Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Следующие элементарные преобразования позволяют полу-
BAX=
∆
∆
чать системы, равносильные исходной системе:
1) перестановка местами уравнений системы;
2) умножение обеих частей уравнения системы на любое число
λ ≠ 0;
3) прибавление к любому уравнению другого уравнения системы,
предварительно умноженного на любое число λ ≠ 0.
Введя следующие обозначения:
a...aa
A
=
221
где A – основная матрица системы, составленная из коэффициентов
перед переменными, X – матрица-столбец переменных и B – матрица- столбец свободных членов, систему (2.1) можно записать в матричной форме:
2.2. Решение системы линейных алгебраических
уравнений методом Крамера
Этот метод применим, если только определитель матрицы
системы (2.1) ∆ = |A| ≠ 0. В этом случае система (2.1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
=
j
n11211
a...aa
n22
,
X
............
a...aa
mn2m1m
. (2.3)
j
=
x
1
x
2
=
, (2.4)
n1,j , x
,
B
...
x
n
b
1
b
2
=
...
b
m
,
31
где ∆j - определители переменных, получаемые из определителя ∆
3 0 1 5 0.
− = ≠
15
−
−
−
−
5
5
5
−
заменой его j –го столбца столбцом свободных членов.
2.2. Используя метод Крамера, найти решение системы
−=+
32
,1xx2
=−
,0xx3
31
−=−+
321
.3xxx2
0 2 1
−
Определитель системы ∆ =
.
2 1 1
−
Следовательно, эта система разрешима методом Крамера.
Вычислим определители переменных:
121
=∆
100
113
110
,5
=∆=−−
103
−
132
−−
,10
=∆−=
321
120
003
=
312
−
Решение системы находим по формулам (2.4):
5
x
x,1
10
===
2.3. Решение систем линейных уравнений
методом обратной матрицы
Этот метод решения системы (1.2) (или (2.3)), называемый еще
матричным методом, применим, если матрица системы является невырожденной, т.е. ∆ = |A| ≠ 0. В этом случае матрица A имеет обрат-
ную матрицу A-1. Тогда решение системы можно записать в матричной форме:
-1
= A
X
B (2.5)
15
x,2
321
.
3
==−=
.
32
2.3. Используя метод обратной матрицы, найти решение
−
−
=
системы:
=++
,9x3x8x2
321
=++−
,2xx3x
321
=++
.6x2x5x2
321
Матрица системы невырожденная, т.к. ее определитель
|A| =1 ≠ 0. Следовательно, ее обратная матрица существует и оп-
ределяется по формуле (1.9):
111
.
524
−−
14611
A
1
−
=
−
Решение исходной системы находим по формуле (2.5):
=
X
−
−−
−−
14611
или
9
111
⋅
524
=
2
6
,1x
1
=
,2x
2
−=
3
.3x
2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса
Этот метод, называемый еще методом исключения переменных, является наиболее универсальным методом решения систем ли-
нейных уравнений, который может быть использован для решения
любой совместной системы. Условия совместности (наличия решения)
системы линейных алгебраических уравнений выражаются одной из
−−
629
−−
30436
=+−
841299
1
=
2
−
3
33
фундаментальных теорем линейной алгебры – теоремой КронекераКапелли:
Для разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (2.1) необходимо и достаточно равенство рангов ее основной матрицы
A и расширенной матрицы А*, т.е. r(A)= =r(A*),
где расширенная матрица системы А* получается из матрицы А добавлением к ней столбца из
свободных членов.
Суть метода Гаусса состоит в следующем: исходная система
2.1) элементарными преобразованиями приводится к равносильной
(
системе ступенчатого вида, в уравнениях которой последовательно, по
одной, исключены переменные.
Если при этом r(A) = r = n , то равносильная система примет
треугольный вид
=+++
)1(
2
22
)1(
n
n2
)1n(
nn
,bxa...xaxa
1nn1212111
)1(
=++
,bxa...xa
2
(2.6)
... ... ... ...
−−
=
)1n(
.bxa
nn
и имеет единственное решение, которое можно найти обратным ходом:
решаем последнее уравнение и получаем xn , подставляя его в предпоследнее – получаем x
и т.д.
n-1
Если же r(A) = r < n, то равносильная система имеет ступенча-
тый вид:
34
=+++++
22
)1(
2
)1(
r
r2
)1r(
rr
)1(
n2
... ... ... ...
rnr
,bxa...xa...xaxa
1nn1rr1212111
)1(
=++++
n
)1r(
,bxa...xa...xa
2
−−−
=++
)1r(
.bxa...xa
rn
(2.7)
В этом случае система (2.7) (следовательно, и система (2.1)) разрешима
неоднозначно. Ее первые r переменных x1,x2,…,xr можно найти обратным ходом метода Гаусса и выразить их через оставшиеся (n-r) переменных x
переменные x
,…,xn . Переменные x1,x2,…,xr называются базисными,
r+1,xr+2
,…,xn – свободными.
r+1,xr+2
Решение системы (2.1), в котором все свободные переменные
равны нулю, называется базисным решением. В приложениях (осо-
бенно при решении экономических задач) важную роль играют решения с положительными значениями переменных. Такие решения называются допустимыми. И, наконец, допустимые базисные решения называются опорными решениями.
2.4. Дана система линейных уравнений
=−+−
,2x2x3x2x
4321
=−−+
,4x4xx2x2
4321
=−+−
.8x8xx2x4
4321
Найти её: 1) общее решение; 2) базисные решения; 3) опорные
решения.
1) Выпишем расширенную матрицу данной системы и пре-
образуем ее методом Гаусса:
35
1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 1 4 4 0 6 3 0 0 0 6 3 0 0
4 2 1 8 8 0 6 3 0 0 0 0 0 0 0
∗
− − − − − −
=−+
−
A
= − − − −
.
− − −
Преобразованная матрица имеет ступенчатый вид и r(A) = r(A*) = 2 .
Следовательно, система по теореме Кронекера-Капелли разрешима,
причем число базисных переменных равно r = 2, а число свободных –
(n-r) = 2. Выберем в качестве базисных переменных x1 и x2. Преобразованной матрице будет соответствовать система уравнений:
32
,2x2x3x2x
4321
.0 x3x6
=−
Из второго уравнения выразим x2 через x3: 2x2-x3 =0 → x2 = x3/2; Подставив это выражение в первое, получим: x1-2x2+x3-2x4 = 0 → x1 =
=2 + 2x4 .
Итак, общее решение системы имеет вид:
x1 = 2 + 2x4 , x2 = x3/2 , x3 и x4 – свободные переменные.
Отметим, что в качестве базисных можно выбрать и другую пару переменных.
2) Одно из базисных решений получим из приведенного общего
решения, положив свободные переменные равными нулю – X1(2,0,0,0).
Для нахождения других базисных решений можно использовать тот
факт, что в базисном решении свободные переменные равны нулю. Последовательно полагая в исходной системе две переменные равными
нулю и разрешая ее относительно оставшихся переменных, можно показать, что еще одним базисным решением является X
(0,0,0,-1).
2
36
3) Из двух полученных базисных решений только одно, а именно
X1(2,0,0,0), является допустимым, следовательно, и опорным.
2.5. Разрешенные системы. Преобразование Жордана
Переменная xi системы (2.1) называется разрешенной, если она
содержится в некотором из ее уравнений с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы не входит.
Система (2.1) называется разрешенной, если каждое ее уравнение содержит разрешенную переменную. Например, система
=+−
421
432
542
,2xx2x
=−+
,4x2xx
=+
. 8xx-x3
является разрешенной, так как содержит три разрешенных переменных
x1 ,x3, x5.
Любую совместную систему линейных алгебраических уравнений с помощью жордановых преобразований можно привести к равносильной разрешенной системе вида:
β=+++
++
++
Жорданово преобразование с разрешающим элементом a
) проводится в следующем порядке:
a
lkxk
++
,xa...xax
1nn11m)1m(11
β=+++
,xa...xax
2nn21m)1m(22
... ... ... ...
β=+++
.xa...xamx
mnmn1m)1m(mm
(членом
lk
1) систему (2.1) записывается в табличной форме (см. таблицу 2.1);
37
Таблица 2.1
l
≠
i
−
−
x
1
a
11
x2 … xk … xn b
a12 … a1k … a1n b1
a21 a22 … a2k … a2n b2
… … … … … … …
al1 a
…
l 2
a
l k
… a
bl
l n
… … … … … … …
am1 am2 … amk … amn bm
2) l- ую строку, содержащую элемент a
, умножаем на величину 1/alk;.
lk
3) полученную l-ую строку последовательно умножаем на числа
(-aik) ,
,
m,1i =
и полученные результаты прибавляем к i–ой
строке. В результате получим новую таблицу (новую равносильную
систему) с разрешенной переменной xk, где коэффициенты и правые
части определяются по формулам (формулам прямоугольника):
aaaa
rksrsk
′
a
=
rs
ll
a
k
l
′
b
,
=
r
a
baba
rkrk
ll
.
k
l
2.5. Используя жордановы преобразования, систему
=++−
,2x5x2xx5
4321
=+++
,6x4x2x2x3
4321
=+++−
3x7x3x3x
4321
привести к разрешенному виду и найти ее общее решение.
Сначала исходную систему запишем в табличной фор-
ме, затем вторую строку умножим на число ½ и полученную
38
строку, умножив на (-2), прибавим к первой строке, а, умножив
на (-3) – к третьей. В результате получим новую систему с разрешенной переменной x2 (см. второй блок таблицы 2.2, где приведено также дальнейшее преобразование и окончание решения
исходной системы):
Таблица 2.2
x
1
5
3
-1
2
3/2
-11/2
15/2
25/2
-11/2
-5/2
15
-11/2
x
-1
2
3
-3
1
0
-3
1
0
1
0
0
2
x
3
2
2
3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
x
4
5
4
7
1
2
1
0
0
1
0
0
1
b
2
6
3
-4
3
-6
2
15
-6
-2/3
47/3
-6
Используя последний блок таблицы, исходную систему
запишем в виде, разрешенном относительно переменных x2 ,x3, x4
5
2
11
x
12
x15x
2
x
x
2
−=−
,
3
47
=+
13
14
,
3
−=−
.6x
39
Нетрудно записать и общее решение системы, зависящее
от одной произвольной постоянной:
=
47
3
,C2x
2
+−=
3
−=
+−=
1
x
2
x
3
4
2.6. Приложение систем линейных уравнений
к решению экономических задач
Рассмотрим несколько прикладных задач, которые приводятся
к решению систем линейных уравнений.
,C5
,C30
.C116x
2.6. Для производства трех видов изделий Р
, Р2 и Р3 пред-
1
приятие использует 3 вида сырья: S1, S2, S3. Необходимые технологические характеристики приведены в таблице 2.3. Требуется
составить план выпуска изделий при известных запасах сырья.
Обозначим через x1,x2,x3 – неизвестные объемы выпус-
ка каждого вида изделий. Предполагая, что при производстве изделий используются все запасы сырья, составим балансовые соотношения в виде системы трех уравнений:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]