Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по математике. Ч.3 уравнения и неравенства. Учебное пособие
.pdf
71
ж)
1
log (4 ) 1;
x
x
−
−
з)
log (6 ) 2;
x
x−
и)
2
log ( 7 13) 0.
x
xx− +
№ 11.18 Решите неравенство:
а)
( )
22
3 3 3
11
log log 3 9 log 3 10 ;x x x x
xx
+ + − + + −
б)
( )
2 2 2
2 0,5 4
log log 3 5 log 3 ;x x x+ − −
в)
12
log ( 1)log (2 ) 0;
xx
xx
−+
+ −
2
2
7 10log ( 3) 0;x x x− + − −
г)
2
3
1
4 log 2 0;
x
x
x
+
− +
д)
2
3
( 6 5)log ( 2) 0;x x x+ − −
е)
2
2
2
log ( 3)
0.
45
x
xx
−
−−
№ 11.19 Решите систему неравенств:
а)
22
66
log (2 3) log ( 2),
log (3 1) log (9 4);
xx
xx
+ −
− +
б)
33
66
log (6 1) log (9 11),
log (3 ) log (4 1);
xx
xx
− +
− −
в)
2
3 1 1
22
3
log log 28 log 7,
log (4 1) 0;
x
x
−
−
г)
2
0,1 0,1
1
log ( 12) log ( ),
1
2.
8
x
xx
−
− −
72
Литература
1. Алгебра : учебное пособие для 10-го кл. учреждений общ.
сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецоваа и [и др.] ;
под редакцией Л. Б. Шнепермана. – 3-е изд., испр. и доп. – Минск :
Нар. асвета, 2013. – 271 с. – Текст : непосредственный.
2. Алгебра : учебное пособие для 11-го кл. учреждений общ.
сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова и [и др.] ;
под редакцией Л. Б. Шнепермана. – 3-е изд., испр. и доп. – Минск :
Нар. асвета, 2013. – 287 с. – Текст : непосредственный.
3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб-
ник. Базовый и углубленный уровни / С. М. Никольский,
М. К. Потапов, Н. Н. Решетников. – Москва : Просвещение, 2021. –
464 с. – Текст : непосредственный.
4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб-
ник. Базовый и углубленный уровни / С. М. Никольский,
М. К. Потапов, Н. Н. Решетников. – Москва : Просвещение, 2021. –
432 с. – Текст : непосредственный.
5. Муравин, Г. К. Математика : алгебра и начала математиче-
ского анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анали-
за. Углубленный уровень. 10 класс : учебник / Г. К. Муравин,
О. В. Муравина. – Москва : Дрофа, 2013. – 318 с. – Текст : непосредственный.
6. Номировский, Д. А. Алгебра и начала математического ана-
лиза. 10 класс. Учебное пособие. Углубленный уровень / Д. А. Номировский, А. Г. Мерзляк, В. М. Поляков ; под ред. В. Е. Подольского. – Москва : Вентана-Граф, 2019. – 480 с. – Текст : непосредственный.
7. Номировский, Д. А. Алгебра и начала математического ана-
лиза. 11 класс. Учебное пособие. Углубленный уровень / Д. А. Номировский, А. Г. Мерзляк, В. М. Поляков ; под ред. В. Е. Подольского – Москва : Просвещение, 2021. – 416 с. – Текст : непосредственный.
8. Полный сборник решений задач по математике для посту-
пающих в вузы. Группа А / под ред. М. И. Сканави. – Москва : ООО
«Издательство Астрель», 2012. – 912 с. – Текст : непосредственный.
9. Савченко, Ю. С. Опорные конспекты по математике:
Школьнику, учителю, абитуриенту : Справочник по теории и методам решения задач алгебры и начала анализа. – Ленинград : Финансы и статистика, 1991. – 64 с. – Текст : непосредственный.
73
Приложения
Неравенства
Числовые неравенства
1. К обеим частям неравенства можно прибавлять одно и тоже
число:
.a b a c b c + +
2. При умножении неравенства на положительное число знак
неравенства не меняется, на отрицательное – меняется на противоположный:
, 0;
, 0.
ac bc c
ab
ac bc c
3.
.a b b a
4. Транзитивность:
ab
и
.b c a c
5. Два неравенства одного смысла можно почленно склады-
вать:
.
ab
a c b d
cd
+ +
6. Два неравенство разного смысла можно почленно вычитать,
при этом берется знак неравенства, из которого вычитаем:
.
ab
a c b d
cd
− −
7. Два неравенства одного смысла с положительными членами
можно почленно перемножать:
,
.
, , , 0
a b c d
ac bd
a b c d
8. Если a > b и a, b – одного знака, то обратные им числа свя-
заны неравенством противоположного смысла:
11
.
0
ab
ab
ab
74
Простейшие неравенства с переменной
Линейное неравенство
0.ax b+
1. Переносим b в правую сторону
.ax b−
2. Делим обе части на a
, 0;
, 0.
b
xa
a
b
xa
a
−
−
Простейшие системы неравенств с переменной
1. Больше большего:
3,
1, 3.
0.
x
xx
x
−
2. Меньше меньшего:
3,
1, 1.
0.
x
xx
x
− −
3.
3,
5, 2,
(2; 4).
2, 4.
4.
x
xx
x
xx
x
−
4.
3,
5, 7,
7, 4.
4.
x
xx
x
xx
x
−
75
Степени с рациональным показателем
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями ос-
нование остается прежним, а показатели складываются:
.
n m n m
a a a
+
=
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основа-
ние остается прежним, а показатели вычитаются:
:.
n m n m
a a a
−
=
3. При возведении степени в степень показатели степеней пе-
ремножаются:
( ) .
n m nm
aa=
4. Чтобы поделить степени с одинаковыми показателями, до-
статочно поделить основания и результат возвести в ту же степень:
.
n
n
n
aa
b
b
=
5.
1
.
n
n
a
a
−
=
6.
.
m
n
m
n
aa=
76
Степени с рациональным показателем
1. Величина корня не изменится, если показатель корня и по-
казатель подкоренного выражения умножить на одно и то же число:
.
n nk
m mk
aa=
2. При умножении корней с одинаковыми показателями до-
статочно перемножить подкоренные выражения и из результата из-
влечь тот же корень:
.
n n n
a b ab=
3. При делении корней с одинаковыми показателями доста-
точно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь
тот же корень:
.
n
n
n
aa
b
b
=
4. Чтобы извлечь корень из корня, надо показатели корней пе-
ремножить, а подкоренное выражение оставить прежним:
.
m
n nm
aa=
5. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту
же степень подкоренное выражение:
( )
.
m
n
m
n
aa=
77
Логарифм
Логарифм числа c по основанию a – это показатель степе-
ни, в которую надо возвести основание a, чтобы получить c.
log , 0, 1.
b
a
c b a c a a= =
Основные логарифмические тождества:
a)
logac
ac=
;
b)
log .
b
a
ab=
1.
log 1 0.
a
=
2.
log 1.
a
a =
3. Логарифм произведения:
log log log .
a a a
xy x y=+
4. Логарифм частного:
log log log .
a a a
x
xy
y
=−
5. Логарифм степени:
log log .
c
aa
x c x=
6.
1
log log .
с
a
a
xx
c
=
7.
log log .
с
с
a
a
xx=
8.
log log .
с
b
a
a
b
xx
c
=
Переход к новому основанию:
log
log .
log
b
a
b
c
c
a
=
Следствие:
1
log .
log
a
с
c
a
=
78
Ащеулова Алена Сергеевна
Кабачевская Елена Вячеславовна
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ.
ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
Учебное пособие
Редактор О. А. Салтымакова
Подписано в печать 04.07.2022. Формат 60×84/16
Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 4,9
Тираж 100 экз. Заказ......
Кузбасский государственный технический университет
имени Т. Ф. Горбачева, 650000, Кемерово, ул. Весенняя, 28
Издательский центр Кузбасского государственного технического
университета имени Т. Ф. Горбачева, 650000, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4 а
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]