Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по математике. Ч.3 уравнения и неравенства. Учебное пособие
.pdf
1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Кузбасский государственный технический университет
имени Т. Ф. Горбачева»
А. С. Ащеулова Е. В. Кабачевская
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ.
ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Учебное пособие
Кемерово 2022
2
УДК 51(075.8)
Рецензенты:
Н. С. Бондарев – д-р экон. наук, доцент, заведующий кафедрой «Управ-
ление качеством» ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный университет»
Е. В. Дугинов – канд. физ.-мат. наук, заместитель директора по образо-
вательным проектам АНО «Научно-образовательный центр Кузбасс»
Ащеулова, А. С. Практикум по математике. Часть 3: уравнения и
неравенства : учебное пособие / А. С. Ащеулова, Е. В. Кабачевская ; Мини-
стерство науки и высшего образования Российской Федерации, Кузбасский
государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева. – Кемерово, 2022. – 78 с. – ISBN 978-5-00137-312-4. – Текст : непосредственный.
Учебное пособие содержит задания для практических работ по дисци-
плине «Математика», раздел «Алгебра», направленные на формирование
умений решать уравнения и неравенства.
Предназначено для обучающихся 1 курса всех специальностей института профессионального образования.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Кузбасского
государственного технического университета имени Т. Ф. Горбачева.
УДК 51(075.8)
© Кузбасский государственный
технический университет
имени Т. Ф. Горбачева, 2022
ISBN 978-5-00137-312-4
© Ащеулова А. С.,
Кабачевская Е. В., 2022
3
Оглавление
Предисловие .............................................................................................................. 5
1. Метод интервалов ................................................................................................. 6
Вопросы для самопроверки .................................................................................. 6
Уровень А ............................................................................................................... 6
Уровень В ............................................................................................................... 7
Уровень C ............................................................................................................... 9
2. Корень n-й степени .............................................................................................12
Вопросы для самопроверки ................................................................................12
Уровень А .............................................................................................................12
Уровень В .............................................................................................................14
Уровень С .............................................................................................................16
3. Степени с рациональными показателями, их свойства ..................................18
Вопросы для самопроверки ................................................................................18
Уровень А .............................................................................................................18
Уровень В .............................................................................................................19
Уровень С .............................................................................................................22
4. Иррациональные уравнения ..............................................................................24
Вопросы для самопроверки ................................................................................24
Уровень А .............................................................................................................24
Уровень B .............................................................................................................25
Уровень C .............................................................................................................28
5. Иррациональные неравенства ...........................................................................31
Вопросы для самопроверки ................................................................................31
Уровень А .............................................................................................................31
Уровень В .............................................................................................................32
Уровень С .............................................................................................................35
6. Показательные уравнения ..................................................................................37
Вопросы для самопроверки ................................................................................37
Уровень А .............................................................................................................37
Уровень В .............................................................................................................39
Уровень C .............................................................................................................41
7. Показательные неравенства ...............................................................................44
Вопросы для самопроверки ................................................................................44
Уровень А .............................................................................................................44
Уровень В .............................................................................................................45
Уровень C .............................................................................................................47
8. Вычисление и сравнение логарифмов ..............................................................49
Вопросы для самопроверки ................................................................................49
Уровень А .............................................................................................................49
Уровень В .............................................................................................................51
Уровень C .............................................................................................................52
9. Преобразование логарифмических выражений ...............................................54
4
Вопросы для самопроверки ................................................................................54
Уровень А .............................................................................................................54
Уровень В .............................................................................................................55
Уровень C .............................................................................................................56
10. Логарифмические уравнения ...........................................................................58
Вопросы для самопроверки ................................................................................58
Уровень А .............................................................................................................58
Уровень В .............................................................................................................60
Уровень С .............................................................................................................63
11. Логарифмические неравенства ........................................................................67
Вопросы для самопроверки ................................................................................67
Уровень А .............................................................................................................67
Уровень В .............................................................................................................69
Уровень С .............................................................................................................70
Литература ...............................................................................................................72
Приложения .............................................................................................................73
Неравенства ..........................................................................................................73
Степени с рациональным показателем ..............................................................75
Степени с рациональным показателем ..............................................................76
Логарифм ..............................................................................................................77
5
Предисловие
В учебном пособии собраны задания к практическим работам
по дисциплине «Математика», раздел «Алгебра». Материала пособия достаточно для работы в аудитории, для самостоятельной рабо-
ты обучающихся, для повторения. Сборник позволяет осуществлять
дифференцированную подготовку, так как задания распределены по
трем уровням сложности:
✓ уровень А – соответствует удовлетворительному уровню
сформированности компетенций;
✓ уровень В – соответствует базовому уровню сформирован-
ности компетенций;
✓ уровень С – соответствует повышенному уровню сформи-
рованности компетенций.
В начале каждого параграфа приведен список контрольных
вопросов для самоконтроля освоения теоретического материала. В
каждом разделе своя нумерация заданий. В приложениях приведены
справочные материалы по данному разделу алгебры.
6
1. Метод интервалов
Вопросы для самопроверки
1. Что называется неравенством?
2. Что называется областью определения функции?
3. Что называется интервалом?
4. Свойства неравенств.
5. Какие виды неравенств вам известны?
6. Какие методы решения неравенств вы знаете?
7. Для каких неравенств может быть применен метод интер-
валов?
8. Как определить промежутки, на которые разбивается пря-
мая при применении метода интервалов?
9. Как определить знак в каждом из полученных промежутков
и как нужно выбирать ответ?
10. В каких случаях знаки чередуются и как следует посту-
пить, если чередование знаков не имеет места?
Уровень А
Решите неравенство:
№ 1.1
а)
2
2 7 4 0;xx+ −
б)
2
12 27 0;xx− +
в)
2
5 36 0;xx+−
г)
2
7 20 0;xx− +
д)
2
6 8 0;xx− +
е)
2
3 7 2;xx− +
ж)
2
2 15 0;xx− − +
з)
2
5 11 6 0;xx− − −
и)
2
2 7 0.xx− +
№ 1.2
а)
2
5 15 0;xx− +
б)
2
4 7 0;xx+ +
в)
2
10 27 0;xx+ +
г)
2
25 10 1 0;xx+ +
д)
2
5 15 0;xx− +
е)
2
4 7 0;xx+ +
ж)
2
10 27 0;xx+ +
з)
2
25 10 1 0.xx+ +
Решите неравенство, используя метод интервалов:
№ 1.3
а)
( 2)( 5)( 1)( 4) 0;x x x x+ + − +
б)
2
( 1)( 3)( 2)( 1) 0;x x x x− + − +
в)
( 2)(3 )( 1) 0;x x x+ − +
г)
(1 )(2 )(3 ) 0;x x x− − −
д)
2
(9 )( 1) 0;xx− −
е)
2
( 2) ( 1)( 3) 0;x x x− − −
ж)
23
( 2) ( 1) ( 4) 0;x x x+ − −
з)
52
( 5) ( 2) ( 4) 0.x x x+ − +
7
№ 1.4
а)
25
0;
4
x
x
−
+
б)
43
0;
1
x
x
+
−
в)
12 4
0;
25
x
x
−
+
г)
2
0;
34
x
x
−
−
д)
0;
( 3)( 4)
x
xx
−+
е)
( 6)( 12)
0;
25
xx
x
−+
−
ж)
2
( 2)
0;
( 1)( 2)
x
xx
−
+−
з)
2
2
0;
25
x
x
+
и)
2
2
( 7)
0.
36
x
x
+
−
№ 1.5 Решите систему неравенств методом интервалов:
а)
( 1)( 3) 0,
( 2)( 1) 0;
xx
xx
+ −
+ −
б)
( 1)( 2) 0,
( 3) 0;
xx
xx
− −
−
в)
( 1)( 2)
0,
2
( 7)( 3)
0;
6
xx
x
xx
x
−−
+
+−
+
г)
( 1)( 2)
0,
2
( 7)( 3)
0.
6
xx
x
xx
x
−−
+
+−
+
Уровень В
№ 1.6 Положительными или отрицательными являются числа
a и b, если известно, что:
а)
0;ab
б)
0;
a
b
в)
0;ab
г)
0;
a
b
д)
2
0;ab
е)
2
0;ab
ж)
2
0.
a
b
№ 1.7 Известно, что a > 2. Какой знак имеет неравенство:
а)
3 6;a −
б)
10 5 ;a−
в)
2 2;a −
г)
( 2)(1 );aa−−
д)
2
;
1
a
a
−
−
е)
2
( 3) ( 1);aa−−
ж)
5
.
2 a
−
−
Решите неравенство:
№ 1.8
а)
2
6 8 0;xx+ −
б)
2
9 12 4 0;xx− +
в)
2
4 12 9 0;xx− +
г)
2
5 4 0;x −
д)
24
16 ;xx
е)
2
30 5 0;xx− +
ж)
24
;xx
з)
2
30 5 0;xx− +
и)
4
8.xx
8
№ 1.9
а)
2
6 2 3
12;
62
x x x++
−
б)
2
31
1;
2
x
xx
−
− −
в)
2
21
2 4;
3
x
xx
−
− +
г)
22
( 3) ( 2) 1
;
16 4 2
x x x− − −
−
д)
22
( 1) ( 1) 2 1
;
12 3 4
x x x+ − −
−
е)
2
10 2 5
20.
10 2
x x x++
−
№ 1.10
а)
22
( 4)( 5 6) 0;x x x− − +
б)
22
( 7 8)( 3 2) 0;x x x x− − + +
в)
2
( 3)( 3)( 4) 0;x x x x+ + + −
г)
23
( 1)( 4)( 2) 0;x x x x− + + +
д)
22
( 5 6)( 5 6) 0;x x x x− + + +
е)
22
( 2 3)( 2 5 2) 0.y y y y+ − − + −
№ 1.11
а)
2 2 2 2
( 2 3) ( 3 ) ;x x x x− − −
б)
2 2 2 2
( 3 2) ( 2 ) ;x x x x+ + +
в)
2
(3 6)( ) 0;x x x− −
г)
22
( 25)( 6 5) 0;x x x− − +
д)
2
(2 6)(2 ) 0;x x x+ −
е)
22
( 4)( 3 2) 0.x x x− − +
№ 1.12
а)
2
2
45
0;
56
xx
xx
++
−−
б)
2
2
47
0;
65
xx
xx
++
−+
в)
2
45
0;
23
xx
x
− + −
+
г)
3 4 2
2
23
0;
6
x x x
xx
−+
++
д)
3 4 2
2
34
0;
2
x x x
xx
−+
++
е)
2
( 2)( 3)
0;
4
xx
x
−+
−
ж)
2
2
69
0;
9
xx
x
−+
−
з)
2
(9 )(4 2)
0;
(3 )(2 8 )
xx
x x x
−−
−−
и)
2
5
0.
2 24
x
xx
−
−−
№ 1.13
а)
2
(1 )(2 )
0;
2
xx
xx
++
−−
б)
2
2
0;
6 40
x
xx
−
−−
в)
2
2
5 10
0;
5 10
xx
xx
−+
++
г)
2
( 2)(2 1)
0;
2 7 3
xx
xx
−−
++
д)
2
2
54
0;
2
xx
x
−+
−
е)
2
2
23
0;
65
xx
xx
+−
−+
9
ж)
2
2
0;
2 11 12xx
−
−+
з)
3 1 3
2;
3 1 3
xx
xx
−−
+
++
и)
2
2
43
0.
65
xx
xx
−+
−+
№ 1.14
а)
2
23
( 1)( 2)( 3)
0;
( 4) ( 5)
x x x
xx
− + −
+−
б)
1 1 1
;
6 2 3x x x
+
+ − −
в)
6 13
2;
12xx
−
−−
г)
2
2
2 5 1
1;
1
xx
xx
−+
++
д)
25
24
( 6 8)( 8)
0;
( 2) (9 )
x x x
xx
− + −
−−
е)
2 3 5
;
42xx
−
−
ж)
2
2
23
0;
65
xx
xx
+−
−+
з)
2
2 3 3 2
.
24
xx
x
xx
−−
−
№ 1.15 Решите систему неравенств, методом интервалов:
а)
2
2
2
4,
9
0;
8 19
x
x
xx
−
−+
б)
( 2)( 10) 0,
2
0;
( 1)( 7)
xx
x
xx
+ +
−
++
в)
2
2
16
0,
4
1
0.
1
x
x
x
x
−
−
+
−
Уровень C
Решите неравенство:
№ 1.16
а)
( )
( )
3 10 2 7 0;x− −
б)
( ) ( )
3 11 5 2 10 5 2 ;xx− −
в)
( )
( )
2
1 2 4 5 ;
22
x− −
+
г)
23
5 2 6;
4 6 10
x −
+
−
д)
( )
3 10 3 2 1 2 ;x− −
е)
( ) ( )
3 10 6 3 5 2 3 10 ;x− −
ж)
( )
1 3 2 2 3;xx+ +
з)
( )
6 2 5 2 .xx− −
10
Решите неравенство методом интервалов:
№ 1.17
а)
24
3 2 2
(1 2 ) (3 )
0;
(8 4 2)( 5 6)
xx
x x x x
+−
+ − − +
б)
33
24
( 2 1)( 2)
0;
( 1)(2 )
x x x
xx
− + −
−+
в)
2
4 6 1
;
93
69
xx
xx
−
−−
++
г)
3
2 1 2 1
;
21
1
xx
xx
x
−−
−
++
+
д)
2
22
1;
3
xx
x
+−
−
е)
( 3)(2 )
1.
(3 )( 2)
xx
xx
−−
−
++
№ 1.18
а)
(1 )(2 )
1;
(1 )(2 )
xx
xx
++
−−
б)
2
2
1
5 5;
57
xx
xx
− −
−+
в)
2
79
1 0;
3
56
x
xx
+ +
−
−+
г)
22
11
;
8 9 3 5 2x x x x
+ − − +
д)
2
2
2 1;
2xx
− −
−−
е)
( 2)( 5)( 8)
1.
( 2)( 5)( 8)
x x x
x x x
− − −
−
+ + +
№ 1.19
а)
2 2 3 2
1 4 1 4
;
23
4 2 7 6 2 3 8 12
x
x x x x x x
+ +
+
− + + + − −
б)
2 3 2 2 2
( 6 5) ( 5)( 7)(4 4 )( 10 25) 0.x x x x x x x x− + − + − − − − +
Решите неравенство:
№ 1.20
а)
3 ( 1) 0;xx+ −
б)
3
2 ( 1) 0;xx− −
в)
5 5;xx+ +
г)
2 1 2 4;xx− − −
д)
4 ( 4) 0;xx+ −
е)
3
7 ( 8) 0.xx+ +
№ 1.21
а)
3 ( 1) 0;xx+ −
б)
31
3 1 2 ;
3 1 2 3 1 2
x
xx
+ + +
+ − + +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]