Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
А теперь, чтобы составить двойственную задачу, умножим вектор-
(
)
2 8 2 2 min
2 2 ,
2 1.
− + + − ≥
− + − + ≥
, , , 0
≥
A
%
(
)
x
′
A
%
столбец из переменных двойственной задачи (этот вектор записан
справа от системы ограничений) последовательно на векторыстолбцы, составленные из правых частей и коэффициентов при неизвестных в преобразованной системе ограничений. Первое произведение определит линейную форму двойственной задачи:
F y y y y= − + + + →y ,
а последние два произведения – систему ограничений этой задачи:
Для облегчения составления двойственной задачи можно использовать и так называемую расширенную матрицу задачи
чаемую из матрицы исходной задачи с добавлением строки и столбца,
составленные соответственно из коэффициентов линейной формы
L
и правых частей системы ограничений. Тогда транспонирован-
ная матрица
ственной задачи. В частности, для задачи, рассмотренной в примере
6.1, эти матрицы имеют следующий вид:
будет служить уже расширенной матрицей для двой-
1 2 3 4
y y y y
1 2 3 4
y y y y
1 2 3 4
y y y y
1 2 3 4
.
, полу-
151
1 1 2
1 1 8
1 2 2
2 1 2
x x
L
− − −
1 1 1 2 2
1 1 2 1 1
F
(
)
5 2 2 3 max
2 1,
2 1,
− + + − ≤
, , , 0
≥
2 1,
2 1,
− + − + ≤ −
, , , 0
≥
1 2
y y y y
1 2 3 4
A
%
=
−
,
−
− −
%
′
=
A
− −
−
2 8 2 2
2 1
6.2. Составить задачу, двойственную данной:
L x x x x= − + − − →x ;
Поскольку в исходной задаче ищется максимум линейной
формы, то систему ограничений приведём к виду:
1 2 3 4
x x x x
− + − ≥
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x
− + + − ≤
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
.
.
.
Как и в предыдущем примере, для пары двойственных задач выпишем
их расширенные матрицы:
152
1 2 1 1 1
1 1 2 1 1
x x x x
L
− − −
1 1 5
2 1 2
1 2 2
1 1 3
F
− − −
− −
− −
(
)
min
5,
2 2,
2 2,
3,
− + ≥ −
1 2
, 0
≥
1 2 3 4
y y
1 2
A
%
=
%
′
,
=
A
.
− −
5 2 2 3
− − −
1 1
−
Следовательно, двойственная задача запишется в виде:
F y y= − + →y ,
6.2. Теоремы двойственности
Теоремы двойственности устанавливают тесную связь между
оптимальными решениями пары двойственных задач и позволяют по
1 2
y y
− − ≥ −
1 2
y y
+ ≥
1 2
y y
1 2
y y
− ≥ −
1 2
y y
.
решениям одной из двойственных задач построить решения другой
или установить его отсутствие.
Теорема 6.1. 1). Если одна из пары двойственных задач имеет
оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, при
этом значения линейных форм на оптимальных решениях совпадают,
153
т.е.
()(
)
X Y
()(
)
X Y
(
)
, , ,
n
x x x
(
)
n
y y y
0
⋅ − =
1,
j n
0
⋅ − =
1,
i m
б
C
∈
*
y
=
( ; ;...; )
y c c c
i
k
∆
1
D
−
max minL F=
2). Если же линейная форма одной из двойственных задач не
ограничена, то множество допустимых решений другой пусто, (т.е.
система ограничений не совместна).
Теорема 6.2. Для того, чтобы допустимые решения
(или
min maxL F=
)
=X K и
1 2
решениями пары двойственных задач (5.4) - (5.5)* необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
x a y c
∑
j ij i j
y a x b
i ij j i
Пусть прямая ЗЛП (5.4)-(5.5) решена симплексным методом,
где для последнего блока симплексной таблицы выполнены условия
оптимального решения задачи с параметром С
рицей D-1 состоящей из векторов-условий этого блока, которые нахо-
дятся под ортонормированной системой векторов первого блока. Тогда оптимальное решение двойственной задачи (5.4)*-(5.5)* можно
найти по одной из следующих формул:
C*D-1 или
*
= ∆ + ∆ + ∆ + , (6.3)
, , ,
=Y K являлись оптимальными
1 2
m
,
( )
1
i
=
n
( )
∑
1
j
=
k k k k k k
1 1 2 2
= , (6.1)
,
= . (6.2)
*
и обратной мат-
m m
где
- оценки векторов- условий, составляющих матрицу
6.3. Дл
я данной задачи
.
154
(
)
2 4 min
L x x x= + + →x ,
1
2 3 2
3
y
x x y
y
, , 0
≥
(
)
2 3 2 max
2 2 ,
2 4 4
+ + ≤
+ + ≤
, , 0
≥
4
y
5
y
6
y
(
)
2 3 2 0 0 0 max
2 2,
2 4 4 .
+ + + =
0
≥
1,6
1 2 3
1,
2 ,
.
,
,
, приведём её к кано-
x x x
+ + ≥
1 2 3
2 3 ,
+ ≥
2 4 2
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
1 2 3
построить двойственную задачу, решить её симплексным методом и,
используя первую теорему двойственности, найти решение прямой
задачи.
Двойственная задача имеет вид:
F y y y= + + →Y ,
Введя дополнительные переменные
1 2 3
y y
+ ≤
1 2
y y y
1 2 3
y y y
1 2 3
y y y
1 2 3
ническому виду:
F y y y y y y= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ →Y ,
1 2 3 4 5 6
y y y
+ + =
1 3 4
y y y y
+ + + =
1 2 3 5
y y y y
1 2 3 6
y
,
i
155
1,
i = .
Двойственная задача имеет опорное решение
(
)
0; 0; 0;1; 2; 4
(
)
1 4 5 6
A A A
Б
б
С
B
1A2
A
3
A
4
A
5A6
A
1q2
q
3
q
4
A
1
5
A
1
6
A
k
∆
-6
4
A
2
A
6
A
k
∆
0; 2; 0;1; 0
4 2 6
A A A
(
)
2 0 3 2 2 0 6
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
=Y с
1
ортонормированным базисом
плексной таблицы):
2 3 2 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0
0 2 1
0 4 1 2 4 0 0 1 4 2 1
0 -2 -3 -2 0 0 0 -2
0 1 1 0 1 1 0 0
3 2 1 1 2 0 1 0
0 0 -1 0 0 0 -2 1
6 1 0 4 0 3 0
, ,
=Б (см. 1-ый блок сим-
Таблица 6.1.
2 0 1 0 2 2 1
- 1
-2
В последнем блоке симплексной таблицы (6.1) все оценки векторов
системы положительны. Следовательно, для двойственной задачи
опорное решение
ется оптимальным. На этом решении линейная форма достигает мак-
симального значения
Для нахождения оптимального решения исходной задачи ис-
∗
Y с базисом
( )
∗
F Y .
156
∗
, ,
=Б явля-
( )
пользуем формулу (6.3), где
0;3; 0 ,
1 0 0
0 1 0
0 2 1
3; 0; 0 0 1 0 0; 3; 0
()(
)
(
)
, 1; 2;4 0;3;0 6
= = ⋅ =
1
0 0 0
= + =
2
3 0 3
= + =
0 0 0
= + =
(
)
6 2 max
1
1 2 4 2
3
3 3 ,
3 2 6 ,
y
x x x y
y
, , , 0
≥
(
)
3 6 6 min
Следовательно,
* * 1
= = ⋅ =
X C D
∗
=C а
( )
−
( ) ( )
1
−
=
D
1 0 0
0 2 1
−
−
и
по второй части формулы (6.3):
составить двойственную задачу и найти её оптимальное решение.
∗ ∗
L
X C X .
Оптимальное решение исходной задачи можно было найти и
*
x
6.4. Для данной задачи
Сначала составим двойственную задачу:
( ) ( )
*
;
x
L x x x x= + − − →X ,
L y y y= + + →Y ,
1 2 3 4
x x x
− + + =
1 2 3
+ + =
2 6
x x
− ≤
1 2
x x x x
1 2 3 4
1 2 3
*
;
x
3
.
157
3 3 6 ,
2 2 2 ,
y y y
− + + ≥
0
≥
1
y
2
y
0;3;0; 0;12
(
)
6
=
1; 1; 0 0 ; ; 0
Б
б
С
B
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
1
q
2
q
3
A
1
3
4
A
2
1 2 3
y y y
+ − ≥
1 2 3
1,
y
≥ −
1
y
1
≥ −
2
y
Поскольку первые два условия системы ограничения исходной
задачи выражены с помощью равенств, то переменные
ственной задачи могут быть и отрицательными.
Решения исходной задачи, проведённые симплексным методом, приведены в таблице 6.2.
.
3
и
двой-
Используя данные последнего блока симплексной таблицы (6.2), выпишем оптимальные решения рассматриваемых задач:
∗
=X ,
( )
1 7 2 4
∗
= − − − = −
Y
L
X ;
∗
.
3 3 3 3
Таблица 6.2.
6 2 -1 -1 0
-1 3 -3
-1 6 3 2 0 1 0
1 0 0 -
3
158
5
A
0 6 1 -2 0 0 1 6 -
k
∆
-15
2
A
4
A
9
0
5
A
k
∆
2
A
1 3 1 3
1
A
2 9
1 9
5
A
8 9 5 9
k
∆
1 3 7 3
j m j
x y
+
,
i n i
y x
+
1, ;
i m
1, ,
j n
n i
x
+
m j
y
+
-9 -6 -5 0 0 0 -12
2 3 -3 1 1 0 0 -
-1 0
0 -2 1 0
0 12 -5 0 2 0 1 -
6 -21 0 5 0 0
2 3 0 1
6 0 1 0
−
0 12 0 0
6 0 -
Для вычисления оптимального решения двойственной задачи
использовалась формула (6.3).
Пусть пара взаимно двойственных задач решены по упрощенной схеме симплексного метода и между переменными этих задач установлены следующие соответствия:
0
0
1
0
↔ и
где
ЗЛП симплексным методом. Тогда справедлива следующая теорема,
позволяющая найти оптимальное решение двойственной задачи, ис-
и
- дополнительные переменные, вводимые при решении
↔
=
= (6.4)
159
ходя из решений прямой задачи.
10 6 12 min;
2 4,
2 2 1,
2 3 3,
+ + ≥
+ + ≥
0, 1,3.
min
L
1 2 3 4 5 6
0 2 0 0 .
3 3 3
y y y y y y
+ ⋅ − + ⋅ − − + ⋅
min
L
62
3
( , ,0,0,2,0).
5 3
Теорема 6.3. Компоненты оптимального решения одной из
задач двойственности равны абсолютным величинам коэффициентов
при соответствующих переменных линейной формы другой задачи
при достижении ею оптимального значения и при условии, что найденное решение не является вырожденным.
Для ЗЛП:
6.5. L(х)=
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
1 2 3
x x x
1 2 3
1)записать двойственную задачу;
2)решив двойственную задачу, найти
решение исходной задачи.
Нетрудно убедиться, что задача, рассмотренная в примере
5.2, является двойственной к данной. В последнем блоке этого примера, содержащем оптимальное решение, целевая функция имеет вид
62 5 2
Используя теоремы 2 и 3 и учитывая соответствия меду переменными
двойственных задач (6.4), найдем решения исходной задачи:
(х) =
x x x+ + →
1 2 3
x i≥ =
i
, х* =
5 2
(х) и оптимальное
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]