Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
4/12/12/1
)C,C4,C9(
X
=
=
−
−=−
+
=
A
Каковы должны быть национальные доходы этих стран
для того, чтобы торговля между ними была сбалансированной?
Соответствующая линейная модель торговли имеет вид
.
2/12/13/1
4/106/1
Решая эту систему уравнений методом Гаусса, получим
где С – некоторая постоянная положительная величина, равная
национальному доход страны S3.
Задачи и упражнения
Решить системы уравнений по формулам Крамера и мето-
дом обратной матрицы:
2.1.
,3yx2
==
.5y3x
1
x
2
1
x
3
1
x
6
2.2.
1
x
2
1
x
2
1
+=
x
4
1
++=
x
++=
x
.x
313
,x
3211
4
1
,x
3212
2
321
,4x3x2x
,0x4x5x2
=−+
321
.5x3xx3
=++−
321
51
2.3.
=−+
4 3 1,
2 3,
2 0.
− + =
+ − =
+ + =
=−−
+
=+−
=−−
+
=+−
−=−+−
=+−
+
=+−
+
x x x
1 2 3
31
21
32
,03x2x3
=−+−
=−−
2.3*.
,011x5x
.01xx2
x x x
1 2 3
x x x
1 2 3
Исследовать совместность и найти общее решение систем
уравнений:
2.5.
2.7.
2.9.
2.4.
4321
,2xxxx
=−+−
,1x2xxx2
4321
=+−+
,8xx3xx4
,4x3x2x
321
=+−
321
=−+
321
,6x5x4x
321
=+−
,6x2xx3
321
=−+
.7x4xx3
321
4321
=−++
4321
=−−+
4321
2.6
,6x2xx2
.7x4xx3
2.8.
,4xx4x3x2
2.10.
,26x2xx2x
.8x3x2x7x4
4321
=−++−
.3x2x3x2x
4321
321
,05x3xx2
=++−
321
321
,01xx2x
=−−−
.03xx3x4
4321
4321
,4x5x3xx2
=+−+
,6x4xx2x
=+++
,8x3xx3x4
4321
=−++
.2xx2xx3
4321
,9xx3x4x5
4321
=−+−
,10x4xx5x4
4321
=−+−
,4x5x4x9x
4321
=−+−
4321
.20x8x2x10x8
52
Найти фундаментальную систему решений и общее решение
=+−
=+−
=−+
=+−
=−+
−
=+−
=−+
−
следующих систем:
2.11.
2.13.
Найти базисные и опорные решения систем:
2.16.
2.18. Два магазина получают холодильники для продажи с
двух заводов. Количество холодильников, выпущенных заводами,
21
=+
2.15.
321
,0xx3x4
321
321
321
2.12.
=−+−
.0x2xx
,0xx4x2
,0x2x3
=+−
.0x2x3x
321
2.14.
4321
,0x2x3x
321
=−+−
.0x4x6x2
321
,0xxx2
321
=−−
,0x4x2x3
321
=−−
.0x5xx
321
,0xx3x2x
=++−
,5xx2x
2.17..
=+−
.6x2x3x
321
,0xx4x3x
4321
=+−+−
.0x3x2xx
4321
,2xxxx
4321
=+−+−
,4x2xx2x
4321
=+++
.6xxxx2
4321
объем спроса магазинов на холодильники, а также затраты на перевозку одного холодильника потребителям известны (приведены
ниже в таблице). Найти оптимальный план перевозок в магазины,
если минимальные затраты на перевозку составляют 8400 ден.ед.
53
Затраты на перевоз-
Заводы
1 8 12 400
2 6 10 500
Спрос 350 550 900
2.19. В таблице ниже приведены данные об исполнении
баланса тремя отраслями производства за отчетный период.
ку,
ден.ед./изд
1 2
Запасы
Отрасль
1 160 120 120
2 120 180 100
3 90 120 90 450 750
Определить величину планируемого вектора валового выпуска отраслями, чтобы вектор конечного продукта составил
(500,784,392)Т.
2.20. Структурная матрица линейного обмена трех стран
имеет вид:
Потребление
1 2 3
=
A
Каковы должны быть национальные доходы этих стран для
сбалансированной торговли?
Конечный
продукт
400 800
600 1000
2,004,0
5,04,03,0
3,06,03,0
Валовый
выпуск
54
Варианты контрольной работы
−
=+−
−
по темам: «Матрицы и определители.
Система линейных алгебраических уравнений»
Вариант 1
1033
1. Вычислить определитель
−
2. Решить методами Крамера и Гаусса систему
,5z3yx2
=−+
3. Найти матрицу 5A-1 + 2B, где
312
A =
1. Вычислить определитель
223
101
и B =
−
Вариант 2
,5zy2x
=−+
.3z5yx3
−
3510
.
6402
0321
104
.
321
213
0130
2412
−
.
−
−
2. Решить методами Крамера и Гаусса систему
55
9036
3124
−
−
=+−
−
3. Найти матрицу 2A + 3B-1, где
325
A =
1. Вычислить определитель
и B =
214
160
Вариант 3
=+−
,3z3y2x
=−+
,2zyx2
=++−
.5z2yx
−−
112
−−
.
120
213
1320
0212
.
4531
−
2. Решить методами Крамера и Гаусса систему
,9z3y2x
=++
3. Определить ранг матрицы А
=
A
−
56
=−−
1321
−−
6242
4213
,5z2yx2
.2zyx3
.
2264
Вариант 4
−
−
6402
1. Вычислить определитель
−
−
−
2. Решить методами Крамера и Гаусса систему
=+−
,0zy2x
=−+
3
. Найти обратную матрицу для матрицы
012
A =
4. Вычислить определитель
.
221
−−110
Вариант 5
,1zyx2
=+−
.7z2yx3
−−−
−
5. Решить однородную систему
=+−
6
. Найти матрицы: а) 2A + 3B ; б) А·В, где
,0zyx
=−+
,0z3yx2
=−+
.0z4y2x
3231
.
0114
9302
4102
6321
2532
2410
57
A =
−
−
101
032
210
и B =
−
113
320
401
58
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
AB
uuur
a
r
AB a
=
uuur r
AB
uuur
0
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
b
r
a
r
a
r
3.
3.1.Векторы в пространстве
10. Основные определения
Направленный отрезок
конец в точке В и определенную длину, называется вектором (см.
рис.3.1). Длина вектора называется его модулем и обозначается
.
Если А = В, т.е. начало и конец вектора совпадают, то вектор
=
- нулевой вектор и его длина равна нулю, а направление - не-
определенно.
Два вектора
одинаковые направления и длины (см. рис.3.2). При этом местоположение векторов в пространстве не играет существенной роли. Такие
векторы называются свободными.
Два вектора
ются
вектор коллинеарен любому вектору. Вектор -
||
, см. рис.3.3), если они параллельны между собой. Нуль-
и
и
называются коллинеарными (обознача-
=
, имеющий начало в точке. А и
называются равными, если они имеют
(см. рис.3.4) называ-
ется противоположным к вектору
В
А
ис.3.1. Рис.3.2. Рис.3.3. Рис.3.4.
Р
.
-
59
Три вектора
a
r
b
r
c
r
AB
AB
r
=
r
r
=
r
параллельны одной и той же плоскости.
20. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие
косинусы вектора
,
,
называются компланарными, если они
Пусть задан вектор
странстве так, чтобы его начало совпало с началом О прямоугольной
системы координат Оxyz. Тогда за координаты этого вектора принимают проекции конца вектора на координатные оси и обозначают:
}a,a,a{a
или }a,a,a{a
zyx
ляется по формуле
Если известны координаты начала и конца вектора, т.е.
)z,y,x(A
и )z,y,x(B
111
и его модуль определяется выражением
12
=a. Переместим вектор
. Его длина (модуль) опреде-
zyx
2
2
2
x
222
2
y
, то
aaaa ++=
z
2
12
в про-
(3.1)
}zz,yy,xx{AB
−−−= (3.2)
121212
2
)zz()yy()xx(AB −+−+−= . (3.3)
12
Если k,j,i - орты (единичные векторы) координатных осей и
}a,a,a{a
, то разложение вектора по этим ортам имеет вид
zyx
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]