Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
дого блока записывают оценки векторов условий, не попавших в ба-
б
С
B
0
∆ ≥
( 0)
∆ ≤
1,
j n
(
)
x
0
j
0
∆ =
0
j
A
k
A
0
∆ <
0
∆ >
(
)
k k
− ⋅ ∆
(
)
x
зис. 4) первые три столбца состоят из векторов базиса Б, соответствующих коэффициентов целевой функции
.
50. Опорное решение является оптимальным и в этой точке
линейная форма имеет максимум (минимум), если все оценки векторов системы положительны (отрицательны), т.е.
,
j
причём: а) если в соотношениях (5.12) осуществляется строгое неравенство для всех векторов, не входящих в базис опорного решения, то
L
линейная форма
же существует
оптимального решения, то задача на максимум (минимум) линейной
формы имеет бесчисленное множество решений.
60. Если оценка вектора системы
жительна), т.е.
имеет единственное опорное решение; б) если
, что
k
j
(
= , (5.12)
и вектор
j
0
),то от перевода этого вектора в
k
и свободных членов
не входит в базис
отрицательна (поло-
базис целевая функция увеличивается (уменьшается) на величину
q
0
вой функции
нимальности), то в базис выгоднее ввести тот вектор системы, который имеет наименьшую отрицательную (наибольшую положительную) оценку.
. Поэтому, если отыскивается максимум (минимум) целе-
L
и не выполняется критерий максимальности (ми-
121
5.5. Для изготовления двух видов мебели фабрика применяет
(
)
1 2
,
x x
(
)
1,5 max
1
x
2
x
древесину четырёх видов. Их запасы ограничены и составляют соответственно 60, 80, 60 , 40 ед. Количество единиц древесины каждого
вида, используемое для изготовления единицы каждого вида продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции,
известны и приведены в таблице 5.4.
Таблица 5.4
Вид
древесины
I
II
III
IV
Прибыль 1 1,5
Требуется составить такой план выпуска продукции, который
бы обеспечивал фабрике наибольшую прибыль от реализации всей
продукции.
Пусть вектор
выпуска мебели. От реализации такого объёма продукции фабрика
получит прибыль
L x x= + →x (5.13)
Запасы
древесины
60
80
60
40
1 2
Технологические показатели
1 2
0
2
1
0,5
2
0
1
1
=x выражает планируемый объём
при условии, что составляющие плана
ограничениям:
122
и
будут удовлетворять
2 60 ,
60 ,
0,5 40 ,
, 0 .
3
x
4
x
5
x
6
x
60 ,
80 ,
60 ,
40 ,
, , , 0
≥
(
)
0;0; 60;80; 60;40
(
)
1 3 4 5 6
A A A A
1
A
2
A
(
)
40 1 40
∆ = − ∆ = ⋅ − =
30 45
∆ = − ∆ = − ⋅ − =
x
≤
2
2 80 ,
x
≤
1
x x
+ ≤
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
≥
(5.14)
Введя дополнительные положительные переменные
,
, запишем эту задачу в каноническом виде:
2
2
0,5
Далее, составим симплексную таблицу с начальным опорным
решением х
=Б (см. первую симплексную таблицу).
В последней строке 1-ой таблицы оценки двух векторов системы
отрицательны. Следовательно, при переводе каждого из них в но-
вый базис целевая функция возрастёт и увеличится, соответственно,
на величины:
= и ортонормированным базисом
1
, , ,
xx
+
32
xx
+
41
x x x
K .
1 2 6
=
=
xx x
++
51 2
=
xx x
++
=
61 2
,
и
,
′
L q
Из этих расчётов следует, что гораздо выгоднее перевести в базис век-
1 1
ед. и
L q
123
3
′′
2 2
2
ед.
тор
2
A
(
)
0;30; 0;80;30;10
(
)
2 2 4 5 6
A A A A
(
)
40; 20;20; 0;0; 0
б
С
B
1A2
A
3
A
4
A
5A6
A
1q2
q
3
A
4
A
5
A
6
A
k
∆
2
A
4
A
5
A
6
A
k
∆
2
A
4
A
5
A
1
A
k
∆
.
Вторая симплексная таблица соответствует опорному решению х
= с базисом
2
держащим как раз этот вектор.
Последняя четвёртая симплексная таблица соответствует оптимальному решению задачи х
1 1,5 0 0 0 0
Б
0 60 0
2
0 80 2 0 0 1 0 0
0 60 1 1 0 0 1 0 60 60
0 40 0,5 1 0 0 0 1 80 40
0 -1 -1,5
1,5 30 0 1 0,5 0 0 0 -
0 80 2 0 0 1 0 0 40
0 30 1 0 -0,5 0 1 0 30
0 10
0,5
0 -0,5 0 0 1
, , ,
=Б , со-
*
= ,
4
1 0 0 0 -
0 0 0 0 -40
Таблица 5.5
30
40
-
- 45
20
45 -1 0 0,75 0 0 0 -20
1,5 30 0 1 0,5 0 0 0 60
0 40 0 0
2
1 0 -4
20
0 10 0 0 0,5 0 1 -2 20
1 20 1 0 -1 0 0 2 -
65 0 0 -0,25
0 0 2
124
2
A
1,5 20 0 1 0 -0,25 0 1
3
A
5
A
1
A
k
∆
4
0
∆ >
0
∆ >
(
)
40 1,5 20 70
= + ⋅ =
1
P
2
P
3
P
1
S
2
S
3
S
0 20 0 0 1 0,5 0 -2
0 0 0 0 0 -0,25 1 -1
1 40 1 0 0 0,5 0 0
70 0 0 0 0,125 0 1,5
ибо для этого решения выполняется критерий максимума целевой
функции: все оценки векторов системы, не входящие в базис, положительны. Поскольку, кроме того, оценки векторов системы строго по-
ложительны, т.е.
единственно. В этой точке целевая функция принимает своё макси-
и
, то оптимальное решение х
6
*
4
мальное значение
5.6. Для кормления животных на ферме имеется три вида кор-
ма
,
,
(например, комбикорм, жмых и картофель), содержа-
щий вещества
жиры, белки и углеводы). Известно, что в ежедневном рационе пита-
ния каждого животного этих веществ должно содержаться соответственно не менее 16, 6 и 6 единиц. Содержание каждого вещества в различных видах корма и стоимость единицы каждого корма приведены в
таблице 5.6.
Требуется составить самый дешёвый рацион питания животных.
Как и в предыдущем примере, математическая модель этой
*
L
X ден. ед.
4
,
,
(эти вещества, в частности, могут означать
125
Таблица 5.6.
1P2
P
3
P
1
S
2
S
3
S
(
)
3 2 4 min
2 4 3 16 ,
1,5 2 6,
2 3 6 ,
, , 0
≥
(
)
3 2 4 0 0 0 min
2 4 3 16 ,
1,5 2 6 ,
2 3 6,
+ + − =
0
≥
1,6
Виды
веществ
задачи может быть записана как следующая ЗЛП:
L x x x= + + →x ;
.Её каноническая форма имеет вид:
L x x x x x x= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ →x ;
Необходимое количество веществ
в рационе питания животного
16 2 4 3
6 1,5 2 1
6 2 1 3
Цена единицы корма 3 2 4
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
1 2 3 4 5 6
x x x
1 2 3
.
Виды корма
x x x x
+ + − =
1 2 3 4
x x x x
Используя метод разрешающих множителей Жордана – Гаусса, систему ограничений можно привести к следующему разрешённому виду
+ + − =
1 2 3 5
x x x x
1 2 3 6
126
x
,
j
j = .
6 9 4 8 ,
5 2 6 ,
2 3 6
x x x x
(
)
0;6; 0;8; 6; 0
(
)
1 4 5 2
A A A
Б
б
С
B
1A2
A
3
A
4
A
5A6
A
1q2q4
A
438
9
5
A
5
2
1256
5
2
A
k
∆
4316
9
3
A
896
9
1
9
4
9
−
5
A
14915
9
−
5
9
−
2
9
2
A
10
3
1
3
−
1
3
k
∆
9291
3
−
2
3
−
10
3
−
1 3 4 6
5
x x x x
1 3 5 6
2
x x x x
+ + − =
1 2 3 6
+ + − =
+ + − =
с опорным решением х
Далее для решения задачи использован симплексный метод. Результаты вычислений приведены в таблице 5.7, состоящей из двух симплексных таблиц.
0 8 6 0
0 6
2 6 2 1 3 0 0 -1 4 2
4
2
= и базисом
1
3 2 4 0 0 0
1 0 -4
9
0 5 0 1 -2
12 1 0 2 0 0 -2
0 1
0 0
=Б .
0
1
, ,
Таблица 5.7.
0
В последней строке второй симплексной таблицы приведены резуль-
0 1 0
0 0
127
0
0
таты вычислений оценок векторов системы, соответствующие опор-
0; ; ; 0; ; 0
(
)
x
L
10 8 92
3 9 9
(
)
max
( ),
( ),
,
( ),
, 0 .
=
10 8 14
, которое оказалось опти-
3 9 9
*
дос-
2
L
, причём
L c x c x= + →x (5.15)
1 1 2 2
x x ≥ (5.16)
1 2
ному решению х
мальным, ибо все оценки векторов системы, не принадлежащие базису
решения, имеют отрицательные знаки. Оптимальное решение х
тавляет минимум целевой функции
( х
2
5
.5. Геометрические методы решения ЗЛП
0
. Геометрические методы (например, метод градиентов)
1
обычно применяются для решения двумерных ЗЛП вида
при ограничениях:
a x a x b b
11 1 12 2 1 1
a x a x b b
12 1 22 2 2 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
a x a x b b
1 1 2 2
m m m m
*
2
*
)
3 0 2 4
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ден. ед.
+ ≤ ≥
+ ≤ ≥
+ ≤ ≥
Они основаны на двух важных геометрических свойствах этих
задач: 1) областью допустимых решений задачи является выпуклый
многоугольник; 2) целевая функция возрастает при движении по направлению её вектора-градиента.
128
Справедливо утверждение: целевая функция
(
)
x
2
x
n
r
1
x
при перемещении её линии уровня по направлению вектора градиента
этой функции.
Из этого утверждения непосредственно получаем следующий
геометрический способ построения оптимальных решений ЗЛП:
10. Используя систему ограничений, строят многоугольник до-
пустимых решений (см. рис. 5.1)
20. Проводят градиент целевой функции и одну из её линий
уровня.
0
. Перемещают линию уровня в положительном направлении
3
вектора-градиента и фиксируют два её крайних положения, в которых она касается многоугольника допустимых решений (на рис. 5.1
это точки A и С). Именно эти точки касания и являются оптимальными решениями ЗЛП (5.15) – (5.16): в точке A целевая функция имеет минимум, а в точке C - максимум.
L
возрастает
C
D
B
O
Рис.5.1
5.7. ЗЛП 5.5
A
129
(
)
1,5 max
L x x= + →x (5.13)
60 ,
0,5 40 ,
, 0 .
(
)
0; 0
(
)
40; 0
(
)
40;20
(
)
20;30
(
)
0;30
1 2
1,5 0
+ =
(
)
1;1,5
r
(
)
0;0
2
x
(40;20)
n
r
1
x
2 60 ,
2 80 ,
x x
x x
решить геометрическим методом.
1 2
x
≤
2
x
≤
1
+ ≤
1 2
x x
+ ≤
1 2
≥
1 2
На рис. 5.2 изображены многоугольник допустимых реше-
(5.14)
ний этой задачи с угловыми точками
C ,
n =
вдоль градиента дважды касается многоугольника допустимых решений: в точке
равный нулю) и в точке (40.30), в которой она достигает своего
D , линия уровня
целевой функции (5.13). Линии уровня при движении
O (в этой точке целевая функция имеет минимум,
O A (40, 0)
Рис. 5.2.
O ,
B
A ,
x x
B ,
и градиент
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]