побыть дома на каникулах. Им разрешили сдать экзамен по математике досрочно. Каждый из них успел подготовиться только на 40%. Какова вероятность того, что хотя бы один из этих студентов раньше поедет домой?
5.Стрелок стреляет по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле – 0,7. Найти вероятность не более 2 промахов при 10 выстрелах.
6.В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй - 0,8, третьей - 0,7. Составить законы распределения правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
7.Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
0, если x 0, |
|
|||
x |
|
|
||
f x |
|
, если 0 x |
2, |
|
2 |
||||
|
|
|
||
0, если x 2. |
|
|||
Найти дисперсию этой случайной величины.
28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
0,14; |
2) 0,3; |
|
|
3) 0,0107; |
4) |
3 |
; |
5) |
2 |
; |
|
|
|
6) 0,531; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, если x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) F x |
1 cos x, если 0 x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1, если x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
4 |
; 2) 0,48; |
|
|
3) 0,591; |
4) 0,99; |
|
|
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
0,0116; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, если x 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) |
|
f x 4x(x2 2), если 2 x 1, |
M Х 43 |
7 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
||
|
|
|
0, если x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
0,030;2) |
|
1 |
; 3) |
3 |
; |
4) 15/128; |
5) 0,212; |
|
6) |
2 |
; |
7) 0,45. |
||||||
30 |
7 |
|
9 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант 4: |
|
|
|
|
||||
1) Р2 |
Р3 ; |
|
2) |
7 |
; 3) 0,488; |
|||
|
|
|||||||
3 |
4 |
|
|
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0, если x 0, |
|
|||||
6) f x |
|
х |
, если 0 x |
4, |
||||
|
|
|||||||
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0, если x 4. |
|
|||||
4) 0,071; |
5) 0,609; |
M Х 83 ;
29
|
|
|
|
|
|
|
0 , при х 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0,512 , при 0 х 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
|
|
|
|
|
0,896 , при 1 х 2; |
D Х 0,48. |
|
|
|
|
|||||||
|
F x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0,922 , при 2 х 3; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, при х 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
0,329; |
2) 0,32; |
3) |
5 |
; |
4) 0,1866; |
5) 0,896; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0, если x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02, если 0 x 1, |
|
D Х 0,25 ; |
|
|
|
|
|||||||
6) |
|
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,28, если 1 x 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1, если x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
0,407; |
|
2) Р2 |
Р3 ; |
3) 0,46; |
4) 0,016; |
5) |
5 |
; |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) 2; |
3 |
; 7) 17,75. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 7: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
0,432; |
|
2) 0,210; |
|
|
3) |
2 |
; 4) 0,483; |
5) 1,05; |
|
|
|||||||
|
|
|
35 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
f x |
|
, если 0 |
x 4, |
|
M Х 25,6 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если x 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) |
0,4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30